章节起始课教学应关注的几个维度①——以“圆锥曲线”起始课为例

杨 勇

(江苏省镇江市实验高级中学 212003)

1 问题提出

目前，随着新课程改革的不断推进，章节起始课越来越引起大家的关注，章节起始课是新章节的开篇课，作为一章之首，能给学生提供一个要领性、概括性的参考框架，对后续内容的学习起着引领、指导和组织的作用，具有“先行组织者”的功能和价值，理应成为学生学习本章知识的基本示范，但由于该课型知识跨度较大，概念产生久远，设计难度较高，可查资料不够丰富，教师设计起来往往心有余而力不足，不知如何将其作为一节课来开展课堂教学, “告知式”地一带而过已属于不易，“阅读式”地让学生自己看书或是常态，更有甚者，认为高中内容多、课时紧，从应试角度来看教和不教几乎没有差别,无足轻重,干脆 “跳过”.上述现象,严重影响章节起始课在高中数学课堂的开展，其实,如果站在高中数学课程全局的高度,从数学知识的内部发生、发展的规律出发，针对学生的认知特点和生活经验设计出一章的起始课，引导学生既能通过“树木”看到“森林”，又能依托“森林”俯瞰“树木”,不仅体现了教师对教材体系的认识和把握,也是把新一轮课程改革目标落实到课堂教学实践中的具体要求.

笔者围绕章节起始课进行了研究，形成了自己的一些认识和思考，现以普通高中课程标准实验教科书(苏教版)选修2-1“圆锥曲线”为例，结合本人在江苏省师资处举办的“2019年江苏省高中数学骨干教师专题培训活动”中上的一节“圆锥曲线”章节起始课为例，谈谈章节起始课教学应关注的几个维度，敬请同行指正.

2 教学设计

2.1 预备知识(以预习学案形式，提前发给学生)

(1)图1中，两条直线平行，它们之间距离处处相等.那么，两个平面平行，它们之间的距离相等吗？为什么？

图1

(2)图2中，过圆外一点，引圆的两条切线，所得切线长相等。那么，过球外一点，引球的两条切线，所得切线长相等吗？为什么？

图2

(3)图3中，在圆柱内放置两个与圆柱底面等半径的小球，它们与圆柱侧面的公共点将形成圆，我们把这两个圆记作圆C1和圆C2.请问，圆C1与圆C2所在平面有怎样的位置关系？任意作出圆柱的一条母线PQ与圆C1和圆C2分别交于P和Q点，则线段PQ的长度是否保持不变？

图3

2.2 创设情境 引入新课

师:我们来探究一个生活中的问题(图4).

图4

(1)蓝球在地面上所形成的影子什么时候是一个圆面？

(2)太阳光线与蓝球相切的切点所组成的是什么图形？

(3)当太阳光线倾斜照射时， 形成的影子轮廓是一个什么图形？

生：(1)光垂直于地面照射时;(2)圆;(3)椭圆.

设计意图从真实生活问题入手, 创设情境，激发兴趣,引发思考, 让学生体会数学来源于生活.

2.3 实验演示 合作探究

师:我们将上述图形进行抽象,得到一个数学模型(图5),设篮球与地面切点为F, 设P是椭圆上任意一点,我们知道, 圆周上的任意一点到圆心的距离都等于半径,线段PF的长度也会像圆那样是定值吗?

图5

生:不是,PF的长度不断变化.

师: 由于点F为篮球与地面的切点, 则地面内过点F的任意一条直线和球具有怎样的位置关系?

生: 都是球的切线.

师: 借助几何画板,大家分组思考一下,随着点P在椭圆上运动,球的切线PF的长度在变化过程中,有什么规律可循?

生:因为过球外一点引球的切线长相等,得到PF=PQ,P1F=P1Q1,P0F=P0Q0……. (见图6)

图6

设计意图留给学生足够的时间和空间，通过追问和质疑的形式引导学生由表及里、由浅入深、逐步推进，亲身经历数量关系的探究过程.

