条件概率的本质及其教学建议

李杰民，廖运章

条件概率的本质及其教学建议

李杰民1，2，廖运章1

（1．广州大学 数学与信息科学学院，广东 广州 510006；2．岭南师范学院 数学与统计学院，广东 湛江 524048）

概率是一个集合函数，是一种测度，用于度量随机事件发生的可能性的大小．概率采用公理化定义，条件概率也满足该定义，因此条件概率也是一种概率测度，条件概率是含参变量的集合函数，是概率的推广．采用质性研究方法，梳理近20年来高中一线教师撰写的概率教学文献，对存在的问题进行分类与归因，选择两篇代表性文献进行案例研究．研究发现，条件概率概念教学存在较多问题，问题出现的根本原因是一线教师对条件概率本质的理解存在欠缺．条件概率概念教学应当从概念的本质入手，借助正例反例与图形直观，讲清楚概念的内涵；解题教学应当从数学建模的理念入手，培养解题规范意识，掌握两种基本计算方法；高中数学要重视条件概率教学，展示概率理论的价值，激发学生学习概率知识的兴趣．

高中概率教学；条件概率；概率测度；概率的公理化定义；教学建议

1 问题提出

2003年，教育部印发的《普通高中数学课程标准（实验）》设置了概率与统计的内容[1]．概率统计进入高中数学课程给一线教师带来了挑战[2]．与统计内容相比，概率作为数学的分支，理论性更强．一线教师对抽象度较高的概率理论的理解欠缺[3]，甚至没有学过概率论[4]，对新增内容的讲授经验缺乏，使得概率教学成为高中数学教学的一个难点，也引发了广泛关注．使用“百链云”图书馆搜索年度范围限制为2003—2018年，标题中含有“高中”与“概率”的中文学位论文多达100篇，这些论文大部分采用了调查研究法，从不同的侧面与视角探讨高中概率教学，部分论文对高中数学教师概率基本概念及其认识的状况进行了调查与访谈，研究结论是大多数教师不了解概率的公理化定义[5]，教师对条件概率、小概率事件的知识非常欠缺[6]．因此，建议加强教师的在职培训，但文[6]同时指出，“教师培训没有起到应有的作用，教师培训的内容形式不能满足教师的需要”．

条件概率是概率论中一个基础而重要的概念，大量的后续概念建立在该概念基础之上，比如，全概率公式与贝叶斯公式、指数分布与几何分布的“无记忆性”、假设检验中的“两类错误”，等等．条件概率的定义看起来并不复杂，初学者甚至觉得非常简单，但付诸教学实践，却出现各种问题，甚至出现了科学性错误，且错误存在多年，说明很多教师还不知道错误的原因，没有理解条件概率的本质，没有找到合适的讲授方法．

已有研究缺少对条件概率教学的关注与深入探讨．其一，问题本身具有一定的难度．文[7]基于主持“古典概型”公开课活动，发现高中概率模型学与教中存在较多问题．比如，教师在讲“古典概型”这一节时，没有解决“为什么要学习古典概型”“古典概型是什么”这些问题．由此看来，“为什么要学习条件概率”“条件概率是什么”更不容易回答．但文[8]的研究表明，即使是六年级的学生，也具备一定的对高阶概率内容如“条件概率”的认知潜能．因此，虽然有难度，但条件概率的教学值得深入研究．其二，条件概率的重要性没有引起足够的重视．文[9]通过对两道有争议的概率题的调查与分析，认为目前高中概率教学存在着“基本概念的认识较为模糊，普遍轻视基本概念和数学基本思想”的现象．文[9]提到其中的问题1有人采用条件概率的方法，但一笔带过，其实，从条件概率而不是“等可能性”的角度去分析问题的解法更有针对性．从学科专业角度来看，已有研究忽视了一个重要的事实：复杂随机现象的深入研究，离不开条件概率这个强有力的工具．从教学法的角度来看，已有研究忽视了一个重要方法：在概念体系中掌握概念[10]．“为什么要学习古典概型”“古典概型是什么”这些问题的解决需要对概率内容有整体的认识，备课时单独考查“古典概型”是找不到答案的，“古典概型”的教学难点是什么给一线教师造成了困惑[11]也就不足为奇了．只有在概率论的概念体系中比较分析，才能领悟各种概率模型的功能与定位．条件概率既是一种工具，也是一种思想，与各种概率模型均有联系，研究条件概率的内涵与教学，不但可以为该内容的教学实践提供参考，从中还可以发现其它概率模型的局限与适用范围、教学难点等信息．因此，条件概率教学研究的重要性应当引起重视．

