利用特殊函数和类比法有序化排列正负指数幂算符*

王磊 李洪奇 徐兴磊 徐世民 王继锁

1) (菏泽学院物理与电子工程学院, 菏泽 274015)

2) (曲阜师范大学物理工程学院, 曲阜 273165)

研究算符函数的有序化排列是一项重要的数理任务.本文利用特殊函数和正规乘积排序与反正规乘积排序间的互换法则法导出了幂算符的正规与反正规乘积排序.进一步, 利用类比法得到了算符 ( XP)±n 和 ( PX)±n 的坐标-动量排序与动量-坐标排序式.最后, 对新得到的这些算符结果的应用进行一些讨论.

1 引 言

在量子物理中算符是一个重要的基本概念.一般来说, 由于算符的不可对易性, 譬如玻色湮灭算符与产生算符的对易关系为使得涉及算符的计算颇为棘手.如果能够把算符转化为有序排列形式, 则相应的计算就方便得多.例如一个正规乘积排序的算符 : f(a,a†): , 其在相干态表象中的矩阵元[1,2]为

又如, 密度算符 ρ 的Glauber-Sudarshan P 表示可由其反正规乘积排序形式直接得到[3,4], 即

(1)式中记号::表示正规乘积排序(即所有的产生算符位于所有的湮灭算符的左侧),(2)式中记号表示反正规乘积排序(即所有的湮灭算符位于所有的产生算符的左侧).除了算符的这两种有序化排列形式外, 还有一些其他的有序化排列方式, 如坐标-动量排序和动量-坐标排序[5−12].坐标-动量排序算符和动量-坐标排序算符在 x -p 相空间的矩阵元可方便地得到, 即

这里记号 Q ···Q 表示坐标-动量排序(即所有的坐标算符 X 位于所有的动量算符 P 的左侧), 记号P···P 表示动量-坐标排序(即所有的动量算符P位于所有的坐标算符 X 的左侧).因此, 尽可能直接地得到算符的有序化排列形式就是一项重要的数理任务.

在量子力学和量子光学中, 人们经常会遇到形如 ( XP)n和 ( XP)−n的正负指数幂算符(n=0, 1, 2,3,···).对于低次正指数幂算符, 可以利用对易关系将其转换为有序化排列形式.而对于负指数幂算符和高次正指数幂算符, 其处理是非常棘手的.本文将利用特殊函数和算符的正规与反正规乘积排序间的互换法则[4,13]导出幂算符的正规与反正规乘排序式.进一步, 利用类比法得到算符 ( XP)±n和 ( PX)±n的坐标-动量排序与动量-坐标排序式.最后, 将对新得到的这些结果的应用进行一些讨论.

2 指数算符 e λa†a 和 e λaa†的正规排序和反正规排序展开式

这一节来讨论指数算符 eλa†a和 eλaa†的正规乘积排序与反正规乘积排序.将充分利用有序算符内的积分技术和正规乘积排序与反正规乘积排序间的互换法则[4,13].

首先来导出真空投影子 | 0〉〈0| 的正规乘积排序形式.令 | 0〉〈0|=:f(a,a†): , 并用相干态左矢 〈 z| 和右矢 | z〉 夹乘之, 得 f (z,z∗)=〈z|0〉〈0|z〉=e−zz∗.于是得到

这就是真空投影子 | 0〉〈0| 的正规乘积排序形式.利用福克空间的完备性关系式a†a|n〉=n|n〉以及真空投影子的正规乘积排序形式 , 便得到

这就是指数算符 eλa†a的正规乘积排序式.作参数变 换 eλ−1=µ , 则有

这就是脱掉正规乘积排序指数算符 : exp(µaa†): 的正规乘积排序记号 :: 的公式.

进一步利用对易关系式[a,a†]=aa†−a†a=1和 (5)式可得

这就是指数算符 eλaa†的正规乘积排序式.

利用(5)式和算符的正规乘积排序与反正规乘 积排序间的互换法则

可得到指数算符 eλa†a的反正规乘积排序, 即

中指数上的函数采用了积分降次法, 也就是将湮灭算符与产生算符的“乘积”形式通过积分法降成了“和”的形式, 并且用到了积分公式

Re(ζ)>0

其收敛条件为 , 否则该积分是发散的.

如果 R e(eλ)>0 , 利用积分公式(10)式完成(9)式中的积分, 得

如果 eλ=−1 , 也就是 λ =i(2n+1)π , n=0,±1, ±2, ±3,···, 则(9)式化为

(15)式的最后一步计算中用到了同下标双变量厄米多项式与拉盖尔多项式的关系, 即

在 R e(eλ)>0 时, 利用对易关系式[a,a†]=aa†−a†a =1和(11)式可得

3.1 幂算符的正规乘积排序和反正规乘积排序

设 t 是一个参数, 利用(7)式可得

亦即在 t =0 的邻域上, 有

据此定义可依次得到

那么, (18)式就可以表示为

由(19)式可导出

该多项式的更多性质详见附录A.若对(19)式进行如下处理

式中 Tn(ξ) 是Touchard 多项式, 其定义为

它是Bell 多项式的一个特例[14,15].也就是说, Tn(ξ)的生成函数是在 t =0 的邻域上有

Touchard 多项式 Tn(ξ) 的微分式可表示为(详见附录B)

另外, 比较(21)式和(23)式还可得到

这就是多项式 xn(ξ) 和 Tn(ξ) 的关系, 因此多项式xn(ξ)可视为Bell 多项式家族的又一个特例.

因为在 t =0 的邻域上 R e(et)≈1>0 , 上述积分是收敛的, 所以有

3.2 幂算符的正规乘积排序和反正规乘积排序

鉴于[ a†,−a]=1=[a,a†] , 若与(28)式类比可得

比较(21)式和(31)式可得

这就是多项式 xn(ξ) 和Touchard 多项式 Tn(ξ) 的另一种关系.

