S-T线性耦合级联混沌扩频码及其性能分析*

赵 雷，保利勇，丁洪伟

(云南大学 信息学院，昆明 650500)

0 引 言

扩频技术由于其宽频带特性带来了极高的安全性，被誉为三大高技术通信传输方式之一[1]。扩频通信技术由于其信号隐蔽性好、抗干扰能力强、可以实现码分多址等优点，最初被用于军用通信系统[2]，而后，由于其技术设备高度集成易于维护，同时适用于数字信号和模拟信号的传输，也逐渐被用于商用通信系统。大量的研究和实践表明，扩频通信是复杂干扰环境下最有效的通信手段。

混沌数字序列具有良好的伪随机特性，近年来大量的学者和专家对混沌扩频码进行了深入研究。文献[3]提出了利用Tent映射生成混沌扩频序列。文献[4]在Tent映射中加入了扰动，克服了映射的周期性和不稳定性，但是随机扰动的幅度有很大的限制，同时映射表达式仍然较为简单，系统容易受到攻击。为了提升系统的安全性，文献[5]提出了一种基于Logistic改进型映射和Cubic映射的级联型混沌序列，提高了混沌系统的复杂性，得到了和传统一维混沌序列相当的扩频特性。文献[6]将改进型Logistic混沌映射和Chebyshev混沌映射通过迭代级联构造出一种新型混沌映射，有效扩展了混沌系统的密钥空间。文献[7]将实值混沌序列作为扩频序列应用于直接序列扩频(Direct Sequence Spread Spectrum，DSSS)系统中，具备更好的抗截获能力。上述研究有效提升了扩频系统的安全性，然而在误码率方面确没有明显改善。为了提升系统的误码率表现，文献[8]分别运用初值替换、参数控制、多重复合和异或叠加的方法，对提出的改进混沌系统所产生的混沌序列进行优选，在打破系统连贯性的前提下得到了性能更优的混沌时间序列。

上述研究分别从克服经典映射缺陷、提高系统安全性或降低误码率的角度改进了传统混沌映射扩频系统，然而仅从某一方面提升系统性能对系统的提升有限，若能同时对系统结构复杂性、密钥空间以及生成的时间序列复杂度进行进行改进将会大大拓展混沌理论在扩频系统中的应用前景。同时，现有的研究大都基于Logistic映射、Logistic改进型映射、Chebyshev映射和Cubic映射，而对于与之拥有相似特性的Sine映射研究相对较少。为此，本文以Sine映射为主体，同时引入了具有均匀分布特性的Tent映射，以期得到一种具有更强伪随机特性的混沌动力学系统。

1 S-T耦合级联混沌映射构建

1.1 Sine映射

正弦映射[9]的数学模型为

xi+1=(1-a)sin(πxi) 。

(1)

式中：映射值域为xn∈(0,1)，映射参数取值区间为a∈[0,1]。

Sine映射的序列取值范围与控制参数密切相关，当且仅当参数a取值为1时Sine映射才是(0,1)区间上的满映射。

1.2 Tent映射

Tent映射有多种形式，本文选取的为[10]

xi+1=1-b×|xi-(1/b)| 。

(2)

式中：映射值域为xn∈(0,1)，控制参数取值区间为b∈[0,2]。

Tent映射的序列取值范围同样与控制参数密切相关，当且仅当参数b取值无限接近于2时Sine映射才是[0,1]区间的满映射。

1.3 传统映射的平衡性

序列的平衡性可以体现序列的分布情况，是评价扩频码优劣程度的重要指标。序列的平衡性与载波抑制度有密切关系，平衡性越好则载波泄露可能性越低，系统保密性越高；反之系统的载波越容易泄露，系统安全性越低[11]。以满映射条件下序列取值范围的中点0.5作为判决门限，序列依据判决门限分别取值为+1和-1，此时序列中“+1”“-1”的个数就代表了序列平衡性。设“+1”个数为P，“-1”个数为Q，序列总长度为N，平衡性为E，则

