考虑老年人满意度的多目标居家养老护理员路径优化

马跃如，文 铮，易 丹

(中南大学 商学院，湖南 长沙 410083)

目前，我国人口的老龄化程度处于加速加深的过程。截至2018年底，全国65岁以上人口达1.7亿，预计到2020年，我国老年人将有2.48亿，老龄化水平达到17.17%，2025年甚至成为超老年型国家[1]。针对老龄化的严峻形势，我国出台多项关于老龄事业发展以及养老服务发展的政策文件，主张建设“以居家为基础、社区为依托、机构为支撑、医养相结合”的养老服务体系，9073养老服务格局初具雏形，居家养老服务模式成为我国应对人口老龄化危机的重点发展模式。但从整体来看，有效供给不足、质量效益偏低、服务资源配置不均衡且失位错位等突出问题制约着整个居家养老服务业的高质量发展[2]，居家养老服务的供需矛盾依然是我国养老服务体系建设中存在的主要问题。从实际运营层面来看，居家养老护理员为老年人提供即时型服务，护理员资源的优化配置是保障老年人享受高质量服务的关键环节。因此，为了积极应对老龄化，充分利用服务资源，并提高老年人居家养老满意度，合理调度居家养老护理员并优化其对老年人的服务次序具有重要的现实意义。

由于西方部分国家较早进入老龄化社会，其养老服务体系发展相对成熟，其中关于家庭护理调度的研究受到众多学者的关注。此类研究被看作是车辆路径[3]和多旅行商[4]问题，它们被分为单周期[5]和多周期[6]规划问题，大多考虑时间窗[3,5,7-8]、技能要求[4-5,7]、工作时间[6,9-10]、同时服务[6-7,11]等因素，并利用近似方法[12]、启发式算法[3]等进行求解。而我国居家养老服务尽管呈现良好发展态势，但在居家养老护理调度方面的研究稍显薄弱，仅有小部分学者引入时间窗、同时服务等约束，并利用分支定价、领域搜索等算法进行了研究。如袁彪等[13-14]引入随机服务时间以及最迟开始服务时间约束和多类型护理人员约束，设计列生成算法和分支定价算法进行求解；陶杨懿等[15]设计邻域搜索算法以求解具有同时服务需求的护理员调度问题。卓艺赫等[16]针对客户周期性服务需求提出一种改进禁忌算法。杨欣潼等[17]基于改善蚁群算法实现护理员的预约调度。然而，上述研究要么仅考虑居家养老服务中心运营成本最小化，要么仅考虑护理员的时间成本最小化，忽视了老年人对提升养老服务质量的诉求[18]。以往研究表明，考虑消费者满意度有利于提升服务的质量或企业的绩效[19]，而且有学者采用消费者满意度来主观评价服务质量[20]，因此在考虑居家养老服务中心运营成本的同时考虑老年人的服务满意度，可能更有利于提升居家养老服务中心的整体服务质量。另外，服务满意度通常是基于人的非完全理性而作出的行为判断[21]，作为涉及心理学和行为科学的前景理论恰好能较好地描述行为主体的非完全理性特征[22]。宁涛等[23]针对物流配送过程中出现的动态扰动问题，提出基于前景理论的多目标优化求解方法。杨琴等[24]结合前景理论研究汽修车间瓶颈设备的调度，并有效提升系统效率和客户满意度。上述研究为本文考虑老年人评价服务满意度时的决策心理提供了较好的思路。

基于此，本文综合考虑老人的服务满意度和居家养老服务中心的运营成本两个要素，构建基于前景理论价值函数的满意度函数，引入时间窗、服务技能要求等约束，建立多目标养老护理员路径优化模型，使用改进的适用于多目标处理的Pareto遗传算法对其进行求解，使模型更贴合实际，计算结果也更加精确。通过算例对模型和算法的有效性进行验证，以期为居家养老服务中心进行护理员调度决策提供参考。

1 模型构建

1.1 问题描述

本文提出的居家养老护理员多目标调度问题属于带时间窗的车辆路径和多旅行商问题。但传统的车辆路径优化问题往往仅考虑距离和成本因素，而居家养老服务所针对的对象群体为老年人，服务中心不纯粹以盈利性为目标，同时注重人本性、时代性以及社会性。因此，一方面需要考虑居家养老服务中心的运营成本，另一方面更要保证服务质量以提升老年人对居家养老服务的满意度。具体上门护理过程可描述为：在一定的社区范围内，居家养老服务中心拥有多名不同技能的护理员，护理员从服务中心出发，按顺序依次访问老年人住所并进行上门护理，完成服务后返回服务中心，以满足老年人的服务需求，使老年人满意度最大化，服务中心运营成本最小化。上门护理路径如图1。