具体而言，研究解决这样一些问题：其一，条件概率的本质是什么？条件概率与概率的关系如何？其二，指出高中条件概率概念讲授中存在的问题及其原因，提出改进方法或策略．其三、给出条件概率的教学建议，并以2019年高考数学全国卷Ⅰ压轴题为例，说明条件概率在概率知识体系中的重要地位，指出高中数学应加强条件概率教学，凸显其重要性，展示概率理论的价值，激发学生学习概率知识的兴趣．

2 研究设计

最近十多年，来自一线教师基于经验总结或教学反思的条件概率教学文献逐渐增多，一些老师还介绍了自己的教学案例[12]．为此，研究者尝试另外一种方式，梳理最近十多年高中教师撰写的概率教学文献，倾听一线教师讲述概率教学的故事，了解一线教师对概率基本概念的理解状况、教学理念与教学设计、解惑方式方法等信息．在研读大量一线教师文献的基础上，将存在的问题进行分类与归因，指出存在多年但未被教师意识到的错误及其深层原因，给出针对性较强的改进建议．

另外，寻找有关教学案例的文献进行案例研究，希望借助案例，搭建教师自我研究与反思的平台，创建理论指导实践的典型实例．案例分析关注如何改进条件概率概念教学，指出已有教学实践存在的问题，提供“改进版”，供一线教学参考，也可以作为高中教师在职培训的材料．

研究方法：质性研究方法[13]，具体包括文献内容分析法和案例分析法．研究材料：高中一线教师发表的概率教学文献，其中，案例材料来自于文[12]和文[14]．

3 条件概率的本质

高中阶段与大学阶段给出的条件概率的定义是一致的，概念的表述几乎完全相同，但对于该概念的解读与教学却大不相同．原因在于：大学阶段，关于概率的基本概念采用的是演绎推理的方式，即先介绍概率的公理化定义，后给出条件概率的定义，并证明条件概率也是概率，然后由演绎推理自动得到“条件概率具有概率的性质”这一结论，但高中阶段没有介绍概率的公理化定义，而是采用从特殊到一般的归纳推理方式“诱导”出条件概率定义，在介绍完定义后，“强行”指出“条件概率具有概率的一般性质”这一结论[15]．教材内容编排的这种差异给高中一线教师带来了挑战，对于培养数学教师的大学数学教育专业的概率统计课程教学而言，是一次与高中内容深度对话的教学契机，然而，多数大学教师并不了解高中教材的细节，对这一重要信息往往一带而过，或者，虽然了解高中数学教材，但如果意识不到同一内容在不同阶段采用不同讲授方法的原因，也会错失重要教学事件的教育价值，结果是大学与高中阶段各说各话，衔接不畅，学生不明其中差异，教师没有捕捉到展示大学概率理论价值的教学时机，十分可惜．

高中阶段介绍的“古典定义”“几何定义”“统计定义”都不是严格意义上的定义．如所周知，数学概念的定义非常严谨，一般不会出现多个定义，如果出现不同定义，需要证明其等价性．这里所谓的“古典定义”主要是给出“古典概型”的概率计算公式，“几何定义”主要是给出“几何概型”的概率计算公式，“统计定义”则是给出概率值的近似计算策略．没有公理化定义作为前提，高中阶段无法进行演绎推理，如何讲授条件概率的定义，自然成为一个教学难点，化解该难点，需要合适的教学理论作为指导，也需要较为深厚的专业功底，需要对条件概率的本质具有较为专业的理解．

