拦截弹中制导弹道在线快速规划方法

李万礼， 李炯， 李明杰

(1.空军工程大学 研究生院， 陕西 西安 710051；2.空军工程大学 防空反导学院， 陕西 西安 710051)

0 引言

拦截弹中制导作为复合制导过程中持续时间最长的阶段，不仅决定拦截弹射程的远近，而且直接影响拦截弹的中末制导交接班是否顺利完成、末制导是否具有充分的可用过载[1]。在针对反临近空间高超声速目标拦截问题中，拦截弹的中制导弹道规划尤为重要。

目前，已有国内外学者对拦截弹中制导弹道规划问题做出相关研究。文献[2-4]利用滑膜控制理论，分别对最优制导律、自适应制导律和鲁棒制导律进行改进，使其满足视线角约束，提高了拦截弹中制导性能。文献[5]设计一种基于圆弧预测的变系数显式拦截弹中制导方法，具有较好的目标预测精度，满足了弹道终端交会角和可用过载约束。文献[6]利用模型静态规划方法，提出一种满足弹道终端角约束的次优中制导律。以上文献都是离线弹道规划研究，基于优化算法进行大量的分析计算，能够很好地生成满足各种约束和终端条件的标准弹道，但是在面对目标采取大范围机动时，离线规划方法不能满足弹道在线重新规划的需求。

因此，弹道在线快速规划方法的研究已成为中制导弹道规划亟待解决的问题。弹道在线快速规划主要存在以下难点[7-9]：1)规划前后弹道终端约束已发生较大改变，且必须考虑在线规划方法的实时性；2)以牺牲求解精度来保证求解效率，不能实现真正意义上的最优轨迹；3)动压、热流密度、姿态角等约束条件同时也制约着弹道生成的速度，给工程实现带来很大难度。近年来有大量学者对此问题进行了深入研究，文献[10-13]通过将凸优化理论引入飞行器再入轨迹在线规划中，使求解轨迹变得简单易行，为在线轨迹规划提供了新思想，但是这种方法需要一段特定的模拟飞行轨迹作为初值，限制性强。文献[14]针对可重复使用运载器再入应急轨迹生成问题，提出了动态伪谱法，通过采用时间分区的模式处理，实现了轨迹动态在线规划。文献[15]运用间接Gauss伪谱法，设计了考虑导弹速度时变的最优中制导律，通过将微分方程简化处理为代数方程，使得计算量减少，具有较好的实时性。然而伪谱法求解时间不能确定，难以直接应用到工程实际中。文献[16]提出虚拟域动态逆(IDVD)方法，通过引入虚拟因子将轨迹规划问题从时域转化到虚拟域，再用动态逆方法优化轨迹。文献[17-19]分别对文献[16]的方法进行了改进，并应用到拦截助推段弹道导弹和卫星逼近与跟踪翻滚目标的轨迹优化背景中。虽然IDVD方法相比伪谱法等方法优化精度较差，但是其对参数初值设置不敏感，收敛性和鲁棒性较强，且计算量大幅度降低，能够有效提高轨迹规划效率。

为解决满足多约束条件的中制导弹道在线快速规划问题，本文基于IDVD方法，在虚拟域中构建过程约束的惩罚函数(PF)，并将其写入性能指标中，以保证弹道在时间域中满足多约束条件；同时结合IDVD方法提出目标信息更新后的在线重新规划策略。仿真校验结果表明，本文改进的IDVD方法具有很好的实时性和鲁棒性，所提策略能够解决满足多约束条件的中制导弹道在线快速规划问题。

1 中制导段运动模型建立

本文设定背景为地基反临近空间高超声速目标拦截，其示意图如图1所示。

图1 地基反临近空间拦截弹全程弹道示意图Fig.1 Schematic diagram of whole trajectory of ground-based interceptor

助推级在主动段脱离，拦截弹在中制导段时，仅在气动力和重力影响下进行无动力滑翔运动，忽略地球自转及地球扁率的影响，则简化后的中制导段运动模型为

(1)

nx=-0.5CDρv2S/(mg)，

(2)