图 1 养老护理员路径Figure 1 Home-health-care staff for the elderly routing

利用连通图G=(V,A)定义该问题。其中，V表示点集，V=Vc∪Vd，Vc={0,n+1}表示居家养老服务中心，Vd={1,2,···n}表示老人的住所；A={(i,j)|i,j∈V,i≠j}表示弧集。对于老人i∈V，其对护理员的服务技能需求为gi，护理员拥有不同的服务技能gk，分初级、中级、高级，护理员为老人服务时必须满足老人对服务技能的需求，当护理员服务技能高于老人需求时会产生过度服务成本 Cg。对于养老护理员k ∈K，其为老年人服务的持续时间为ti，由于护理服务持续时间与老人的自身状况有着密切的联系，所以服务时间具有很强的随机性。服务时间服从正态分布ti～N(µi,σ2) ， µi和 σ2分别表示服务时间的均值和方差[13]。护理员为老人提供服务时原则上需最佳时间窗[ei,li]范围内开始，此时老人满意度最高。令护理员到达老人住所的时间为 τi，早于 ei可能无法立即服务，而且会产生等待服务时间 wi，晚于li或许会扰乱老人的日常生活作息与习惯，此时满意度降低甚至不满意。由于居家养老服务中心依托于社区，且服务范围仅限于该社区，各个老人之间的住所距离相对较近且集中，因此，护理员在老人i与j之间的旅行成本忽略不计。此外，服务中心的日常支出等为固定成本 Cf，护理员所携护理工具、用品等为基础服务成本 Ck。 xijk为决策变量，当护理员k顺利服务完老人i 后并开始服务老人 j时，xijk=1，否则xijk=0。

1.2 模型分析

1.2.1 服务技能违反成本

养老护理员是对老年人生活进行照料、护理的服务人员，在其服务技能符合老人需求的前提下，才能上门服务护理老人。但是其具备不同的职业等级，每个等级所包含的技能有差异，从低等级到高等级，掌握的技能也依次递增。比如初级护理员仅掌握日常的生活照料和技术护理，而中级护理员还负责康复护理和心理护理。因此，当护理员自身服务技能与老人所期望的技能恰好相匹配时，不存在任何服务技能违反成本。然而，护理员所具备的技能高于老人提出的需求时，导致居家养老服务中心增加运营成本，包括直接成本和间接成本，如时间成本、人力成本及潜在风险等，本文将该增加的成本称为过度服务成本，其与护理员为老人服务持续时间成线性关系[15]，其表达式如下

1.2.2 基于前景理论的服务满意度

服务满意度不仅描述的是人所具有的一种主观感受和认知，也是对服务质量优劣的评价。它可表达为服务质量函数[25]，满意度= f(期望，感知质量)。其中，感知质量是指客户在服务的可靠性、响应性、保证性、移情性等方面对服务质量进行满意度的评价[26]。居家养老服务针对的对象为老人，其作为行为主体，一方面表现为有限理性，另一方面受自身身体状况等因素的影响，对服务的响应性即时间要求较高。基于此，本文主要考虑护理员上门服务的准时性来衡量老人对服务满意度的水平。

运用前景理论中的价值函数相关原理[27]对主体所感知的服务满意度曲线进行刻画，分别用价值函数的正和负值表示评价中的“满意”与“不满意”，由此建立服务满意度函数，以此反映居家养老服务的现实情况。其中，老人对服务时间的满意(收益)和不满意(损失)具有不同的敏感程度，因此，在对服务满意度进行决策评价之前，通常会选择一个参考点，收益和损失都是相对于该参考点而言。每位老人都有各自设定的时间窗。实际上，在软时间窗内，老人对服务的评价都是满意的，反之则不满意。因此，本文将参考点定义为老人可容忍的最晚服务时间。受老人身体状况与自身需求差异的影响，每位老人对时间窗的要求及设定迥然不同。比如具有糖尿病的老人需要在规定时间注射胰岛素，此时为最佳时间窗[ei,li]，而只需要简单生活照料护理的老人对时间没有刚性要求，此时为可容忍时间因此，本文所研究的时间窗为混合时间窗，护理员在老人设定的时间窗内或窗外到达均会影响满意度。若护理员在最佳时间窗[ei,li]内到达，则老人满意度最高，即对应于价值函数中的“收益”，且恒定为1；若护理员在老人可容忍的时间窗但非最佳时间窗内到达，老人将护理员实际到达时间 τi与上述设置的端点作比较，满意度为正值但非最高。另外，在对老人的影响较小，所以设定前者的最低满意度为θ(0 ＜θ ＜1)，后者最低为0。若护理员晚于老人可容忍的时间窗到达，对老人的影响过大，则其表现为不满意即损失，满意度为负值且随之降低，超过1倍可容忍时间窗时为最低满意度恒定值-1；若护理员早于老人到达，对老人影响可忽略不计，因此不考虑服务满意度。另外，α、β、λ分别表示收益系数、损失系数和损失厌恶系数，α,β ＜1表示老人对服务满意度是边际递减的，系数λ ＞1表示老人对服务不满意比满意更加敏感。结合前景理论构建的服务满意度函数表达式为