3.1 概率的公理化定义及其价值

通俗地说，正如小学生用尺子去测量线段的长度，概率是一把用来度量随机事件的关键属性即“发生的可能性的大小”的“尺子”．需要特别指出的是，概率测度采用公理化定义，满足该定义的集合函数是不唯一的，比如，条件概率也满足该定义的3条公理．

概率的公理化定义具有重要意义．首先，从17世纪到20世纪，概率及其相关研究曾经长期游离在数学大家庭之外，有了概率的公理化定义，概率论获得了严格的数学基础．其次，概率论的公理化，是20世纪数学抽象化的一项硕果，它使概率论这门古老的学科焕发出无限的青春，在理论和应用两方面都进入了崭新的发展阶段[16]．第三，从概率测度与勒贝格测度的差异来看，勒贝格测度采用构造式定义（从构造勒贝格外测度开始），得到定义后再阐明该测度具有非负性、规范性与可列可加性．但样本空间不同于“固定的”“静态的”欧式空间，样本空间是变化的、动态的、抽象的，构造式定义失去了赖以生长的土壤．可见，公理化方法向概率论学科的渗透，是数学发展的历史必然，或者说，概率的公理化定义，是理性精神指引下的胜利果实，该成果不仅是历史功绩，也是现代概率论研究的逻辑起点，并具有方法论的启迪意义．

3.2 条件概率的本质

对于条件概率的本质，可以从不同视角进行解读，比如应用视角、文化视角，研究者从学科专业知识及其教学的视角，将其本质特征提炼为以下3点．

4 案例分析

4.1 两个案例

文[14]介绍了高中条件概率概念教学的现状与思考，案例1摘选自文[14]．文[12]一位高中教师介绍了自己的条件概率教学案例与教学反思，案例2摘选了其中的关键教学片断．

案例1：条件概率概念教学现状与做法（高中一线教师视角）

第1部分：新增条件概率的背景分析（略）．

第2部分：条件概率的教学现状．条件概率是整个概率论教学的难点，学生学习条件概率总感觉困难，其原因表现在两个层面，学的层面（略）．教的层面：（1）由于条件概率在高中数学的地位和高考要求不高，教师不愿意在教学上做过多投入，自身研究得少，教授概念“草草处理”，遇到问题“回头加工”，教学“功利化”，重结论，轻过程，结果欲速则不达，反而给教学带来负担．（2）对条件概率的地位作用认识不足，就概念讲概念，没有认识到条件概率概念的重要性，对概念产生的根源以及概念的内涵、外延不做深入分析，对概念的应用价值挖掘不深，教学“理想化”“走捷径”．正因如此，高中阶段对条件概率的教学表现出3种倾向，一是把其作为过渡性概念处理，……，浅尝辄止，一带而过，二是放弃概念教学，直接进入独立重复试验教学，三是把符号当作定义，不对概念形成进行深入剖析．

上述诸多因素，造成学生不能理解和掌握条件概率的概念，不能体悟其中蕴含的思想方法，更谈不上通过条件概率的教学培养学生的数学能力和素养．

第3部分：条件概率教学的几点做法．3.1生成概念从情境构思开始……，普通高中数学课标教材，条件概率的概念是通过实例引导学生发现，由特殊到一般，得出3个概率之间的关系，……，整个过程凸显“从古典概型入手，回归条件概率本源”的思想．实际教学时，教师觉得意犹未尽，还可以增添其它情境的案例，从不同的角度，强化条件概率的概念形成过程，使得概念的建立更合情合理，更有说服力，因此（将归纳推理的流程在“几何概型”情境下进行一次），不仅使得概念得以强化，而且以后把条件概率运用于“几何概型”更显得自然而然……3.2理解概念从事件分析入手……，条件概率最容易混淆的是两个事件与|……3.3运用概念在本质解构中把握……

案例2：条件概率教学案例片断

依照教参“由归纳得出概念”的教学指引，（教师）先给出一个引例，然后尝试引导学生“发现”条件概率的定义．由于所举的例子恰好满足条件()=()，结果引出了两个等式，始料未及的是，大部分学生赞同采用以下式子作为条件概率的定义：

面对这种“出乎意料”的情形，教师化解：“灵机应变”让学生寻找原因（()=()），找到原因后让学生更换例子，避免出现()=()．教师认为“矛盾恰到好处地化解了，表现出高超的教学水平”．

