多分支非圆齿轮无级变速机构设计与分析

邢庆坤， 林超， 喻永权， 胡亚楠

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室， 重庆 400044; 2.中国北方车辆研究所， 北京 100072)

0 引言

非圆齿轮是一种能实现主动轮与从动齿轮间非匀速比传动的机构[1]，相对于连杆、凸轮等机构以及自动控制技术，具有经济成本低、结构紧凑、传动比精确、动力学特性好等优势。由于能实现精确的变速比传动，非圆齿轮及其组合机构在诸多有特殊运动和力要求的场合具有其他传统机构不可替代的作用，众多学者在相关设计理论与工程应用方面都做了大量研究。

非圆齿轮能够输出特定的运动规律，因此可以作为一种函数生成机构，具有结构简单、传动特性优良的特点。Mundo等[2]研究了非圆齿轮五连杆机构，以非圆齿轮为基础对传统五连杆机构的连杆曲线进行了优化设计；Liu等[3]研究了非圆齿轮轮系在特定轨迹曲线生成中的应用。刘大伟等[4]基于补偿法的思想构建封闭非圆齿轮节曲线，解决了传动比范围过大引起的根切或压力角过大的缺点。

在非圆齿轮应用上，Terada等[5]研究了非圆齿轮凸轮机构在关节机器人中的应用，该机构相较于传统凸轮机构具有较优的动力学特性，能有效地提高关节机器人的位置准确度及动态响应。Modler等[6]对非圆齿轮连杆机构进行了机构综合分析，分析了非圆齿轮连杆机构的类型和机构学特性，为其应用奠定了理论基础。Emura等[7]提出了非圆齿轮变速比转向器的构想；随后，Petre等[8]深入研究了变速比转向器的特性以及几何学设计方法。Mundo[9]研究了非圆齿轮行星传动的齿面设计方法、运动特性以及应用场合。Kumar等[10]研究了用非圆齿轮来实现机械式无级变速传动的原理和相应传动系统的配置方法。Freudenstein等[11]研究了变速比齿形链传动机构的基本原理及其潜在的应用领域。Ottaviano等[12]将数值计算和实验分析相结合研究了非圆齿轮- 凸轮函数发生装置的运动学特性。林超等[13-14]研究了根据非圆齿轮衍生出的高阶变性椭圆锥齿轮实现变速比传动的数学模型、齿面几何设计和齿面的加工制造方法。郑方焱等[15]和Zheng等[16]结合非圆齿轮差动轮系的原理和分度装置的运动要求，提出一种新型非圆齿轮的分度装置，该装置兼具行星分度凸轮机构大分度的特点，同时更加紧凑，零部件更少。林超等[17]针对现有间歇转动机构传动性能的缺陷，提出一种新型非圆齿轮型间歇转动机构，并从运动学角度对机构的传动性能进行了分析。

在无级变速器研究上，赵振峰等[18]提出了集内燃机技术、液压技术、电子控制技术于一体的一种新型混合驱动动力系统，具有容易实现无级变速、无级转向、制动能回收等功能，是一种有前途的车用混合动力传动装置。郭伟等[19]对一种新型高扭矩无级变速器进行了详细分析，具有高扭矩和高效率的特点。在非圆齿轮无级变速研究方面，周祖焕[20]对齿轮无级变速的数学原理进行了阐述，并提出了具封闭节曲线的心型齿轮。孙科等[21]提出了一种新型非圆锥齿轮无级变速装置，能够实现一定转角内的无级变速，同时具备较高的承载性能。上述无级变速机构能够实现输入转角在一定范围内的无级变速，但不能实现输入转角在全范围内的无级变速，同时在整体传动特性及啮合性能上仍具有一定的改进空间。

多分支非圆齿轮无级变速机构结合了非圆齿轮、差速机构、传动选择机构的特点，能够实现输入转角在全范围内的无级变速，同时采用多分支回路，具有较高的承载能力和传动平稳性。同时由于非圆齿轮传动属于啮合传动，具有较高的传动效率，能够为汽车和具有特殊传动需求的特种车辆等运输工具实现无级变速传动提供新的思想。