综上所述，服务满意度函数示意图如图2。

图 2 服务满意度函数Figure 2 Service satisfaction function

1.3 模型建立

根据上述对模型问题的描述和分析，运用前景理论价值函数所得出的满意度函数，以最小化运营成本和最大化服务满意度为目标函数，构建多目标养老护理员路径优化模型如下。

式(3)为成本最小化目标函数，其中第1项为护理员固定成本，第2项为基础服务成本，第3项为服务等级违反成本；式(4)为老年人服务满意度最大化目标函数，表示老年人的服务满意度；式(5)表示护理员服务等级违反产生的过度服务成本；式(6)表示护理员等级匹配约束；式(7)表示护理员在对老年人i 服务结束后到老年人 j 的时间不能晚于对老年人 j的开始服务时间，其中 M为大正值；式(8)表示每个老年人只能被服务一次；式(9)～(11)表示各养老护理员从居家养老服务中心0出发，服务完每位老年人后又回到起始点；式(12)表示在养老护理员访问老年人住所的路径中没有子回路，其中SV表示养老护理员从居家养老服务中心出发访问老年人住所的路径；式(13)表示决策变量为0-1变量。

2 算法设计

本文所研究的居家养老上门护理服务的护理员调度问题是一类含复杂约束的多目标优化问题，而具有内在并行机制和全局寻优特性的遗传算法能有效解决该类复杂问题。通过引入Pareto最优理论，基于非支配排序改进遗传算法求出Pareto最优解，解集中的所有解不具有相互支配关系，管理者可根据自身偏好在多目标解集中进行权衡。与传统遗传算法相比，本文所改进的遗传算法不仅较好地避免了解集的局部最优，提高了收敛速度，而且非支配排序和拥挤度计算在一定程度上保证了Pareto最优解的可靠性和准确性。具体多目标遗传算法流程如图3。

2.1 染色体编码

在遗传算法中，通常用编码的方式将解集转化为遗传空间的基因型串结构数据以便计算。由于养老护理员调度问题是一类次序组合优化问题，其可行解是所有被访老人与护理员访问路径的组合。为避免大量无效解的产生，本文采用自然数编码方式。假设居家养老服务中心有k名护理员，需要服务n位 老人，则形成一条基因个数为k+n−1的染色体编码串，各基因值即老人编号，染色体中101、102等数字表示不同路径的分隔符。例如，3位护理员上门护理9位老人所对应的染色体结构如图4，可解释为1、2、3号护理员分别从服务中心出发，每位居家养老护理员访问老人的次序依次为5-3-2，7-1-6-9，8-4。

图 3 多目标遗传算法流程Figure 3 Multi-objective genetic algorithm flow

图 4 染色体编码Figure 4 Chromosome coding

2.2 初始种群生成

遗传算法中进化的起点为初始种群的生成，一个均匀分布在解集空间的初始种群有助于避免算法陷入局部最优解，提高算法的效率，因此本文采用随机生成初始种群的方式。为确保初始种群的有效性，作为分隔符的基因不出现于整个基因的首和尾，而且不存在两个分隔符基因相邻。

2.3 适应度函数

生物进化过程中“适者生存，优胜劣汰”，同样地，遗传算法中需要对个体的质量优劣进行衡量以便更好地进行遗传操作。其中衡量的标准用适应度表示，个体的适应度与其被选择的机会成正相关关系。适应度函数通常根据目标函数而定，适应度函数的取值为非负数，而目标函数的取值可正可负，因此本文将目标函数转化为fi=minZ1−100n(1−maxZ2)。其中，由于目标函数Z2表示最大化服务满意度，且取值为[−1,1]，与Z1相比，其在适应度函数中所占比重较小。为了便于计算，将满意度最大化转化为最小化，同时选择100作为变换因子，将服务满意度转化为费用[28]。