(3)

E值越趋近于0，说明序列中“+1”“-1”的个数越接近，序列的平衡性也就越好。Sine映射的序列值更多地分布在0.5以下，而Tent映射的序列值更多地分布在0.5以上，两者平衡性较差却存在互补关系。

1.4 S-T耦合级联混沌映射

如前文所述，Sine映射和Tent映射在平衡性上存在互补关系，因而可以引入耦合因子调节其各自的权重，对两者进行线性耦合，即

(4)

为了确保耦合映射的值域在[0,1]内，令b=1-a，则

(5)

满映射间的线性耦合在保持系统动力学结构完整性的前提下引入了耦合因子，同时消除了原映射参数取值对序列取值范围带来的影响，大大增加了扩频码的地址空间。

其次，为了提高映射结构的复杂性，将耦合映射与Sine映射级联，新型映射的最终表达式为

(6)

系统动力学结构图如图1所示。

图1 S-T耦合级联混沌映射动力学结构图

从式(6)和图1都可以看出，新型映射具有复杂的动力学结构，模型的结构复杂性得到了有效地提高。

1.5 S-T耦合级联混沌映射平衡性与耦合因子的关系

取序列长度为n=1×106，S-T耦合级联混沌映射的平衡性随耦合因子的变化情况如图2所示。

图2 S-T耦合级联混沌映射因子对平衡性的影响

由图2可以看出，随着耦合因子a的增大，序列的平衡性几乎以单调的形式发生变化，因而在实际应用中可以根据实际需求对序列的平衡性进行动态调控，以更好地适应不各类场景中对序列平衡性的不同要求。

从图2可以看出,当耦合因子a∈(0.1,0.3)时序列平衡性都接近于0。图3给出了a=0.1时序列平衡性随迭代次数而对变化情况，可以看出当迭代进行了足够多得到次数后序列平衡性趋近并收敛到0，S-T耦合级联混沌映射的平衡性同时优于Sine映射和Tent映射。考虑通常情况下到扩频码对平衡性的要求，后续仿真中均取a=0.1，此时序列平衡性接近于0。

图3 S-T耦合级联混沌映射平衡性曲线(a=0.1)

2 S-T耦合级联映射动力学特性分析

2.1 系统特性分析

2.1.1 Lyapunov指数

Lyapunov指数描述了在初始点x0处无穷小误差的平均增长，其大小直接反映了系统的混沌程度，定义为

式中：E0表示初始误差，En表示第n次迭代的误差[12]。S-T耦合级联映射的Lyapunov指数图如图4所示，可以看出该级联混沌映射的Lyapunov指数始终为正，当a=0时取到最大值1.38，当a=1时取到最小值1.28，数值均大于单级结构的映射(约为0.69)。因此，该耦合映射仍然是混沌映射，且混沌性强于传统的一维映射。

图4 S-T耦合级联映射的Lyapunov指数

2.1.2 分叉图

S-T耦合级联混沌映射分岔图如图5所示，可以看出S-T耦合级联映射在耦合因子a定义域内在区间[0,1]上分布均匀且始终保持满映射，映射的耦合消除了参数对序列取值范围的影响。新型映射与Sine映射和Tent映射只在参数r=1、b=2时才是满映射相比具有明显的优势。

图5 S-T耦合级联混沌映射分岔图

2.1.3 遍历特性

蛛网图又叫雷达图，直观地展示了映射迭代过程中的翻转过程，常用于表现系统的吸引子及遍历轨迹。S-T耦合级联混沌映射蛛网图如图6所示，能够看出，S-T耦合级联映射的迭代值不断趋近于不动点，然后又不断从不动点跳出，说明该映射存在奇异吸引子；同时，随着迭代次数的增加，映射的迭代轨迹几乎遍布了[0,1]区间，映射具有良好的遍历特性。

