严格α2-对角占优M-矩阵线性互补问题误差界的新估计

周平

(文山学院 数学与工程学院，云南 文山,663099)

线性互补问题是在对策论、弹性力学、经济学、市场营销、数学规划等领域具有广泛应用的一类优化问题[1]，通常它的模型是指求x∈Rn，满足：

Ax+q≥0，(Ax+q)Tx=0，x≥0，

简记为LCP(A,q)，此处，A=(aij)∈Rn×n表示n阶实矩阵，q∈Rn表示n维实向量。

在LCP(A,q)的一些实际应用中，常常要对它的解进行误差分析。从它的模型可以发现，LCP(A,q)的解的性质主要取决于矩阵A的结构和性质，当A为P-矩阵时，线性互补问题的解存在且唯一[2]。CHEN等[3]给出了相应的误差界：

其中：r(x)=min{x,Ax+q}；x*表示LCP(A,q)的解；D=diag(d)，d=(di)∈Rn，0≤di≤1，i=1,2,…,n。现有一些研究者对此问题中矩阵A具有某些特殊结构，如：B-矩阵、S-Nekrasov矩阵、B-S-Nekrasov矩阵、S-QN-矩阵或弱链对角占优矩阵等进行了深入研究，获得了相应误差界的一系列颇有成效的估计式[4-9]。而对于严格α2-对角占优M-矩阵的情形，文献[8]给出如下结果：

(1)

向爱[9]获得如下估计式：

(2)

文章继续讨论了LCP(A,q)中A是严格α2-对角占优M-矩阵时的误差界问题，给出了其相应的一个新估计式，通过数值例子表明了新结果的优越性。

1 符号、定义和引理

为了便于探讨，先给出如下记号。

记N={1,2,…,n}，Rn×n是全体n×n阶实矩阵构成的集合。设A=(aij)∈Rn×n，对任意的i,j,k∈N，j≠i，令

定义1[1]设A=(aij)∈Rn×n且aij≤0，i≠j;i,j∈N,则称A为Z-矩阵；如果A为Z-矩阵且A-1≥0，则称A为M-矩阵；若

则称A为严格对角占优(SDD)矩阵。

定义2[2]设A=(aij)∈Rn×n，如果A的所有元素aij≥0，那么A叫做非负矩阵，记为A≥0。

引理1[10]设A=(aij)∈Rn×n为严格对角占优M-矩阵，则

引理2[4]若γ>0,η≥0，则对任意的x∈[0,1]，有

引理4[5]设A,B∈Rn×n,A和A-B非奇异，则有

(A-B)-1=A-1+A-1B(I-A-1B)-1A-1。

引理5[6]设A=(aij)∈Rn×n，如果‖A‖<1，那么I-A非奇异，并且

2 主要结果

应用第一部分给出的引理，结合不等式的放缩技巧和矩阵分裂的技术，给出严格α2-对角占优M-矩阵线性互补问题解的误差界的新估计式。

其中:

证明令矩阵A=B-F，这里B=(bij)∈Rn×n是SDD矩阵，F=diag(fij)∈Rn×n且是

非负的，其中，

由于A为严格α2-对角占优M-矩阵，所以有

当i∈N1时，

当i∉N1时，

从而由定义1可知：矩阵B是严格对角占优M-矩阵。设G=I-D+DA，则

G=I-D+D(B-F)=(I-D+DB)-DF，D=diag(di),0≤di≤1,i=1,2,…,n。

对任意的i,j,k∈N且j≠i，根据引理2和引理3，可知：

(3)

(4)

(5)

由式(3)～(5)，得

进而根据引理4和引理5，可知：

进一步有

故综上，得

下面对定理1和文献[9]中的定理进行比较。

定理2 设A=(aij)∈Rn×n是严格α2-对角占优M-矩阵,α∈[0,1],若

N1={i∈N:Ri(A)>Ci(A)}≠Ø

其中:w的定义与式(2)相同，μ的定义与定理1中的相同。

证明由文献[10]中的定理，可知：

又根据文献[11]中的定理可知：

另外，由uj和lj的定义，可知：

0≤uj(A),lj(A)<1

从而，有μ≤w，故该定理成立。