例谈“图式建模”在小学数学解决问题中的应用

宋春霞

模型思想是连接数学与生活实际的有效桥梁，是学生解决问题的重要途径。由此可知，数学模型的建立尤其依赖于学生的主动建模。其中，图式建模是学生从具体到抽象、从问题到本质的核心能力。教师应当引导学生成为解决数学问题的事件主体，创设宽松的学习环境和提供展示学生不同学习思路和方法的平台，放手让学生合理运用绘图、语言叙述等不同的方式表征问题结构，阐述自己在解决问题中的思维变化的过程和结果。

为此，引导学生理解题意、合理选择绘图方式、具体解说绘图过程来帮助学生习得“图式建模”的方法，是我们不断思考与实践的主题。

一、“读—绘—说”以图为基，表征题意

（一）读懂题意，形象绘图

有效理解问题情境是实现数学模型建构的首要环节。运用图示法表征问题结构，读懂题意是基础，随后应该根据不同类型的题型，选择不同的绘图方法。

以教授三年级上册“归一”问题为例，新课伊始，大屏幕出示例题“妈妈买3个碗用了18元。如果买8个同样的碗，要用多少钱”。学生在审题过程中找到已知信息和所求问题。通过学生独立尝试了解到班上37.2%的学生能够迅速厘清数量关系，找准解决问题的思路;但62.8%的学生从读题中并不能厘清数量关系，无法单纯依靠“凭空思考”得出解决问题的步骤和方法。

三年级学生的抽象逻辑思维仍然与感性经验相联系，尤其是在理解“同样的碗”这一关键词时，还不能将前后已知信息联系起来。基于学情，鼓励学生用画一画的方式形象地表示图中的已知信息和所求问题。具体形象的绘图能够帮助学生理解问题中的关键信息，升华对问题的感知，从而找出解决问题的途径与方法。通过图式这种直观感受来辅助学生理解抽象的数学模型，厘清解题思路，直观地感受“单位数量”的存在，能为“归总”问题类型的解决做好铺垫。

（二）多元表征，厘清关系

当学生无法理解多种已知信息间的数量关系时，对情境中各数量间关系的分析与表达就变得尤为重要。通过绘图、认图和读图，学生可以直观、具体地理解数量关系，提高分析问题的能力。

解决“归一”问题时，学生在独立思考的基础上，用画示意图的方式表征信息，之后用图形反馈。学生的绘图形式一般以实物图、几何图和线段图为主。我选取了三种具有代表性的图示，在学生充分表述自己所画的图意后，将这些不同的素材集合在一起，引导学生在观察、对比这些不同素材的过程中找到异同点。引导学生明确：他们分别借助了具体实物、几何图形或线段图表示出题目中的已知信息和问题，从实物图—几何图形—线段图，逐渐演变，思维水平渐进提升。在辨析中明白线段图简洁、方便。学生在“读—画—说—比”的过程中，掌握画线段图的方法，学生的思维能力和画图能力不断提升。

学生在汇报时重点说出图的各部分与题中哪部分文字叙述相对应，帮助学生理解题意。在说图的过程中，学生能够从示意图中清楚地感受到，要解决“买8个同样的碗需要多少钱”这个问题，需要先求出碗的单价，这是解决此类问题的关键。为了让学生对“碗的单价”这个单位数量有更清晰的认识，我带领全班学生共同感受画线段图的过程，边画线段边说：“用3条线段表示3个碗用了18元。买8个同样的碗用了多少钱怎么画”，然后提示学生：“8段线段要和上面的每段一样长”。在学生画线段图的过程中，我再次强调“碗的单价”是解决这道题的关键所在，从而分析得出解决问题的关键信息，以图式为手段，明确解决问题的方法，从而积累、建立数学模型。