本文开展了多分支非圆齿轮无级变速机构的传动原理、仿真与实验研究，详细介绍了非圆齿轮节曲线、齿廓与平衡特性的设计以及非圆齿轮的加工制造及传动实验，验证了多分支非圆齿轮无级变速机构的正确性，以期为今后非圆齿轮无级变速传动的研究与应用奠定一定的基础。

1 多分支非圆齿轮无级变速原理

多分支非圆齿轮无级变速机构如图1所示。图1中，ωi、ωo分别为输入角速度和输出角速度。

整个机构包括4个部分：

1)相位切换机构，由转动端、固定端、内轴和外轴组成。外轴同时与固定端和非圆齿轮1相连，内轴同时与转动端和非圆齿轮3相连。首先通过转动端，使内轴相对于外轴具有所需的不同角度，从而使非圆齿轮1和3之间具有相应的相位角；然后将转动端与固定端连接，保证内轴和外轴转速同步，从而使非圆齿轮1和3转速同步，实现相位角的切换。再通过后续的传动比整合与选择，实现无级变速传动比的改变。

2)非圆齿轮机构，产生所需的可变传动比，将非圆齿轮1和2称为非圆齿轮副G1，非圆齿轮3和4称为非圆齿轮副G2，两对非圆齿轮副如图1所示。

3)差速机构，由双内啮合行星齿轮组成，将从动非圆齿轮2和4的可变传动进行差速，实现一定转角范围内的恒定转速输出。

4)传动选择机构，由离合器和齿圈组成。离合器外圈与齿圈内部相联结，齿圈外部与输出端相连。离合器工作原理为：采用单向式离合器，只传递一个方向的旋转运动。当离合器内圈朝一个方向旋转时，带动滚子滚动至楔形槽窄边、与离合器外圈卡紧，从而带动离合器外圈旋转；当内圈反向旋转时，滚子滚动至楔形槽宽边、与离合器外圈呈放松状态，从而导致离合器外圈不旋转，此分支回路不传递转动。通过整合多个分支的传动回路，实现最终的360°范围内恒定转速输出。

G1和G2工作区间内的传动比分别为

(1)

式中：i21、i43分别为非圆齿轮副G1和G2的传动比；ω1、ω2、ω3、ω4分别为非圆齿轮1～非圆齿轮4的角速度，ω1=ω3=ωi，ω2=ω4=ωo；k1、b1和k2、b2分别为G1和G2的传动比参数；φ1、φ3分别为非圆齿轮1和3的转角；θ为非圆齿轮1和3之间的相位角。

差速机构如图2所示。图2中：ωs、ωp、ωr、ωH分别为太阳轮、行星轮、齿圈和行星架角速度；zs、zr、zpi、zpo分别为太阳轮齿数、齿圈齿数、行星轮内齿数和行星轮外齿数；O和O′分别为太阳轮和行星轮的回转中心。

图2 差速机构Fig.2 Differential mechanism

由轮系反转法原理可知，

(2)

整理得

(3)

由于太阳轮和非圆齿轮2相连，外齿圈与非圆齿轮4相连，故ωs=ω2，ωr=ω4，则角速度关系式为

(4)

代入(1)式，则有

(5)

式中：iHi为行星架与输入轴之间的传动比。

传动选择机构与最终输出ωo之间的传动比io=k3，则整个机构的传动比iio为

(6)

由(6)式可知，当Kk2-k1=0时，iio是关于相位角θ的一次函数，与非圆齿轮1转角φ1无关，故可实现一定转角范围内的无级变速传动，同时结合传动选择机构和多分支回路可实现360°转角内无级变速传动。

2 非圆齿轮副设计

非圆齿轮副为整个无级变速机构中的关键部分，根据非圆齿轮传动原理对其节曲线、齿廓和平衡特性进行计算与设计。

2.1 节曲线

非圆齿轮副的工作区间(传递运动和动力区间)传动比函数为一次函数形式，根据高阶函数对低阶函数的包含性，非圆齿轮副过渡段(只传递运动不传递动力区间)传动比函数可以采用傅里叶级数或多项式进行构造，此处采用多项式构造非圆齿轮副过渡段传动比函数，得到非圆齿轮副周期性速比函数如(7)式所示：

