数形结合百般好释疑解惑助纠错

2021-03-11涂春华

初中生世界·八年级 2021年2期

关键词：快艇航行数形

涂春华

我國数学家华罗庚说过，数缺形时少直观，形少数时难入微。这句话深刻揭示了数、形的关系。下面运用数形结合的方法，以两道一次函数习题为例，为同学们答疑纠错。

例1 （2019.江苏南京）已知一次函数Yi=kx+2（k为常数，k≠0）和y2=x-3。

（1）当k=-2时，若Yi> y2，求x的取值范围。

（2）当x<1时，y1> y2。结合图像，直接写出k的取值范围。

【解析】本题求一次函数待定系数k的取值范围，得分率很低，难点在于一次函数Y.=kx+2（k为常数，k≠0）是一个不确定的函数。有些同学对出题方式不熟悉，不具备相应解题经验，找不到探究此类问题的方法，没有形成解决此类问题的思维能力。本题设置了两个问题。第（1）问较为基础，给定k的值，考查在y1> y2时的x的取值范围，为第（2）问作铺垫;第（2）问反过来，给定x的取值范围，考查在y1> y2时的k的取值范围。第（2）问的得分率低于预期。

（1）大多数同学由Yi> y2不等关系，建立关于x的不等式-2x+2> x-3，求得x的取值范围是x<5/3。此问题也可以化归为两个函数图像的交点问题（如图1）。

结合图1，我们可直接得到不等式的结论x<5/3，这样也能为第（2）问的解答做铺垫。下面我们继续从图像的角度进行直观分析（如图2）。

（2）观察图2，当x=1时，y2=X-3=-2，把（1，-2）代入y1=kx+2，得k+2=-2，解得k=-4。在x<1的范围内，当-4≤k<0时，Yi>Y2;当0Y2。所以k的范围为-4≤k≤1且k≠0。

例2 甲、乙两艘快艇同时从A港口沿直线驶往B港口，甲快艇在整个航行的过程中速度v海里/小时与航行时间t小时的函数关系如图3所示（图中的空心图表示不合这一点），乙快艇一直保持匀速航行，两快艇同时到达B港口。

（1）A、B两港口之间的距离为海里;

（2）若甲快艇离B港口的距离为s1海里，乙快艇离B港口的距离为s2海里，请在图4中分别画出s1、s2与t之间的函数图像。

（3）在整个行驶过程中，航行多少小时两快艇相距5海里？

【解析】（1）150;（2）如图5。前两问比较简单，具体解题步骤略。

对于第（3）问，有些同学想得过于简单，只是从算术或方程的角度求出其中一个解，造成漏解。这时，我们就可以利用新学习的一次函数这个工具了，比如先分类求出一次函数对应的表达式。

当0≤t≤l时，s1所对应的函数关系式为s1=-30t+150;

当1

当0≤t≤3时，s2所对应的函数关系式为S2=-50t+150;