4.2 案例分析：概念讲授存在的问题与改进策略

人教版选修2-3通过一个“奖券的抽取”问题[15]作为铺垫，引导出以下式子

从而归纳出条件概率的定义．这是一种从特殊到一般的推理，给出了定义的缘由，但定义的合理性，“为什么要这样定义”还需要必要的解读．作为教师，备课时既要考虑到“有疑”，还要思考如何“释疑”．

案例1的处理方法：教师觉得意犹未尽，还可以增添其它情境的案例，从不同的角度，强化条件概率的概念形成过程，使得概念的建立更合情合理，更有说服力，因此（将归纳推理的流程在“几何概型”情境下进行一次），不仅使得概念得以强化，而且以后把条件概率运用于“几何概型”更显得自然而然．

案例2的处理方法：引导学生“发现”条件概率的定义，但始料未及，大部分学生赞同另外一个表达式(|)=()/()，于是让学生寻找原因，更换例子，避免出现()=()．

从案例1可以看出，教师对条件概率概念教学的重要性的分析是比较全面而中肯的．“教的层面”虽然存在教师不重视的主观原因，但从“高中阶段对条件概率的教学表现出3种倾向”来看，一线教师似乎缺少一把“抓手”，或者一个“支点”，不清楚应该“讲什么”以及“如何讲”，案例1作者的处理方法也验证了这一点．将归纳推理的流程在“几何概型”情境下再进行一次，这样设计是否有利于“释疑”，值得商榷．教材已经给出了定义的缘由，给出了定义，按照文[10]的观点，接下来应该是“概念的辨析”，“用概念做判断”，以及“概念的精致（建立概念间的联系）”．引导学生再“发现”一次，未尝不可，但是难以起到辨析的作用，而且对一般情形是否适用，疑问还是没有消除．

对于一般情形，定义的合理性如何解释？可以借助文氏图（图1）进行直观性的说明．结合图1与条件概率的定义，让学生感悟条件概率是在W的子集上考虑概率运算，即所谓的“缩减样本空间法”．除了直观展示，建议再结合反例来“逼近”真相．正好案例2出现了一个反例，遗憾的是，这个预期之外的反例没有被好好使用．事实上，案例2“更换例子”的做法似乎只是想和书本上的定义保持一致，但即便出现()=()的情形，并不影响条件概率的定义．如所周知，反例列举一个即可，但从正面证实求是的角度，花时间去寻找一个具体的例子，似乎是一种无奈之举．

图1 的情形

图2 的情形

情形1：学生意识到(|)=()/()“有毒”，教师继续引导学生分析，要使得定义式左边的(|)≤1，则右边分式的分子应该小于或等于分母，根据概率的单调性，以及常识：右边式子必须出现变量，分子理应是()，这样的结局皆大欢喜．经历了有逻辑的推理，证伪与证实的融合，学生会建立起对定义的理解与认同，深刻记住定义，为之后的应用打下坚实基础．

情形2：学生质疑为什么要保证(|)≤1，条件概率是概率吗？这种情形出现的可能性比较小，但难能可贵．此种情形考验教师的知识储备，前面关于“条件概率的本质”的分析就可以派上用场，然后又回到情形1．

假如教师不了解条件概率定义的“秘密”，将错失一次课堂教学的“高潮”．事实上，条件概率的定义，不但保证了(|)≤1，而且保证了“条件概率是概率”．条件概率的本质与定义的科学性往往被一线教师所忽视，概念教学“迷失”了方向，把定义当作公式来演练的现象普遍存在．

证伪使课堂教学更加深刻，但文献梳理发现，证伪教学案例极少，上述案例2出现反例但擦肩而过[18]．关于证伪教学，喻平指出，一直以来，教学遵循“证实—求是”的范式，只有“存真”而丢失“去伪”，单一的训练模式会造成学习者的思维定势，削弱了教学应有的价值；为什么不让学生体验寻找真理的艰辛和进入探索问题之门？课程与教学需要检讨和反思[19]．