CD为阻力系数，ρ为大气密度，S为拦截弹受力面积，m为拦截弹质量。其中：阻力系数CD可以简化为攻角α的表达式[20]，

CD=0.012-0.01α+0.6α2；

(3)

大气密度ρ的表达式为

ρ=ρ0e-y/h，

(4)

ρ0为海平面大气密度(ρ0=1.226 kg/m3)，h为参考高度(h=7 254.24 m)；重力加速度表达式为

g=g0(re/r)2，

(5)

g0为海平面重力加速度(g0=9.81 m/s2)，re为地球半径(re=6 371.2 km)，r=re+y.

2 中制导弹道在线快速规划问题描述

由第1节模型分析可知，拦截弹的状态方程可以表示为

(6)

(7)

x0、y0、z0、v0、θ0、ψ0分别为各状态量的初值，ny0、nz0分别为各控制量的初值，xf、yf、zf、vf、θf、ψf分别为各状态量的末值，nyf、nzf分别为各控制量的末值。

在拦截弹中制导段，过程约束主要包括动压q、热流密度Q、攻角约束条件，同时控制量也要约束在一定范围内，即

(8)

式中：αmax、nymax、nzmax、qmax、Qmax分别为各约束量的最大值；C为热流密度常数，C=1.181 3×10-4，通常与飞行器材料和外形尺寸有关。

同时，为保证拦截弹在末制导段具有足够的杀伤能力，本文性能指标选取为末速最大，即

J=max (vf).

(9)

一般离线弹道规划是在满足约束的情况下尽量使性能指标达到最优，与之不同的是，在线快速规划更着重实时性要求，即采取“牺牲精度，获取效率”的策略。因此中制导弹道在线快速规划问题可以表述为：拦截弹在满足(6)式、(7)式和(8)式的情况下，快速求解出符合要求的规划弹道，同时在此基础上尽量保证(9)式的值最优。

3 中制导弹道在线快速规划方法研究

3.1 虚拟域转换

首先引入虚拟量τ的概念[16]，将拦截弹弹道坐标pi(i=x,y,z)看作是τ的高次(5次)拟合，即

(10)

式中：系数aik(i=x,y,z;k=0，1,2,…,5)可由初始条件和终端条件组成的代数方程式确定，即

(11)

τf为拦截弹的虚拟弧长，是虚拟域中的优化变量，pi0、pif分别为拦截弹初始坐标和终端坐标。

虚拟域与时间域的联系可通过构建虚拟速度λ来建立，具体公式如下：

(12)

(13)

式中：v′(τ)为虚拟域中速度对τ的导数。

令拦截弹坐标为p=(x,y,z)，得到如下初始条件和终端条件：

1)初始条件：

(14)

(15)

2)终端条件：

(16)

(17)

由(15)式和(17)式可知，弹道倾角的初值θ0、末值θf和弹道偏角的初值ψ0、末值ψf都是虚拟域中的优化变量。而在本文问题中，θ0、ψ0是已知的，设定θf=0°、ψf=0°，不仅使拦截弹平稳进入中末制导交接班，而且也在一定程度上提高了弹道规划效率。

利用转换关系(13)式，将边界条件由时间域转换到虚拟域，具体公式如下：

(18)

由(18)式变化，得

(19)

从而得到虚拟域中的边界点：

(20)

由(10)式～(20)式已经先验地满足了边界条件，因此在变化虚拟变量τf不会影响边界条件，只会改变状态量X(t)、控制量u(t)以及tf.因此，可以在不影响边界条件的情况下，通过调整τf来优化性能指标。

3.2 IDVD方法求解

IDVD方法依据直接法的思想，需要对虚拟域[0,τf]进行如下离散化处理：

Δτ=τf/(N-1)，

(21)

式中：Δτ为节点间隔；N为节点数。

根据(21)式，可以得出虚拟弧长的迭代公式

τj+1=τj+Δτ，j=1,2,…,N-1.

