薛定谔、KdV、KdV-Burgers方程的椭圆函数解和孤立子——非线性偏微分方程的解

肖 婷 婷

(陇东学院 数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000)

1 薛定谔方程

定态的薛定谔方程为

其中U是势函数，ħ是常量，μ是粒子质量。

1.1 1维薛定谔方程

1维的薛定谔方程为

(1)设Φ=Φ(x,t)=φ(x)e-ilt，其中φ(x)=JacobiSN(x,λ)2+B，这里B和l是待定的系数，λ是参数(0≤λ≤1)。代入上述方程，经过整理和合并同类项，得到一个只关于函数JacobiSN(x,λ)的方程。再令每一项的系数为零，得到关于参数B，l，μ，λ的方程，解这个方程组得到对应参数的值。

解Φ1(x,t)=

解Φ2(x,t)=

为了求出孤子解设φ(x)=tanh(k1x)2+B。得到如下的参数值和解：

设φ(x)=tanh(x)2+B。

(2)设Φ=Φ(x,t)=φ(x,t)e-i(kx+lt)，其中φ(x,t)=JacobiSN(x+lt,λ)2+B。得到

解Φ1,2(x,t)=

解Φ3,4(x,t)=

解Φ1,2(x,t)=

解Φ3,4(x,t)=

解Φ1,2(x,t)=

解Φ3,4(x,t)=

1.2 3维薛定谔方程

(1)设Φ=[Atanh(x+y+z)2-1]e-ilt。

(2)设Φ=[Atanh(x+y+z+wt)2-1]e-i[k(x+y+z)+lt]

2 KdV、KdV-Burgers方程

2.1 标准KdV方程

标准KdV方程

是1895年由荷兰数学家科特韦格和德弗里斯共同发现的一种偏微分方程，有钟形、扭形、暗孤波解。

2.2 KdV-Burgers方程

KdV-Burgers方程为

总结：最近的研究也在不断改进反演散射方法、Bäcklund变换、Darboux变换。