2.4 突破难点 感悟新知

师:为了研究问题方便,我们把图6垂直竖起来,得到图7.从辩证的角度看,事物是一分为二的,有上必有下，图7应该有它的“另一半”图8, 同理可得:PF1=PR(辅助动画演示),大家有什么想法?

生:从图8中可以看出该椭圆是一个圆柱被一个平面斜截得到的截面,我很想把它们合二为一.

众生:掩口而笑,点头称是.

师:若把图7 、图8合二为一，可得图9，你有什么发现?

图7

图8

图9

生：PF=PQ,PR=PE,PE+PF=PQ+PR=QR=定值(几何画板直观演示).

师:真的很棒，这就是数学史上著名的但德林双球模型“雏形”，你用数学家的眼光发现了隐藏在椭圆中数量关系, 即：椭圆上的任意一点到两个定点的距离之和为常数.我们把其中两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距.

师: 多么巧妙的构造,为你“合二为一”点赞.之所以叫但德林双球模型“雏形”,是因为19世纪法国数学家但德林的证明是在圆锥背景下进行的(图10)，老师为了大家探究方便将其简化为圆柱背景.如果改为圆锥背景，你能否用类似的方法得到椭圆的性质,请大家课后继续思考.

图10

2.5 动画展示 揭示课题

师:下面我们观看视频,直观感知一个平面截一个圆锥面所得到的各种曲线.当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线.它们分别是相交直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线.我们通常将椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线，其证明过程都可以通过但德林双球模型来完成.

设计意图通过视频剪辑了解圆锥曲线名称的来源.

2.6 起源追溯 史料渗透

师:关于圆锥曲线的史料十分丰富，大致可分为下面6个阶段，分别请6位同学予以大声朗读.

(1)萌芽与起源

相传最早是古希腊人通过削尖的圆木桩发现 了一条像圆又不是圆的曲线，把它命名为椭圆.公元前4世纪古希腊数学家梅内克缪斯(公元前375—公元前325，古希腊数学家)在解决“倍立方”问题时，用垂直于锥面母线的平面来截三种正圆锥——锐角、直角、钝角的圆锥，发现了圆锥曲线.

(2)理论与奠基

阿波罗尼斯(约公元前262～190年，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名)是第一个依同一个圆锥的截面来研究圆锥曲线的人，也是第一个发现双曲线有两支的人，他按照欧几里得《几何原本》公理演绎的方式把圆锥曲线理论系统化，所著《圆锥曲线论》从“平面斜截圆锥”出发，运用纯几何方法，证明了近500个命题，含有许多独到新颖的创见，把圆锥曲线的性质网罗殆尽，成为数学史上的一座丰碑 ，他本人也被誉为古希腊“伟大的几何学家”.

离联考还有将近三个礼拜，为了确保我们这种准考生会努力不懈，校方希望我们毕业后还是要来学校，老师也可以来帮我们复习功课。差别的只是可以比之前晚一个钟头到校。而夜间也开放一间阅览室到晚上九点半，让准考生自由利用。

(3)停滞与积累

《圆锥曲线论》问世后将近2000年的时间， 整个数学界对圆锥曲线的研究几乎没有什么进展. 古希腊时期还没有代数的符号体系和坐标，阿波罗尼斯的证明是建立在纯粹的论证几何基础上的，并用文字表述证明的过程与结论，这是后人很难读懂其著作的原因之一.

(4)突破与发展

直到16世纪末，开普勒(1571—1630,德国天文学家、数学家 )揭示出行星按椭圆轨道绕太阳运行，伽利略(1564—1642,意大利数学家、天文学家)得出斜抛运动的轨道是抛物线，人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥上的静态曲线，也是自然界物体运动的普遍形式。于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了变化.

