漫谈函数的发展

张海燕 摘编

函数概念是中学数学的核心概念。同学们对这一概念的学习和理解将贯穿整个中学数学学习的始终。

函数是从常量数学迈进变量数学的标志。16世纪以前，数学研究的多为静止不动的常量，称为常量数学或者初等数学。变量和函数概念的产生，标志着数学从常量时代进入到变量时代。函数是数学中最重要的概念之一，有着无比重要的地位，在高等數学和近代数学中处于中心地位。

函数一词是由莱布尼兹1673年最早引入的，用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。伯努利把函数看作一个变量和一个常数组成的表达式。欧拉把函数看作含有变量和常数的任何方程和公式。

1821年，柯西给出定义：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则将最初的变数叫作自变量，其他各变数叫作函数。在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。

1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x-起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出。这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是函数概念的一个重大发展。因为对应是函数概念的一种本质属性与核心部分。

1837年，德国数学家狄利克雷给出函数的定义：如果对于x的每一个值y，总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数。这个概念就是我们初中阶段学习的函数概念，是经典的函数定义，也叫作函数的“变量说”。

到20世纪初，康托尔的集合论被大家所接受后，函数概念中变量只能为数的限制取消了，突出了函数的本质特征。对应关系用集合论的语言叙述，这种定义方式叫作函数的“对应说”。1939年，布尔巴基学派又给出了函数的“关系说”。

总之，函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。（作者单位：江苏省海安市李堡镇初级中学）