(7)

式中：i21(φ1)为G1的传动比；i01(φ1)为工作区间内的传动比；i02(φ1)为过渡段内的传动比；cj为多项式系数，j为0～6之间自然数，表示多项式最高次数为6；Φ为非圆齿轮1工作区间最大转角；T为传动比在[0 rad，2π rad]内的周期数，T=2π/n1(rad)，正整数n1为非圆齿轮1的阶数。

结合文献[22]，通过节曲线封闭条件和边界条件(8)式，可解出i21(φ1)过渡区间所需参数如下：

(8)

式中：正整数n2为非圆齿轮2的阶数；i′01(φ1)、i″01(φ1)和i′02(φ1)、i″02(φ1)分别为i01(φ1)和i02(φ1)关于φ1的1阶导数和2阶导数。则非圆齿轮节曲线以极坐标形式[22]表示为

(9)

式中：r1(φ1)和r2(φ1)分别为主从动轮节曲线；E为中心距；i12(φ1)=1/i21(φ1)。

从动非圆齿轮2转角为

(10)

对于G2传动比及节曲线，可以采用相同的上述方法进行求解。

根据实际工作需要，由传动比需求确定表1中的结构参数，ki、bi分别为k1、b1和k2、b2.G1和G2的传动比和节曲线分别如图3和图4所示，图中x、y分别为直角坐标表示的横坐标、纵坐标。

表1 非圆齿轮副结构参数Tab.1 Structural parameters of non-circular gear pair

图3 非圆齿轮副传动比Fig.3 Transmission ratio of non-circular gear pair

图4 非圆齿轮副节曲线Fig.4 Pitch curve of non-circular gear pair

由图4可知，非圆齿轮的节曲线封闭，且每对齿轮副正确配对，表明节曲线设计的正确性。

2.2 非圆齿轮齿廓

图5 非圆齿轮齿廓仿真加工Fig.5 Simulation processing of non-circular gear tooth profile

由图5可见，刀具中心运动轨迹为非圆齿轮节曲线的法向等距曲线，刀具沿着非圆齿轮节曲线作纯滚动，刀具齿廓逐渐包络形成非圆齿轮齿廓，最终通过布尔运算得到非圆齿轮齿廓数据如图6所示。

图6 非圆齿轮副齿廓Fig.6 Tooth profile of non-circular gear pair

2.3 非圆齿轮平衡设计

将仿真加工得到的非圆齿轮齿廓数据导入三维建模软件，可得其实体模型。由机械平衡原理可知，对高速转子进行设计时，须对其进行平衡设计，消除不平衡惯性力影响。本文各非圆齿轮的径宽比不小于5，可近似认为其不平衡质量分布在同一回转平面内。以G1主动轮为例，采用材料去除和增加配重相结合的方法，对其进行平衡设计如图7所示。图7中，Oxy为非圆齿轮平衡设计坐标系，m1为齿轮在回转平面内的偏心质量，r1为从回转中心到偏心质量中心的向径，mb为所需增加的平衡质量，rb为从回转中心到平衡质量mb中心的向径，m′b为所需减小的平衡质量，r′b为从回转中心到平衡质量m′b中心的向径，α1为m1位置角，αb为mb位置角，α′b为m′b位置角。

图7 非圆齿轮平衡设计Fig.7 Balance design of non-circular gear

当非圆齿轮以角速度ω转动时，偏心质量所产生的离心惯性力为m1ω2r1.为了平衡惯性力，在此平面内增加一个平衡块，它所产生的离心惯性力为mbω2rb.m1ω2r1和mbω2rb形成的合力应为零，则

mbrb=-m1r1.