4.3 案例分析：其它问题及其归因

（1）把条件概率的定义当作公式来讲授．案例1中“条件概率公式的产生过程”很容易让人误解，更尴尬的是，大量的文献把条件概率的定义解读为公式．此类问题或许与条件概率独特的定义方式有关，因为给出定义的同时，也给出了计算方法．但是，教师要尽量避免把“定义法”说成“公式法”，虽然对条件概率的计算没有影响，但是对条件概率的学习与理解会造成阻碍．“公式法”会遮蔽师生的眼光，以致师生不去认真思考定义的缘由、基础、合理性，荒废有利于触及概念本质的教学活动．比如，文[20]不但将“定义法”说成“公式法”，还给出了所谓的“证明”，把定义教成了定理，偏离了概念教学的正确路径．解决此类问题的关键因素是教师对专业概念的理解高度与数学教学观．

（2）把符号当作定义．文[14]指出，有的老师这样讲授条件概率的定义：设、是样本空间W中的两个事件，若()>0，则称(|)为事件发生的条件下事件发生的条件概率．此类问题并非完全是教师对概念的不重视所致，数学教学心理学中有这样的描述：概念是反映事物本质属性的思维形式，概念的命名是表示概念的一种语言形式，比如与概念相联系的符号．概念的符号与概念紧紧相连，以至于人们常常把符号误认为概念本身[21]．条件概率的符号(|)直观形象，容易导致“把符号当作定义”的错误．此类错误的纠正相对比较容易，比如，可以将概念的表述调整如下．

设、是样本空间W中的两个事件，若()>0，则称()/()为事件发生的条件下事件发生的条件概率，记作(|)．

5 教学建议

5.1 概念教学：从概念的本质入手 借助正例反例与图形直观 讲清楚概念的内涵

定义不需要证明，但定义的基础、缘由、合理性等要素需要进行必要的解读．课程改革已经进入“发展学生学科核心素养为导向”的新时代，建议采用“数学眼光”之“数学抽象”的视角去看待定义的基础．数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，获得数学概念和规则是数学抽象的主要表现[24]．条件概率定义用到了“事件的概率”“积事件”“除法”3个前导概念，正是通过对数量关系的抽象得到了条件概率新概念．因此，“数学眼光”有助于发现概念的抽象性，而不是停留在“看上去很简单”的感性认识层面．按照数学抽象度理论，从“概率”到“条件概率”是一种弱抽象[25]．

人教版选修2-3采用从特殊到一般的推理形式引导出条件概率的定义，属于归纳推理形式，给出了定义的缘由．教材在介绍完定义后，立即指出“条件概率具有概率的性质”，很多教学论文引用了这句话，至于为什么，几乎无人提及，事实上，性质是需要证明的．因此，“数学思维”之“逻辑推理”素养融入教学有助于启发思考，思考“为什么”可能触发教师对概念本质的领悟，而不仅仅是记住一些结论．比如，性质要一一验证吗？或者，只需验证其中几个即可？这正是文[26]中问题4的设置意图．由此可见，条件概率教学是检验是否理解概率的公理化定义的试金石．一些文献[5-6]用“贝特朗悖论”来调查概率的公理化定义的理解状况是不合适的，出现了因果倒置的逻辑错误．可以从概率的公理化定义的视角对“贝特朗悖论”做一些解读，但作为一道问答题，不能因为被试没有提及概率的公理化定义就判断被试不了解概率的公理化定义，因为，“贝特朗悖论”的本质是问题的条件不充分，换言之，问题是一道开放题，把题目补充完整，答案就唯一，补充不同的条件（等可能性假设），就导致不同的解答[27]．

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养，是实现数学抽象的思维基础[28]．文氏图虽然是示意图，但借助图形直观有助于条件概率定义的理解，有利于化解教学难点，也有利于发展学生的直观想象素养．