(22)

根据离散化计算出的pi，j(τ)、p′i，j(τ)、p″i，j(τ)，i=x,y,z，j=1,2,…,N-1，求解弹道倾角和弹道偏角如下：

(23)

(23)式求导，得到其微分形式为

(24)

实际速度的迭代公式为

vj+1=vj+v′jΔτ；

(25)

时间间隔Δt及其迭代公式为

(26)

tj+1=tj+Δtj；

(27)

虚拟速度计算公式为

λj+1=Δτ/Δtj.

(28)

利用(19)式的转换关系，通过(1)式可求出控制量如下：

(29)

3.3 多约束条件的弹道在线优化

通过3.2节的IDVD方法仅能得到满足边界条件的弹道，但此时过程约束(8)式不一定符合要求。为控制过程约束不超过限制，采取如下构建虚拟域中的PF方法：

(30)

结合(9)式与PF，性能指标就可以改写为

Jmin=-vf+Γ.

(31)

过程约束条件(8)式变为虚拟域中的PF(30)式，适当调整权重因子，与(9)式组成新的性能指标一起寻优，以满足弹道的多约束条件。

3.4 目标信息更新后的在线重新规划

目标机动会改变拦截弹的终端约束条件，之前生成的基准弹道将不再满足要求，因此需要在线重新规划满足新终端约束条件的重生成弹道。结合IDVD方法制定在线重新规划策略如下：

1)弹载计算机在目标信息更新后，从之前生成的弹道状态量序列中，找到当时时刻所对应的状态变量，以Xd表示(d表示当时时刻)。

2)以状态变量Xd后计算间隔Λ的状态变量Xd+Λ为初始条件，以新的预测命中点为终端条件。

3)利用改进的IDVD方法结合新的边界条件在线快速规划出新的弹道。

其中，计算间隔Λ需要根据弹载计算机的计算速度以及算法的效率合理选取，如图2所示。

图2 计算间隔示意图Fig.2 Schematic diagram of calculation interval

4 仿真验证

4.1 仿真1

假设拦截弹中制导段边界条件如表1所示。过程约束条件如表2所示。

表1 边界参数Tab.1 Boundary parameters

表2 过程约束参数Tab.2 Process constraint parameters

初始速度v0=3 km/s，初始攻角α0=10°，在相同背景下，分别用本文IDVD方法与Gauss伪谱方法、模型预测静态规划(MPSP)方法求解优化弹道并比较分析。图3所示为仿真1三维弹道图，图4所示为仿真1角度变化图。

图3 仿真1三维弹道Fig.3 Three-dimensional trajectory in Situation 1

图4 仿真1角度变化Fig.4 Angle change in Situation 1

由图3和图4可知，IDVD方法与Gauss伪谱法、MPSP方法规划的弹道都较为平滑，且都达到了边界条件约束要求，其中IDVD方法弹道呈现一种跳跃式特点，即下探到一定高度后再拉起，因此IDVD方法弹道倾角在弹道末段出现由负变正的现象。图5所示为仿真1控制量变化图，图6所示为仿真1过程约束变化图。

图5 仿真1控制量变化Fig.5 Control quantity change in Situation 1

图6 仿真1过程约束变化Fig.6 Process constraint change in Situation 1

由图5和图6可知，IDVD方法与Gauss伪谱法、MPSP方法规划的弹道都能满足过程条件约束，由于IDVD方法弹道具有跳跃式特点，在弹道末段需下探到一定高度，大气密度随高度降低而增大，因此IDVD方法弹道的动压和热流密度会在末段出现凸增现象。跳跃式弹道使得速度方向变化较大，因此IDVD方法弹道的攻角变化相对较大。由此得出，在弹道性能方面IDVD方法虽然相对弱于Gauss伪谱法和MPSP方法，但仍能满足弹道的约束条件。图7所示为仿真1速度变化图。