4 ( XP)n和 ( PX)n的坐标-动量 排序和动量-坐标排序

基于上一节的结果, 利用类比法可导出幂算符(XP )n和 ( PX)n的坐标-动量排序和动量-坐标排序式.鉴于通过与(28)式类比可得

此即幂算符 ( XP)n的坐标-动量排序展开式.通过与(30)式类比, 能得到幂算符 ( XP)n的动量-坐标排序展开式, 即

以及与(29)式作类比得

进一步利用指数函数的Taylor 展开式和(32)式—(35)式可得到

这就是指数算符 eλXP和 eλPX的坐标-动量排序及动量-坐标排序的基本形式.由于在 λ =0 的邻域上以上各级数是收敛的, 所以根据(20)式和(25)式便可得到

这是脱掉坐标-动量排序算符 Q exp(µXP)Q 的坐标-动量排序记号的公式.若令亦即则从(38)式可得到

这是脱掉动量-坐标排序算符 P exp(σXP)P 的动量-坐标排序记号的公式.

5 负指数幂算符 ( AB)−1 的有序排列展开式

这一节来导出形如 ( AB)−1的负指数幂算符的有序排列式.由于

5.1 算符的正规乘积排序和反正规乘积排序

在(41)式的计算中, 最后一步使用了双求和重置公式

事实上, (41)式还可进一步简化, 即

基于(43)式, 利用算符的正规乘积排序与反正规乘积排序的互换法则(8)式可进一步得到的反正规乘积排序, 即

式中 Hm,n(x,y) 是双变量Hermite 多项式[4,16,17],其定义为

5.2 负 指数幂算符 ( XP)−1和 ( PX)−1 的坐标-动量排序及动量-坐标排序

由于 ( XP +PX) 是厄米算符, 故知其本征值必为实数.鉴于所以算符 ( XP) 的本征值不会包含零.那么算符(XP)一定是可逆的, 记其逆算符

这就是算符 ( XP)−1的坐标-动量排序展开式.同样道理, 类比(43)式便得到算符 ( XP)−1的动量-坐标排序展开式, 即

这就是负指数幂算符 ( PX)−1的坐标-动量排序和动量-坐标排序展开式.

6 应用举例

由(2)式可知, 一旦得到了密度算符 ρ 的反正规乘积排序就是相当于得到了其Glauber-Sudarshan P 表示[18], 而密度算符满足的海森堡方程(算符方程)就可转化为相应的 c 数方程, 这给某些问题的求解带来一定的方便.同时, 有序算符方法可应用于量子统计.

作为第一个例子, 下面讨论处于热平衡的辐射场(混沌光场).按照统计物理理论, 表示该辐射光场的密度算符为

这就是混沌光场密度算符的反正规乘积排序形式,式中

基于(2)式和(49)式, 便得到

此即混沌光场的Glauber-Sudarshan P 表示.混沌光场存在 P 表示, 意味着存在相应的“经典”光场.而对于相干态 | ζ〉 , 密度算符 | ζ〉〈ζ| 的Glauber-Sudarshan P 表示则为

其中 g (ω) 为能级密度因子.因为

作为第二个例子, 下面讨论互换法则(8)式的应用.考虑正规排序算符 eλa†2eva2, 利用该互换法则可得其反正规排序式为

这里再一次用到了双变量Hermite 多项式.另一方面, 也可以采用积分降次法进行计算, 即

这是算符 eλa†2eva2反正规乘积排序的另一种形式, 是指数形式的, 它要求 R e(1 −4λv)>0.在上面的计算中用到了如下积分公式:

另一方面, 利用互换法则(8)式可得

这要求 R e(1 −4λv)>0.比较(57)式和(58)式, 并做替换 a†→x , a →y , 便得到这就是奇次双变量Hermite 多项式H2m+1,2n+1(x,y)的生成函数.同样可得到奇偶次和偶奇次双变量Hermite 多项式的生成函数, 即

这一些关于双变量Hermite 多项式的生成函数都将在数学物理中有着各自的应用.

7 结 论

利用特殊函数和正规乘积排序与反正规乘积排序间的一般互换法则将幂算符及化为了正规乘积排序和反正规乘积排序形式.进一步利用类比法得到了幂算符及的坐标-动量排序和动量-坐标排序式.最后, 利用幂算符的有序排列结果讨论了混沌光场, 并通过正规乘积与反正规乘积排序间的一般互换法则得到了在数学物理中有着应用价值的偶次及奇次双变量Hermite 多项式的生成函数.

附录A 多项式xn(ξ)

从多项式 xn(ξ) 的定义(19)式可得

做参数替换 et=τ , 则于是有

易见, xn(ξ) 不同于Touchard 多项式亦不同于Laguerre 多项式从(A2)式可得

进一步可得到多项式 xn(ξ) 的递推公式和幂级数展开式分别为

多项式 xn(ξ) 跟Touchard 多项式的关系为

在(B5)式中若取 y1=2ξ , y2=−2 , ym≥3=0 , 则有

附录B Touchard 多项式Tm(ξ)

从Touchard 多项式 Tn(ξ) 的定义可得

做参数替换 et=τ , 则有

由(B2)式容易得到

由(B2)式还可得出其递推公式, 即

另外, 还可得到 Tn(ξ) 的幂级数展开式, 即

其中已规定 B0=1.如果取 ym=ξ , m =1,2,3,··· , 则(B5)式约化为

比较(B6)式和(25)式可知Touchard 多项式是Bell 多项式的一个特例, 即 Tn(ξ)=Bn(ξ,ξ,··· ,ξ).