链接算筹文化 凸显十进位值制——以“认识万以内数”为例

竺君斐，周 洁

（浙江省宁波市奉化区教师进修学校，浙江省宁波市奉化区莼湖街道中心小学）

“数的认识”板块的本质内容是十进位值制。十进位值制记数法包括“十进制”与“位值制”两条原则。“十进”指的是“满十进一”。“位值”是同一数字在不同位置上所表示的数值不同。如三位数“555”，右边的5 在个位上表示5 个一，中间的5 在十位上表示5 个十，左边的5 在百位上则表示5 个百。十进位值制使极为困难的整数表示和验算变得简便易行。

怎样在“认识万以内数”教学过程中让学生深度理解“十进位值制”的内涵与价值？常规的做法是：通过数数活动中的“怎样数”“怎样记录”这两个问题展开。以数黄豆为例，当“捏一撮”（10以内）时，我们可以一个一个地数；当“抓一把”（100 以内）时，我们可以十个一堆，十个一堆地数；当数目更大时，就需要用更大的计数单位来记数，进而明确一而十，十而百，百而千，千而万。记录黄豆数量的同时，需要明确每一个数位上数的含义。

很多“认识万以内数”教学设计能从数的本质出发，让学生在活动中体会十进位值制的含义，以及计数单位之间的关系。但是，学生对其中“满十进一”体会深刻，对位值制的价值却感悟不深。

十进位值制是我国最早发明的。文明古国巴比伦采用60 进位制（这一进位制到现在仍留有痕迹，如1 分=60 秒）。古印度、古埃及也很早就采用了十进位制，但是他们没有位置，没有零，并不知道位值制。如古埃及采用“计算单位累加”的方法，不同计算单位用不同的符号表示，从图1 古埃及的“235”中可以看到 2 个百用 2 个“旋风”，3 个十用 3 个“门洞”，5 个一用5 个小棒表示。依次推理。如果表示999，“旋风”“门洞”“小棒”分别要画9 个，非常繁琐，给记录与运算带来不便。

图1

从历史发展顺序来看，“位值”的出现明显比“十进”晚，说明“位值”比“十进”更难理解。

弗赖登塔尔认为：“年轻的学习者应重蹈人类的学习过程。”列宁也曾经说过：“一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧”。数学，既是被人们发现的，也是被人们创造的。前人在数学研究过程中，其数学思维和经验教训是非常有借鉴意义的，对小学生的数学思维能力有着极大的促进作用。

因此，“认识万以内数”一课，有必要链接教材“你知道吗”板块中的“算筹文化”，让学生在“中国算筹”“古埃及记数法”两种记数方法的认识、试写、对比中，挖掘“十进位值制”背后的数学思想与方法，让学生充分感受“位值制”的简洁与价值，丰满数学教学中的“人文元素”，体会“数学有着悠久的鲜活的历史”。

一、静态的中国算筹：动态评价中体会“古人智慧”

教材呈现的知识是静态的。而站在历史的角度，动态地看待数学知识产生和发展过程，了解数学发展的历史，参与再创造，有利于学生感受数学知识灵动的一面。

中国算筹一般是用小竹棍（或其他材料）制成。古人为了区分相邻数位上的数，创造了横向、纵向两种算筹。需要学生体验这个动态发生过程。

第一步，借助方块直观模型，理解数位意义。

（1）课件有序出示小方块（1 个、10 个、100 个、1000个），明确计数单位个、十、百、千。

（2）课件出示235 个小方块。明确235 由几个百、几个十、几个一组成。

（3）指一指：这个“2”表示图上哪些小方块？

（4）追问：为什么它可以表示这么多方块？因为2在百位上，表示2个百。

（4）归纳：个位、十位、百位、千位就是数位。

第二步，介绍中国算筹。

（1）出示“你知道吗”内容，介绍算筹，了解横式与纵式两种表示方法。（如图2）

图2

（2）追问：“5”用5 根小棒表示，为什么“6”不是6根，而用一横一竖来表示呢？

第三步，用算筹表示235，探究并发现记数规律。

（1）学生尝试。（如图3）

图3

（2）交流评价。你喜欢哪一副作品，为什么？

3 号作品是正确的。表扬4 号作品：“虽然反了，但是他这种纵横交替的思想特别宝贵。”