(5)开拓与创新

17世纪，法国数学家笛卡尔(1596—1650，法国数学家、物理学家，解析几何创始人)和费尔马(1601—1665，法国数学家，解析几何创始人)的《空间与平面轨迹入门》，(写于1629年，出版于1679年)使解析几何走向数学舞台，人们对圆锥曲线的研究朝着解析法的方向发展.即通过建立坐标系，得出圆锥曲线的方程，再利用方程研究圆锥曲线的性质，摆脱了几何直观，获得对圆锥曲线研究的高度概括与统一.

(6)完备与总结

18世纪，牛顿(1643—1727,英国物理学家，数学家)、贝努利(1623—1708，瑞士数学家)等先后提出不同的坐标系，尤其影响深刻的是极坐标系，随着坐标系的系统化，关于圆锥曲线性质研究逐渐系统化起来.欧拉(1707—1783，瑞士数学家、自然科学家)1745年发表的《分析引论》，被誉为解析几何发展史上的重要著作，系统地研究了圆锥曲线的各种情形，并证明通过坐标变换，一定可以把任何圆锥曲线化为某种标准形式. 欧拉之后，三维解析几何的研究蓬勃开展，由圆锥曲线导出了圆锥曲面.至此，关于圆锥曲线的理论被广泛应用，直至今天.

设计意图通过介绍圆锥曲线的历史，使学生了解圆锥曲线的最初定义和历史成果，进一步感受几何图形抽象于生活的特征，欣赏古希腊数学家的信念与智慧.通过对解析几何的简要介绍，使学生了解解析几何诞生的历史必然性、解析几何的核心思想以及它在数学学科中的地位和作用.

3 教学设计应注意的几个维度

章节起始课不同于一般章节内的课，它具有帮助学生建构知识体系、指导学习内容、探寻研究方法的功能,具有独特的教育教学价值，下面从教学目标、问题探究、史料渗透、素养培养等几个维度谈一下教学中应注意的问题。

3.1 目标定位的“准确度”

章节起始课需要准确的目标定位.章节起始课的目标定位不同于一般的概念课，它既要兼顾知识发生发展的过程又要统摄全章的框架，因此，目标定位的“准确度”尤为重要.如本课中，在圆锥曲线发展史上，椭圆定义最早是依附于圆柱或圆锥中的(斜截面)，而课本中的定义则是人们为了方便用解析法研究圆锥曲线，在历经几千年解析几何诞生之后，根据椭圆的性质，从数量关系角度对椭圆进行的再次定义.虽然两定义从本质上讲具有等价性，但从表达形式上看却相去甚远.因此在引导学生建立椭圆定义时，如果盲目抛开图形角度的椭圆定义，急功近利地脱离图形直接给出数量关系形式的椭圆定义，这样的定义教学看似易于操作，但学生会感到“一脸懵”，因为不符合椭圆定义形成与发展的历史自然,更有悖于学生的认知心理.学生会产生“老师是怎么想到这样定义椭圆的？”“为什么这样定义得到图形就是椭圆？”、“这样定义的椭圆和我们生活中的椭圆一样吗？”显然，这些疑惑源于老师在本节教学中直接“掐头去尾烧中断”，事实证明，“直接拿绳子画椭圆,然后大量做题”，这样对椭圆定义发生过程的忽略，会导致“为什么定点是2个？而不是3个？为什么是距离之和而不是之差？为什么是距离？而不是其他的呢？”这些问题一直萦绕脑中.因此,为了解决上述问题,我们提出下面的教学目标：经历从具体情境中抽象椭圆的本质特征以及椭圆定义的过程，通过类比进而形成椭圆、双曲线、抛物线的概念并能简单应用；通过历史的回溯，了解圆锥曲线的背景(产生、发展)、应用，感受其产生、发展的历程.