图6 S-T耦合级联混沌映射蛛网图

2.2 混沌时间序列特性分析

3.2.1 序列复杂度

序列复杂度是测度混沌系统产生序列接近随机序列程度的一个量化指标，复杂度的大小直接关系到混沌系统的密码学性能。本文选用了近似熵和谱熵来衡量混沌时间序列的复杂度。

近似熵算法利用边缘条件概率的统计方式统计序列的随机程度，用相邻轨道的变化程度体现整个序列的内在复杂性[13]。取不同的序列长度n，Sine映射、Tent映射及S-T耦合级联混沌映射的近似熵如表1所示，std表示序列的标准差。从表1中可以看出，S-T耦合级联混沌映射生成的时间序列近似熵明显高于Sine映射、Tent映射和Logistic-Cubic映射，序列局部的复杂度更高；Logistic-Cubic映射谱熵明显低与其他映射，而S-T耦合级联映射谱熵与Sine映射和Tent映射接近，序列整体的复杂度相当，说明S-T耦合级联混沌映射生成的时间序列较其他映射具有更高的序列复杂度，序列的伪随机特性更强。

表1 近似熵对比(r=0.3std)

谱熵采用傅里叶变换，通过傅里叶变换域内能量分布，结合香农熵得出相应谱熵值。同样取不同的序列长度n，Sine映射、Tent映射及S-T耦合级联混沌映射的谱熵如表2所示。

表2 谱熵对比

2.2.2 序列相关特性

表3给出了序列长度为n=50 000时S-T耦合级联混沌映射与传统一维映射生成时间序列的功率谱均方根差、自相关旁瓣均方根差以及互相关均方根差的对比。

表3 混沌时间序列性能对比

从表3可以看出，Logistic-Cubic映射功率谱表现和相关特性表现均较差，S-T耦合级联混沌映射的生成时间序列功率谱均方根值介于Sine映射和Tent映射之间；自相关旁瓣均方根值及互相关均方根与Tent映射接近而低于Sine映射，说明S-T耦合级联混沌映射的功率谱较为均匀，自相关和互相关特性也不亚于传统映射，因而该映射对多径干扰以及多址干扰的抑制能力强于Sine映射、Logistic-Cubic映射，与Tent映射相当。

2.2.3 游程特性

序列的游程特性表示了序列中出现连续0或者连续1的概率，也是表现序列伪随机特性的重要指标。根据文献[11]，理想的伪随机序列中长度为i的游程约占游程总数的(1/2)i。S-T耦合级联混沌映射的游程特性如表4所示。

表4 游程特性对比

从表4中可以看出，S-T耦合级联混沌映射生成的时间序列序列具有良好的游程特性，当i=1时其性能略低于传统一维Tent映射，其余情况下的游程表现相当，序列分布情况较为理想。同时，经过进一步的研究发现，S-T耦合级联混沌映射的游程特性与耦合因子a的取值有关，恰当的取值(如取a=0.05)能够在牺牲序列平衡性的前提下得到更为理想的游程性。

从以上的分析可以看出，S-T耦合级联混沌映射在耦合因子定义域范围内始终保持满映射，且具有较单一结构映射更高的Lyapunov指数，映射的混沌性更强。该映射生成的时间序列具有良好的伪随机特性，序列复杂度更高，平衡性优于单一结构映射，而在功率谱密度、自相关互相关特性、游程特性方面的表现不亚于单一结构映射，是一种理想的扩频序列。