2.4 选择算子

遗传算法中选择算子的目的是从现存种群中选出适应度高的个体，使它们有机会被遗传到下一代。与常用的轮盘赌选择法相比，锦标赛选择法更胜一筹[29]。本文选取锦标赛选择法与最佳个体保留相结合的方法。一方面，提高新一代种群中个体质量，即对种群中所取出的个体进行筛选，使适应度值最高的个体进入下一代，剩余个体重复此操作，直至新产生的种群规模与原来的种群规模相同；另一方面，保障最优个体成功进入下一代种群，即锦标赛选择操作结束后产生的新一代种群中的最优个体得到进化，大大提高种群的收敛速度。

2.5 交叉算子

作为提供新个体来源的交叉算子，其在遗传算法中起着举足轻重的作用。根据个体的自然数编码方式，同时避免传统交叉算子可能无法产生新个体的弊端，因此本文选用部分匹配交叉法。首先随机在2个父代个体A和B中选择2个交叉点组成交叉区域“||”，然后将确定的2个交叉区域进行互换得到子代个体A'和B'，最后对2个子代个体交叉区域外出现的重复遍历点进行交换，得到A''和B''2个新个体。具体如图5所示。

图 5 部分匹配交叉Figure 5 Partially matched crossover

2.6 变异算子

变异算子在算法中尽管扮演着辅助进化的角色，但是它有助于保持群体多样性，增强局部搜索能力。为了使种群中的个体在进化中能有效地变化调整，避免早熟现象，本文采用倒位变异法操作 (图6)，随机选择染色体C上的两点，即变异点，两点之间为变异区域，将其进行倒位得到新个体C'。另外，由于染色体中分隔符的存在没有实际意义，所以在操作中设定不允许同时选择2个分隔符基因为变异点。

图 6 倒位变异Figure 6 Inversion mutation

2.7 基因修复

由于交叉算子和变异算子对染色体的操作易导致染色体出现不符合基因约束条件的情况，例如同一名老人被多名护理员服务，老人未被护理员服务，护理员服务等级不满足老人所期望的等级等，因此需要对基因进行修复操作，如修改、消除，或者添加染色体基因等，使之满足模型约束。

2.8 非支配排序

多目标优化问题中Pareto解集包括无数个非劣解。在实际决策中，并不是每一个非劣解都符合管理者要求，因此获得Pareto最优解是关键。目前利用遗传算法求Pareto解集的方法有VEGA、NSGA、NSGA -II等，相比而言，NSGA -II在处理多目标优化问题时具有更好的性能[30]。其基本思想是将合并的种群进行快速非支配排序，根据个体的非劣解质量对种群分级，使算法朝着Pareto最优解集的方向进行搜索。本文引入NSGA -II算法思想求解模型，在其基础上调整了计算顺序，即先通过基本遗传算法的操作产生新的子代种群，接着与父代种群合并后再进行快速非支配排序，使得算法最终能集中于均匀分布的Pareto前沿面。不仅在一定程度上降低了算法本身的计算复杂度，更重要的是在保持种群多样性的基础上提升了种群水平，保证算法以优良的搜索性能顺利完成对Pareto解集的寻优过程。

3 算例分析

3.1 算例描述

为了验证上述构建的养老护理员调度问题的数学模型和改进的遗传算法的有效性，本文利用Matlab编程工具，选取Solomon测试数据集进行算例分析。由于我国居家养老服务是以社区为依托，老人通常在小区内分布密集，因此选用数据集中表示位置聚集分布的C101中的25个数据作为基础数据，根据本文模型对其时间窗和服务时间进行了修改，在最佳时间窗[ei,li]基础上，将其两端各扩展10%得到可容忍时间窗同时将服务时间转化成服从正态分布的随机生成数。此外，采用随机生成方式增添了服务等级。该算例可描述为：已知所处位置的编号为0的居家养老服务中心，安排调度7位拥有不同服务等级(1，2，3)的护理员对具有不同时间要求和服务等级要求的25位已知地理位置的老人进行上门护理服务。其中，模型的参数设置为收益及损失系数α,β=0.88[26]，损失厌恶系数λ=2.25[26]，提前到达时满意度临界点θ=0.5；遗传算法的参数设置为初始种群N=100，交叉概率PC=0.90，变异概率Pm=0.01，迭代次数Gen=100。