关于概念教学，需要正例、反例结合使用，引导学生分析定义中的关键词或符号，达到对概念内涵的深度理解．正反例的结合，证实与证伪的融合，使课堂教学更加深刻．

但归根结底，首先要理解概念的本质，内容决定方法，从概念的本质入手，才能找到合适的讲授方法．

5.2 解题教学：从数学建模的理念入手 培养解题规范意识 掌握两种基本计算方法

关于条件概率的计算，出错原因主要为两点，一是“事件符号化”意识淡薄，当出现排列、组合等其它信息干扰时，由于事件含义不明确导致出错；二是对条件概率的内涵理解不深，不擅长借助图形直观辅助解题，以致采用“缩减样本空间法”解题时常常出现错误．

比如，文[29]介绍了这样一个问题及其解法．问题：投掷骰子两次，求在第一次掷得的点数为1或2的条件（事件）下，两次掷得的点数之和为5（事件）的概率．解法一（缩减样本空间法）：所求概率为=2/6=1/3．解法二（定义法）：()=2/6，()=2/36，因此，(|)=()/()= 1/6．由于两种方法得出的答案不一致，该文认为解法二错误，事实恰好相反，是解法一错误．事实上，借助文氏图（图3），可以清晰地看出错误的原因．

图3 投掷骰子两次（只标出两个事件的交集的元素）

事件表示“第一次投掷骰子的点数为1或2”，因此含有12个元素．文[29]认为抛掷一次骰子有6种结果，故含有6个元素，事实上，该文忘记了前提条件“投掷两次”，换言之，样本空间是“2维”的，缩减样本空间即也必须是“2维”的．在“2维”样本空间与“1维”样本空间之间“随意”切换，导致出错．事实上，该文的其它问题出现了同样的错误：在不同“维数”的样本空间之间“自由”的切换而浑然不知．因此，初学者要写好样本空间，即使不写，也要“心中有数”．

因此，关于解题教学，首先，要培养规范意识，按照数学建模的理念来研究解题，牢记问题数学化、事件符号化为第一步．其次，抓住两种基本方法：“定义法”和“缩减样本空间法”．需要注意两点：（1）方法不要“贪多”，有的文献总结了多种计算方法，淡化方法分类的依据与重要性，得不偿失，反而加重了学生的负担，影响了教学效果．（2）过程不要“贪图省事”，事件的含义交待不明确往往导致出错．

5.3 重视条件概率教学 展示概率理论的价值 激发学生学习概率知识的兴趣

孤立看待概率模型，缺乏整体认识是目前概率教学存在的误区．比如，“古典概型”具有“有限”“等可能性”两个特征，但具有这两个特征的问题却不一定适合“古典概型”方法来研究，因为很多问题中的“等可能性”只是一个非本质特征，这正是“古典概型”的教学难点．选择合适的概率模型有利于问题本质特征的揭示，概率论中很多重要模型依赖于条件概率，比如“无记忆性”模型、“无后效性”模型．

问题1：抛掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，连续抛掷多次，问恰好得到3分的概率为多少？

分析：使用“独立事件概率乘法公式”和“互斥事件概率加法公式”，得3分的概率为：

“抛掷硬币”容易联想到古典概型，文[30]正是基于“古典概型”探究该问题，得到一种“虚拟解法”．事实上，是一个并未完成的探究，该方法繁琐且适用范围窄．比如，文[9]中的问题1（1）与上述问题本质完全相同，只是将抛掷“硬币”改成抛掷“正四面体”．抛掷一次正四面体，会有4种不同结果，分别对应得到“1分”“2分”“3分”“4分”．要得到4分，抛掷一次、两次、3次、4次都有可能．抛掷一次，样本点个数是4个，抛掷两次，样本点个数为16个，……，抛掷4次，样本点个数高达256个，文[30]通过列表“数一数”的“虚拟解法”失去了可行性．

事实上，“等可能性”并非问题1的本质特征，比如，若出现正面的概率是1/3，出现反面的概率是2/3，依旧可以计算概率为：

概率值13/27是由3部分组成，对应图4中的3条路径，比如，第一步获得“2分”，然后，第二步获得“1分”，即0→2→3构成其中的一条得分路径．更准确的表达是，起始得分为零分的条件下第一步获得“2分”，然后，第一步获得“2分”的条件下第二步获得“1分”，并将对应的概率值做乘法．直觉上很“显然”的概率（图4中的分数），其实都是条件概率．