二、“学、验、变”内化升华，构建模型

（一）演示引导，模仿学习

无论是日常生活还是数学学习过程中，教师都应当做善于汲取图式信息的观察者、引导者和应用者。教师要引导学生从发现问题、提出问题、解决实际问题的过程中感知：图式方法是帮助他们解决问题的有效策略，这一方法能够唤醒他们对图式的兴趣，并引发他们的注意，为后续形成“绘图”能力埋下“渴望”的种子。

教师的演示可以多元化，不仅在解决数学问题方面可以运用图形演示，在分析其他生活实际问题的过程中也可以合理借助图形，巧妙地绘图，或借助多媒体工具进行动画演示，通过图像的演示、观察、比较，展示各类问题要素的关键信息之间的数量关系，为后续“图式建模”方法的学习做隐性示范。

无论怎样的形式，学生在学习和生活中经常接触到图形表征，能为抓住图形的本质特征、提高辨认图形的能力和对图形与文字的认读、比较和分析等方面做好铺垫。多元演示、隐性示范，既体现了图形表征在解决问题过程中的直观性，又揭示了读图、绘图能力在“图式建模”过程中的重要作用。

如在“归一”问题的练习环节，我设计了这样一组练习，让学生们通过认图、说图的环节学会准确读图、语言表达图意。在“图式建模”的初期，培养学生读图、说图能力非常重要，同时也是深刻理解“归一模型”的重要途径。

（二）对比检验，变式训练

将图与文字一一对应，检验每一条已知信息与示意图是否相符。在画示意图时，很多学生会将已知信息处理后的结果直接在图中表示出来，但这并不是题目中的已知信息。如“3个碗一共18元”，学生画图式时会直接将“碗的单价6元钱”画在图中，这显然无法与题中的已知信息一一对应。因此，在学生独立画图表征完后，教师可组织同桌或四人小组合作交流，将各自画图的想法和图式所表示的意思，根据已知信息一一对应地进行检验，并对有争议的部分展开讨论，进而在讨论和思辨中厘清各信息之间的数量关系和画图步骤，帮助学生用图式全面、有序地表达题意。

在变式练习中，我设计了根据题意选择适当的图示。如设计“小林读一本故事书，4天读了32页。照这种速度，7天可以读多少页”的目的，在于通过对图示的解读提高学生的读图、识图能力，强化学生对图示中的信息和问题的敏锐度，体会图式表征在分析数量关系上所起的重要作用，使“图式表征”真正成为学生在解决问题过程中的有利抓手。

三、整体构建，按“图”索骥

“绘图”能力的形成并非一蹴而就，而需要建立数形结合思想并持续不断地应用练习。当学生真正感受到画图使数量关系简单具体化时，他们会从心里喜欢上画图，真正使画图成为自己解决问题的好帮手。从教材关于问题解决的编排体系来看，无论是问题解决的步骤、数量关系序列构建还是画图策略意识和能力形成，“归一”“归总”教学都是图式建模的其中一个关键点。就“归一”问题题意理解、数量关系分析和数学模型初步构建而言，图示类型影響不大;关键在于如何为下节课——利用线段图表征“归总”问题积累必要的学习经验。尽管在“倍的认识”这一单元的学习中，多次用线段图表征题意，但还不足以让学生形成画线段图的经验。

实际教学表明，如果“归一”问题的教学只是呈现实物图替代或几何图形，在“归总”问题中学生会缺乏用线段图表征题意的方法准备和心理准备。因此，在“归一”问题教学时必须丰富表征方式、适度介入线段图来加以衔接过渡，这能够为学生步入高年级解决较复杂的问题、达到脑中成图的能力做好铺垫。

我们在日常教学中，要结合教学内容突出数学与图式的联系，让学生感受到图式的应用价值，学会运用具体、直观的图式化抽象为形象，在不断模仿学习、信息对应和检验分析图式的方法中，真正实现按“图”索骥，从而提高解决问题的能力，助推核心素养的形成。当然，图式建模能力的形成和发展是一个长期、循序渐进的过程，教师在教学时要结合教学内容有意识地为学生创造机会、搭建平台，使数学核心素养在数学学习过程中落地生根。

（责任编辑  焦  佳）