3 S-T映射混沌扩频系统实现与分析

3.1 扩频通信系统的搭建

基于S-T耦合级联映射的混沌扩频码生成算法流程如图7所示，描述如下：

图7 S-T耦合级联混沌映射扩频码生成算法流程图

Step1 输入迭代次数N和映射初值x0，根据S-T耦合级联混沌映射进行N-1次迭代得到长度为N的混沌时间序列。

Step2 以0.5为判决门限依次对序列中的每一个实数值进行二值量化，得到的M序列即为扩频码。

基于Simulink的混沌扩频通信系统采用伯努利信号发生器作为信元，经过极性转换后与From File模块嵌入的S-T线性耦合级联混沌扩频码相乘得到扩频后的信号，而后通过BPSK模块进行射频调制，最后进入AWGN模块模拟信号的传输。在信号接收部分采用相反的设计，依次对信号解调、解扩，得到最终的信号。为了体现该映射在扩频码生成算法中的优越性，本文引入了Sine映射扩频系统、Tent映射扩频系统和文献[3]中提出的LC映射扩频系统，并在相同噪声干扰下分析了各个系统的误码率(Bit Error Rate,BER)曲线。

3.2 BER仿真

3.2.1 突发脉冲干扰下的BER仿真

引入“Discrete Impulse”信元模块模拟突发脉冲信号干扰，系统BER仿真结果如图8所示。

图8 突发脉冲干扰下扩频系统误码率对比

图8中可以看出，在突发脉冲干扰下，当信噪比较低时基于S-T耦合级联混沌映射的扩频系统误码率明显低于低于其他扩频系统，在信噪比为-1 dB时只有基于S-T耦合级联混沌映射的扩频系统的误码率低于0.1；当信噪比逐渐增大到3 dB时误码率表现与其他扩频系统趋于一致，约为0.03；当信噪比为7 dB时基于S-T耦合级联混沌映射的扩频系统误码率达到了0.000 1，实现了良好的通信效果。可见在低信噪比条件下该系统具有更优异的抗干扰性，采用该系统通信更具保密性和安全性。

3.2.2 随机信号干扰下的BER仿真

引入“Random Number”信元模块模拟随机信号干扰，系统BER仿真结果如图9所示。

图9 随机信号干扰下系统误码率对比

图9中可以看出，在随机信号干扰下通信系统对信噪比的要求更高，然而与突发脉冲干扰下的系统性能类似，基于S-T耦合级联混沌映射的扩频系统在较低信噪比的条件下有着更优的表现，在信噪比为10 dB时只有基于S-T耦合级联混沌映射的扩频系统误码率低于0.13，且随着信噪比的不断增大误码率始终低于其他三种扩频系统；当信噪比达到26 dB时基于S-T耦合级联混沌映射的扩频系统误码率低于0.000 1，能够保证高质量的通信。

综上所述，无论是存在突发脉冲干扰还是随机信号干扰，基于S-T耦合级联混沌映射的扩频系统在各个信噪比下传输的误码率均低于Sine映射扩频系统、Tent映射扩频系统和LC映射扩频系统，且当信噪比足够大时系统都表现出了极低的误码率。由此可以说明，在复杂的干扰环境下基于S-T耦合级联混沌映射的扩频系统比现有的一维混沌映射扩频通信系统具有更好的抗干扰性，当信噪比满足要求时能够保证优异的传输效果。

4 结 论

混沌时间序列具有良好的伪随机特性，大量的研究表明基于混沌理论的扩频系统误码率远低于传统的m序列扩频系统及PN序列扩频系统。然而传统的一维映射存在表达式简单、Lyapunov指数小、时间序列复杂度低以及参数取值对系统伪随机特性存在限制等问题，这些缺陷限制了混沌理论在扩频通信领域的应用。为此，本文提出了一种基于S-T耦合级联混沌映射的扩频码生成算法。理论分析和实验结果表明，S-T耦合级联混沌映射具有更大的Lyapunov指数，且该映射生成的时间序列复杂度高于现有的一维映射。搭建了不同噪声干扰下的直序扩频仿真实验系统，证明了在复杂干扰下基于该映射的扩频系统较现有的一维映射扩频系统具有更低的误码率，在信道的信噪比足够高时系统的误码率低于10-4，具有良好的通信质量。