(11)

(11)式向x轴、y轴投影，可得

(12)

式中：α1和αb所在象限根据分子、分母正负号确定。

对于所需增加质量较大的情况，可先在其平衡质量mb反向位置角为α′b、向径为r′b处减去质量m′b，再增加质量进行平衡设计。对于其余非圆齿轮，可采用相同方法进行平衡设计。对于由实际加工误差引起的不平衡，可采用动平衡机进行检测并去除不平衡量。

2.4 多分支匹配模型

将平衡设计后的各非圆齿轮模型进行装配，得到图8所示非圆齿轮副三分支匹配模型。通过(10)式可计算得到每个主动轮转角φ1所对应的从动轮转角φ2，进而可以实现每对非圆齿轮副的装配。装配完成后，进行三分支匹配模型的运动仿真，发现非圆齿轮能够正常运转，不会发生干涉，表明了非圆齿轮副三分支匹配模型的合理性。

图8 非圆齿轮副三分支匹配模型Fig.8 Three-branch matching model of non-circular gear pair

3 仿真与实验结果分析

3.1 仿真分析

取传动选择机构与最终输出轴之间传动比参数k3=3，其余参数选取表1中的值，对多分支非圆齿轮无级变速机构的所有零部件进行三维实体建模，并导入ADAMS软件中进行运动学仿真分析，仿真模型如图9所示。

结合实际工作情况，给定输入转速N1=1 000 r/min和负载T2=300 N·m，不同相位角的输出转速仿真结果如图10～图14所示。

图11 θ =30°的仿真结果Fig.11 Simulated result for θ=30°

图12 θ =60°的仿真结果Fig.12 Simulated result for θ=60°

图13 θ=90°的仿真结果Fig.13 Simulated result for θ=90°

图14 θ=120°的仿真结果Fig.14 Simulated result for θ=120°

根据角速度与转速的对应关系，将仿真结果转换为转速，并对输出转速的理论值与仿真值进行对比分析，结果如表2所示，误差e=|is-it|/it×100%，is和it分别为仿真传动比和理论传动比。

根据图10～图14及表2的结果分析可知，当该无级变速机构运行一小段时间后达到稳定输出转速状态，能够实现全输入转角内的无级变速，且输出转速与传动比随相位角改变而改变。

表2 不同相位角的传动特性Tab.2 Transmission characteristics with differentphase angles

之所以不同相位角的仿真转速曲线在起始阶段有变化，是因为离合器的滚子将内圈转速传递到外圈直至稳定同步状态需要一定时间，其时间长短与离合器结构、动力学特性和内圈转速相关，而内圈转速又受相位角影响。当相位角分别为0°、30°、60°、90°和120°时，到达稳定时间分别约为0 s、0.02 s、0.05 s、0.06 s和0.08 s. 随着相位角增大，内圈转速逐渐增大，从而导致离合器滚子同步内外圈转速所需时间变长，仿真转速曲线在起始阶段产生变化，但总体同步时间较小。

当相位角为0°时，传动比绝对误差为0.2%；当相位角分别为30°、60°、90°和120°时，传动比误差分别为3.7%、4.2%、4.1%和4.5%，最大误差为4.5%，在误差合理范围内，表明多分支非圆齿轮无级变速机构理论分析方法的正确性与合理性。

3.2 实验分析

3.2.1 非圆齿轮加工

采用五轴数控铣削加工所需非圆齿轮轮齿部分，齿轮材料及相关设备参数如表3所示。

表3 非圆齿轮材料及设备参数Tab.3 Material of non-circular gear andequipment parameters

在进行实体零件加工之前，需要根据非圆齿轮三维实体模型对非圆齿轮仿真加工，主要对整个加工流程进行大概设定，选择刀具和加工方式、步骤及粗加工阶段的主轴转速、背吃刀量等参数，并生成CNC程序，如图15所示。