6 结论与展望

6.1 结论

条件概率概念教学存在较多问题，甚至出现了科学性错误，问题出现的根本原因是一线教师对条件概率的本质的理解存在欠缺，概念教学缺乏有效的方向指引．在教材已经给出“定义的缘由”的情况下，没有意识到要讲授定义的“基础”“合理性”“科学性”等概念形成要素，过快地进入“把定义当作公式来演练”的环节，忽视定义的科学性、概念的内涵与价值等要素的有效揭示，从而也不利于数学核心素养的培育．

条件概率概念教学应从概念本质入手，借助正例反例与图形直观，讲清概念的内涵；解题教学应当从数学建模的理念入手，培养解题规范意识，掌握两种基本计算方法；高中数学要重视条件概率教学，凸显其在概率知识体系中的重要地位，展示概率理论的价值，激发学生学习概率知识的兴趣．

6.2 展望

条件概率是概率论中一个基础而重要的概念，在理解概念本质的条件下才能更好地开展教学，否则，会出现各种问题．要理解条件概率的本质，需要熟悉概率的公理化定义及其价值，需要重温大学概率知识体系，了解概率理论的价值，开阔视野，获得方法启迪；大学阶段概率教学要研究学生的已有基础，做好与高中数学的有效衔接与深度对话，如何有效开展，需要进一步研究．

高中概率教学的已有研究，结合一线具体内容的案例研究较少，或者研究结论过于宽泛，成果的可应用性受到制约．这里的研究提供了条件概率这一概率论重要概念的教学案例及其分析，给出了教学建议，希望给一线教师以及高中教师在职培训提供参考．概率统计核心知识的教学研究，还有很多问题，但专业性很强，难度较大，理论与一线实践相结合也并非易事，任重道远，还需继续努力．

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[29] 陈武生．一个条件概率问题的辨析[J]．中学数学研究，2018（6）：21–22．

[30] 张红兵，龚卫东．一个概率问题的解决及其启示[J]．数学通报，2017，56（5）：21–23．

[31] 李杰民，廖运章．高观点下一个中学概率问题的分析与启示[J]．数学通报，2020，59（5）：41–45．

Understanding the Meaning of the Conditional Probability and Its Teaching

LI Jie-min1, 2, LIAO Yun-zhang1

(1. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;2. School of Mathematics and Statistics, Lingnan Normal University, Guangdong Zhanjiang 524048, China)

Probability is a set function; its essence is in measuring the chance of random events. The probability has been defined using axioms, so does conditional probability. Therefore, conditional probability is also a probability measure. Conditional probability is a set function with parameter variables. Using the qualitative research method, the literature on probability teaching written by inservice high school teachers in the past 20 years has been reviewed, the existing problems were classified and attributed, and two representative articles were selected for case study. Based on this research, it was found that there are many problems in the teaching of conditional probability. The rooted problems is that inservice teachers lack their understanding of the concept of conditional probability. Thus, teaching suggestions are as follows: The teaching of the concept should start from the essence of the concept, explaining clearly the connotation of the concept with the help of positive and negative examples and graphic intuition. The teaching of problem solving should start with the concept of mathematical modeling, cultivating the consciousness of problem-solving standardization, and mastery of two basic methods. High school mathematics should attach importance to the teaching of conditional probability, demonstrate the value of probability theory, and stimulate students’ interest in learning probability knowledge.

high school probability teaching; probability measure; conditional probability; the axiomatic definition of probability; teaching suggestions

G632

A

1004–9894（2021）01–0054–07

李杰民，廖运章．条件概率的本质及其教学建议[J]．数学教育学报，2021，30（1）：54-60．

2020–08–10

广东省高等教育教学改革项目——基于新师范建设的数学教学技能训练模式和路径研究（粤教高函〔2018〕180号–458）；岭南师范学院教育教学研究和改革项目——应用型高校概率统计课程的教学研究与改革实践（LSJGMS1832）

李杰民（1973—），男，湖南平江人，讲师，博士生，主要从事数学教育研究．廖运章为本文通讯作者．

[责任编校：周学智、陈隽]