3.2 结果分析

根据修改后的C101数据，利用改进的遗传算法求解多目标养老护理员调度问题，获得Pareto最优解集，即两个目标之间的关系，如图7所示。

图 7 Pareto最优解集Figure 7 Pareto optimal solution set

结果表明，就两个目标而言，最小化运营成本和最大化服务满意度之间存在冲突，居家养老服务中心向老人提供的服务质量对其运营成本有一定影响，总体趋势为服务满意度提高时运营成本也随之增高。以A点为分割点，前半段与后半段花费相近的成本，但前者满意度增加幅度较大，后者满意度增加幅度较小，说明当满意度提高到一定的程度时需要更多的成本来支持。在居家养老服务中心运营的实际过程中，当耗费一定的人力、物力、财力时服务满意度会逐步增高，但是会遇到瓶颈，此时需要购入更昂贵的设备和用品，招聘更资深的护理员，以提升老人对服务的满意度。因此，管理者在实际决策中应在两者之间进行权衡，不应为了过度节约经营成本而舍弃服务质量，但也不应盲目追求过高满意度，要根据自身经营实际情况作出合理的安排部署，有效配置资源，实现老年人服务满意度最大化和自身运营成本最小化的目标。由图7可知，当管理者综合考虑两者的影响时，A点为解集中的最优方案，即服务满意度为81.9%，运营成本为2 009.8元，养老护理员上门服务路线如图8所示。

图 8 养老护理员服务路径Figure 8 Home-health-care staff for the elderly routing

养老护理员具体访问顺序如表1所示。

为了进一步验证服务满意度函数中表示风险态度系数的α,β ∈(0,1)对求解多目标护理员调度问题的影响，在上述对α、β参数的设置基础上，增设α,β=0.2,0.5,1三组参数，通过遗传算法迭代10次，分别得到10组非劣解集，汇总计算求出最大值、最小值和平均值，并进行对比，见表2。

表 1 养老护理员上门护理服务路线Table 1 Home-health-care staff for the elderly routing

表 2 敏感性参数汇总计算数据Table 2 Sensitivity parameter summary data

由表2可知，对于服务满意度，无论是最大值、最小值还是平均值，α=β=0.2最高，α=β=0.5次高，α=β=0.88再次高，α=β=1最低；对于运营成本，则与满意度排列顺序相反。在服务满意度函数中，老人对护理员的服务进行评价时也是一个作决策的过程，而这个决策的依据是护理员到达老人住所的时间。α、β值越大意味着老人对时间的敏感度越大，对时间的要求较为严格，此时护理员的到达时间对服务满意度的影响也随之增大，提前或者延误到达造成满意度水平更低。因此，居家养老服务中心可以根据老人对时间敏感性的差异，选择不同的α、β值获得护理员上门服务路径，不仅有助于更精确地生成最优服务路径，而且在一定程度上提高了服务满意度。

另外，针对居家养老护理员调度问题，将本文所改进的遗传算法与标准遗传算法进行对比，其中两者所涉及到的各类参数完全相同。通过标准遗传算法得到居家养老服务中心运营成本为2 365.30元，老人服务满意度为75.23%。而在Pareto最优解集图中，当居家养老服务中心运营成本为2 365.30元时，老人服务满意度大于80%；当老人服务满意度为75.23%时，居家养老服务中心运营成本小于2 000元。可见，基于改进的遗传算法不仅运营成本优于标准遗传算法，而且在相同成本下服务满意度更高，易于接近理想解，有效兼顾运营成本和服务满意度的双重优化。因此，本文应用的改进遗传算法比标准遗传算法更具有高效性和优越性。

4 结语

随着人民生活水平的日益提高和老龄化程度的不断加深，我国养老服务发展已步入新时代，而居家养老服务模式是适应我国国情的必然趋势，老人的获得感和幸福感的提高与养老服务供给的优化、质量的提升息息相关。本文研究的最大化满意度和最小化运营成本两个目标实际上具有相互制约性，得到了算例的验证。因此，管理者应因人而异、因时制宜，在成本和满意度两方面进行权衡考虑，注重以老人为中心的服务思想，增进与老人的沟通交流，及时收集并整理老人对时间的敏感性程度数据，做好时间窗的数据分析，以实现高质高效的养老护理员调度，进而提升老年人的满意度，尽可能保障老人享有一个有尊严的幸福晚年。

由于居家养老服务发展日渐繁荣，其服务模式呈多元化、多层次，服务对象呈差异化，在实际应用中，可能还需要将其他要素纳入考虑，如养老护理员的偏好、服务的连续性、老人的随机或动态需求等。因此在后续研究中可以改进和完善数学模型，使模型与中国养老模式更契合，并结合多种启发式算法提出更精确有效的求解方法。