图15 非圆齿轮CNC仿真加工Fig.15 CNC simulation machining of non-circular gear

非圆齿轮五轴数控铣削分为粗加工、半精加工与精加工3个阶段，如图16所示。

图16 非圆齿轮五轴铣削Fig.16 Five-axis milling of non-circular gear

3个阶段具体如下：

1)粗加工阶段，主要根据齿轮形状选取加工方式并对刀具、毛坯进行安装校准。根据非圆齿轮的齿面形状，得到齿的大概位置，为后续加工做铺垫。

2)半精加工阶段，主要根据在已有粗加工的基础上，不再进行二次装夹直接加工出整个齿形，得到齿的大概形状，为后续加工做铺垫。

3)精加工阶段，主要根据在已有半精加工的基础上，不再进行二次装夹对每个轮齿进行最终的精加工，包括齿顶、工作齿面及齿根部分，从而得到轮齿的最终形状，为后续实验作铺垫。

3.2.2 非圆齿轮传动实验

为了验证非圆齿轮副传动比特性，搭建图17所示传动实验台，并通过总控制台的中央集成控制器得到输入输出转速，实现非圆齿轮副的传动比特性测量，测量周期为10 ms，测量误差不超过±0.1%.

图17 非圆齿轮传动实验Fig.17 Experiment of non-circular gear transmission

给定输入转速为200 r/min，负载扭矩为50 N·m，根据所测得的从动轮转速计算得到非圆齿轮副传动比的实验值，并与仿真值和理论值进行对比，结果和误差分别如图18和表4所示。

图18 非圆齿轮副传动比理论、仿真与实验结果对比Fig.18 Comparison of theoetical， simulated and experimental transmission ratios of non-circular gear pair

表4 非圆齿轮副传动比误差

从图18中可以看出，两对非圆齿轮副传动比的理论曲线、仿真曲线与实验曲线高度吻合，满足了理论设计的要求。

由表4可知，其中G1的最大仿真误差与实验误差分别为3.3%和5.1%，G2的最大仿真误差与实验误差分别为3.5%和6.3%，实验误差整体高于仿真误差值。

3.2.3 机构整体传动实验

与非圆齿轮副传动实验类似，为了验证机构整体传动比特性，搭建图19所示的机构整体传动实验台。给定输入转速N1=1 000 r/min和负载T2=300 N·m，并通过总控制台中央集成控制器得到不同相位角下输入输出转速，通过稳定后的转速计算得到机构整体传动比。将实验结果与整体传动比的理论、仿真结果进行对比分析，结果如表5所示。

图19 机构整体传动实验Fig.19 Experiment on integral transmission of mechanism

表5 机构整体传动比误差

由表5可知，当相位角为0°时，实验绝对误差为0.3%；当相位角分别为30°、60°、90°和120°时，实验误差分别为4.5%、5.3%、5.1%和5.6%，最大误差为5.6%. 不同相位角下的机构整体传动比的实验结果均略大于仿真结果，这是因为实验过程相对于仿真过程引起误差的因素更多。

对于非圆齿轮传动及机构整体传动而言，仿真误差主要来源于仿真模型装配和求解条件设置。实验误差主要有加工引起的齿形误差、其余零部件的加工误差、传动实验台的装配误差和转速测量误差。考虑以上误差影响，仿真和实验误差值均在合理误差范围内，表明了本文理论设计方法的正确性与合理性。

4 结论

本文通过对该无级变速机构的设计与分析，详细介绍了多分支非圆齿轮机构的无级变速原理和构成，开展了非圆齿轮节曲线、齿廓与平衡特性设计以及非圆齿轮的加工制造及传动实验研究。得到如下主要结论：

1)通过对两对非圆齿轮副传动比的差速整合可以实现360°范围内的无级变速传动，最终传动比的变化取决于两个非圆齿轮主动轮之间的相位角取值，与非圆齿轮的转角无关。

2)需选取合适的参数以保证非圆齿轮节曲线的封闭性、齿廓的完整性和平衡特性。非圆齿轮的加工可采用五轴数控铣削方式，以得到较高精度和质量的非圆齿轮。

3)通过机构整体传动比特性理论、仿真与实验对比，验证了对机构整体理论分析的正确性；通过非圆齿轮副传动比特性理论、仿真与实验对比，验证了非圆齿轮副理论分析的正确性，侧面保证了机构整体功能的顺利实现。

4)机构的动力学特性对机构的效率等传动性能具有重要影响，在后续研究中需进行详细探讨。