图7 仿真1速度变化Fig.7 Speed change in Situation 1

由图7可知，在最优性方面，Gauss伪谱法要优于IDVD方法和MPSP方法，但IDVD方法的消耗时间将近是Gauss伪谱法的1/10，MPSP方法的1/5(见表3)，实时性明显强于Gauss伪谱法和MPSP方法。在满足过程约束条件和边界约束条件的基础上，弹道在线规划更突出对实时性的要求。通过对3种方法的最优性与实时性的综合比较可知，IDVD方法明显更加适用于求解弹道在线快速规划问题。

表3 仿真结果对比Tab.3 Comparison of simulated results

4.2 仿真2

在拦截弹飞行了30 s后，由于目标机动影响，中制导终端位置变化为(339 km，31 km，0.9 km)，选取计算间隔Λ=10 s，则通过查找初次规划序列得到新的初始条件，如表4所示。

表4 初始条件Tab.4 Initial conditions

基于本文IDVD方法，进行目标信息更新后的弹道在线重新规划仿真。图8所示为仿真2三维弹道图，图9所示为仿真2角度变化图。

图8 仿真2三维弹道Fig.8 Three-dimensional trajectory in Situation 2

图9 仿真2角度变化Fig.9 Angle change in Situation 2

由图8和图9可知，初始规划弹道和在线更新弹道之间弹道衔接平稳，且在线更新弹道的弹道倾角和弹道偏角依然满足弹道需求，表明在线更新弹道与初始规划弹道相同，都能够为中末制导交接班提供良好的初始状态。图10所示为仿真2控制量变化图，图11所示为仿真2过程约束变化图。

图10 仿真2控制量变化Fig.10 Control quantity change in Situation 2

图11 仿真2过程约束变化Fig.11 Process constraint change in Situation 2

由图10和图11可知，在线更新弹道的过载，动压和热流密度相较初始规划弹道变化不大，满足过程约束条件的限制。综上说明，在目标信息更新后，本文IDVD方法能够在计算间隔内重新规划出满足过程约束条件和新终端约束条件的弹道，弹道衔接平稳，具备弹道在线快速规划的能力。

4.3 仿真3

中制导过程中存在诸多干扰，主要有大气随机干扰，测量噪声等。在仿真1的基础上，加入实际大气中的随机风干扰，进行仿真分析，随机风干扰模型参考文献[21]。图12所示为仿真3角度变化图。

图12 仿真3角度变化Fig.12 Angle change in Situation 3

由图12可知，在加入随机风干扰后，攻角出现明显变化，弹道倾角和弹道偏角所受的影响不大。由于随机风干扰影响的主要是攻角偏差，而弹道倾角和弹道偏角由(23)式求出，可大大降低随风干扰的误差影响。图13所示为仿真3控制量变化图。图14所示为仿真3三维弹道图。

图13 仿真3控制量变化Fig.13 Control quantity change in Situation 3

图14 仿真3三维弹道Fig.14 Three-dimensional trajectory in Situation 3

由图13和图14可知，随风干扰对控制量ny与nz影响很小，干扰后的弹道与原弹道误差不超过100 m，几乎与原弹道重叠，表明本文方法能够有效抑制随机干扰、减小误差，具有良好的鲁棒性。

5 结论

本文针对多约束条件下的中制导弹道在线快速规划问题，提出一种基于IDVD的弹道在线快速规划方法。该方法通过改进虚拟域中的PF，使规划弹道能够满足时间域中的多约束条件。结合本文方法提出目标信息更新后的弹道在线重新规划策略。仿真1结果表明，本文方法与Gauss伪谱法、MPSP方法相比，虽然在最优性上有所不足，但实时性比Gauss伪谱法提高将近10倍，比MPSP方法提高将近5倍，更适用于弹道在线快速规划；仿真2结果表明，在目标信息更新后，本文在线重新规划策略能够在初始弹道基础上快速规划出满足新终端约束的重生成弹道；仿真3结果表明，本文方法能够有效地抑制随风干扰影响，具有良好的鲁棒性。