图形解构“定”坐标

朱鸣

平面直角坐标系可以刻画物体的位置，它建立了数与形之间的紧密联系，也是中考必考内容之一。下面以一道中考改编题为例，通过解构基本图形的方式来进行分析、变式，希望能为大家带来一些借鉴和思考。

例1 （2020.黑龙江绥化改编）如图1，在矩形OABC中，AB=2，BC=4，点D是边AB的中点，点E是边BC的中点，直线y2=mx+n（m≠0）经过D、E两点。

（1）求直线DE的解析式;

（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标;

（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是_____。

【解析】（1）∵点D是边AB的中点，点E是边BC的中点，AB=2，BC=4，四边形OABC是矩形.

【小结】在平面直角坐标系中，对于常见的确定直线的问题，可以将其图形简化为图1，一般解决的策略是先确定交点坐标，然后借助二元一次方程组。在本例中，D、E两点的坐标是解决问题的钥匙。

（2）如图2，作点D关于y轴的对称点D，连接D'E交y轴于JP，连接PD，此时，△PDE的周长最小。

【总结】第二题是一个“两定一动”、确定动点的问题，可将图像简化为图2的情形。我们也可以把它称为“将军饮马”模型，利用“垂直平分线”的性质来解决。过D点，向y轴作高，找到对称点D'，连接D'E，该直线与y轴的交点就是要求的P点。随着点P的确定，△PDE的周长最小值也能轻松求出。

变式在上述条件下，请在x轴上找一点P，使得分别以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形。

【解析】（情况1）如图3，以点A为等腰三角形顶点，使AP=AC，易知P点坐标为（-2，0）。

（情况2）如图4，以点P为等腰三角形顶点，使PA=PC，可设点P坐标为（x，0），利用勾股定理，将问题放在△AOP中解决，得P点坐标为（一3，0）。

（情况3）如图5、6，以点C为等腰三角形顶点，使CA=CP，易得P（2-2√5，0）或P（2+2√5，0）。

【總结】在平面直角坐标系中，对于等腰三角形的存在性问题，通常需要分类讨论——确定3个顶点后，要不重复、不遗漏地将多种情况分别表示出来。

（作者单位：江苏省太仓市实验中学）