3.2 问题探究的“可行度”

章节起始课需要用问题来引领探究.作为章节起始课，一般来说具有知识点较多、知识产生的跨度比较大的特点，学生对该部分的知识基础比较薄弱，一时找不到探究的切入口，探究的热情自然就不高，习惯于被动地等待老师讲解，我们要从数学知识发生发展过程的合理性和学生思维过程的合理性两个方面考虑去设置问题情境,增加探究的可行性，但不是所有数学知识都要完整、详尽地呈现其发生、发展的过程，因为那样需要占用大量课堂时间，这就要求探究过程遵循“可行度”，诚如波利亚所言：“在教授一个科学概念时，我们应让孩子重蹈人类思想发展中那些最关键的步子，而不是让他们重蹈过去的无数错误. ”重演不等于重复，如果将圆锥曲线数学史不加选择地让学生去重走探究的老路，不仅不利于学生掌握知识，而且还易于造成学生思维的混乱,这是设计章节起始课问题探究需要注意的，如何站在数学知识和方法的高度提出既符合学生最近发展区又能形成认知冲突的问题显得尤为重要. 如本课中，椭圆的内在数量关系呈现高度的形式化，在以圆锥为背景的“但德林球”模型中，学生感到抽象，很难找到突破口，就需要老师不断铺设台阶，我首先设计了预备知识，以预习学案形式提前发给学生，做好知识铺垫，拉近问题与学生的心理距离. 课堂上，为了进一步激发求知欲,我们从生活中篮球的影子入手设置问题串，引导学生在圆柱背景的“但德林球”中发现椭圆的性质,最后再通过思考题的方式去证明在圆锥背景的“但德林球”模型中三种圆锥曲线间的数量关系，这种直指核心问题，“真刀真枪”的实战模拟探究，既避免了“照本宣科”式的一带而过，又避免了在细枝末节上的拖沓冗长，提高了问题探究的可行性，激发学生的探究欲望，积累了在生活情境中处理复杂问题的解题活动经验，培养了学生发现问题和解决问题的能力，在揭示知识产生脉络和背景的同时使核心素养的落实不再是“纸上谈兵”.

3.3 史料渗透的“适切度”

章节起始课的史料渗透要适度.章节起始课中通常蕴藏着丰富的数学史料，这是由数学概念长期的发展过程所决定的.圆锥曲线中的史料相当丰富, 有的内容很难,还有目前还富有争议,发展过程中也蕴含着丰富的数学文化,除了概念、性质、标准方程这些显性数学文化之外，还包含着数学思想、数学方法、信念品质、价值判断和审美追求等丰富的隐性数学文化.老师要将这些丰富的数学史料进行深加工, 选取学生能够理解的且有一定教学价值的部分按历史顺序“去支强干”进行重组,以符合学生认知基础和认知规律的适切的教学形态呈现给学生.本课中笔者通过对圆锥的起源追溯，理清发展脉络，分六个阶段对学生进行史料渗透，就是基于上述考虑.

3.4 素养落实的“深入度”

章节起始课中的素养培养要深入.章节起始课要注重还原“数学家当时的思考过程”，让学生感觉自己“也能当数学家”，在发现和提出问题、分析和解决问题的实践中积累活动经验，用心来感受那些对全章具有统领和辐射作用的思想方法，通过思想方法的感悟促进核心素养的深层次落实.本课中老师引导学生把篮球进行抽象，进而得出一般的研究模型，然后层层深入，再通过球切线的研究得出椭圆中隐藏的数量关系，最后在但德林双球模型中得到椭圆的性质，这其中涉及到诸多数学中研究问题的方法:归纳猜想、类比推理、分析综合等等，伴随着这些方法的显现和落实，学生的数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析、直观想象和逻辑推理等数学素养得到了不同程度的提升.因此，对于章节起始课，我们要在突出章节的核心知识或核心研究方法的同时，把深入落实核心素养作为课堂的追求，通过思想方法的积累促进核心素养的不断深入发展，让课堂加速从“知识传授”向“素养落实”的转变.