第四步，用算筹表示5555。

（1）学生尝试。

（2）作品反馈。（如图4）

图4

用算筹表示数，汇集了两千多年前中国古人的集体智慧。让学生通过观察，引发思考，如“6”为什么用一横一竖表示？因为“以一当五”更简约更美观，展现了中国古人的智慧。又如算筹表示235，学生1号作品，容易与55，或者10产生混淆。为了区分2、3、5这三个数字在不同的数位上，中国古人发明并规定个位纵向，十位横向，交替重复的方法。让学生在尝试创造、相互评价中感受其奥妙，发展思维，提升素养。

二、繁琐的古埃及记数：探究中体验“机械呆板”

十进位值制之所以被马克思称颂为“人类最美妙的发明之一”，是因为它的简约。万以内数的认识，除了让学生掌握位值制的含义，即“相同的数字，在不同的数位上，表示不同的数值”之外，有必要继续深入探究，体会它的优点。为此，借助古埃及记数“5555”的繁琐，可以使学生在探究中体验其方法的呆板。

第一步，介绍古埃及1～9，10，100，1000，10000的表示方法。（如图5）

图5

第二步，介绍古埃及的“235”，说说他们的记数方法。

第三步，学生独立探究古埃及“5555”的写法。第四步，交流评价学生作品，明确各部分的含义。（如图6）

图6

学生喜欢创造，喜欢探究。古埃及记数，先举例呈现，再发现规律，最后让学生用自己发现的规律试写“5555”。古埃及计数单位“个、十、百、千”有不同的符号，每个符号需要重复画5 次，用学生的话来说“手都画酸了”。随着数量增大，古埃及需要统一更多的计数单位，画更多次数“小花”“门洞”等，“手就更酸了”。整个过程都以学生为主体，既拓展学生视野，满足学生探究未知领域的愿望，又训练学生的思维能力，同时还让学生深刻体会到古埃及记数方法的繁琐与复杂，以及记数方法历史的“丰富性”。

三、中国算筹的位置制：对比中凸显“高明美妙”

同样是二千多年前，同样是“5555”，中国算筹却与古埃及不同。中国算筹中没有“小花”“”旋风“门洞”等这些专门的记数符号，只需把算筹“5 根小棒”放在不同的数位上，就可以表示 5 个千，5 个百，5 个十，5 个一了。学生在对比中，对万以内数的两种表示方法进行抽象概括，强烈感受到了位值制的高明与美妙，深刻体会中国古人的智慧与伟大创造。

第一步，对比古代中国算筹和古埃及记数法。

师：对比二千多年前古埃及的5555，与古代中国5555，你想说些什么？

生：古埃及的千、百、十、一有专门的符号，中国的算筹没有专门的符号，用不同数位加以区分。

生：古埃及的太麻烦，我们古代中国的算筹更方便。

生：我们中国人要比古埃及人聪明。用不同数位的数表示不同的计算单位。

生：作为中国人，我很骄傲，我们的祖先太聪明了！

第二步，对比古代中国算筹和现代记数法。

生：现代记数法采用了我国古人发明的“十进位值制”。

生：现代记数法用阿拉伯数字代替算筹1～9，更简约更方便。

师：数学追求简洁美，我们现代人使用的万以内数表示方法凝聚了一代又一代数学家的努力和智慧。“十进位值制”是古代中国人对世界数学发展作出的一项不可磨灭的贡献。

第一次对比，体会中国算筹位值制的简约，渗透爱国主义教育。第二次“古代算筹与现代记数法”对比，让学生感悟到“知识是发展的”“数学是人类共同的文化活动”，而古今中外一代又一代数学家创造精神的传承，有利于促进学生良好品格的形成，可谓一举多得。

华东师师范大学的汪晓勤教授曾将HPM 研究价值归纳为“知识之谐”“方法之美”“探究之乐”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”。以上设计中这六大价值均有所体现。如了解算筹的记数方法，体会“以一当五”，这是感受“知识之谐”；让学生尝试探究“中国古人记数235”“古埃及记数5555”，体悟的是数学“探究之乐”；经历“再创造”的过程，明白纵横交替摆法的优势，加强思维训练，提高解决问题能力，发挥学生能动性，是“能力之助”；在古代中国算筹和古埃及记数方法对比中，感受古埃及记数方法的繁杂，体会中国算筹十进位值制的价值，感受古代中国人民的伟大，是“德育之效”；在历史发展进程中，感受数学是不断发展，不断前进的，数学是属于全世界人类的一项文化成果，体会的是“文化之魅”。

将数学文化知识“中国算筹”“古埃及记数”融入“认识万以内数”课堂教学中，充分体现了趣味性、科学性、有效性、可学性、新颖性。学生学得轻松，学得扎实。