一道联赛试题的背景与解法

湖北省仙桃中学 (433000) 胡生淼

2018年全国高中数学联赛一试解答题压轴题是一道解析几何试题，官方公布的答案运算量较大，下面我们通过揭示本题蕴含的两个背景，给出一种较为简洁的解法.

题目在平面直角坐标系xoy中，设AB是抛物线y2=4x的过点F(1,0)的弦，△AOB的外接圆交抛物线于点P(不同于点A、O、B)，若PF平分∠APB,求|PF|所有可能值.

结论1过点P(x0,y0)的两条直线分别与抛物线y2=2px(p>0)交于点A、B与C、D，若这四点共圆，则这两条直线的倾斜角互补(或斜率互为相反数).

图1

证明:如图1，设直线AB的序数方程为

图2

图3

有了上面两个结论我们可以轻松解决联赛试题.

至此我们就轻松地利用两个结论，以较小的运算量解决了此题，这启迪我们平时解题应该多思考.