解答排列组合问题常用的几种方法

顾瑶

排列组合问题常以选择题或者填空题的形式出现在各类试题中，侧重于考查同学们的分析能力和运算能力.此类问题的命题方式千变万化，因而解题的方法也多种多样.本文重点谈一谈三种解答排列组合问题的常用方法：捆绑法、插空法、缩倍法.

一、捆绑法

捆绑法一般用于解答要求若干个元素相邻的问题.运用捆绑法解题，需首先将要求相邻元素看作一个整体当作一个大元素，再将其与其他元素一起排列，然后分别求出大元素内部元素的排列数以及与外部元素一起排列的排列数，最后根据分步计数原理求得问题的答案.

例1.某服装厂生产了一批衣服，这批衣服中的每一件衣服上都有8个颜色不同的纽扣，这8个纽扣都排成一列.要求红色、黄色、蓝色3种颜色的纽扣必须相邻，红色的纽扣必须在这3种颜色的纽扣的中间，那么一共有多少种排列方法？

分析：根据题意可知，红色、黄色、蓝色3种颜色的纽扣必须相邻，则可用捆绑法求解.可先将这3种颜色的纽扣的顺序排好，然后将其看作一个大元素与其他5个纽扣一起排列，再运用分步计数原理求解.

二、插空法

若要求几个元素不相邻的问题，则可用插空法求解.运用插空法解题，需首先明确哪些元素不相邻，哪些元素没有要求，然后将没有要求的元素先排好順序，再将要求不相邻的元素插入已排好的元素的空隙中和两端的位置上，最后根据分步计数原理计算结果即可.

例2.小明买了5个大小差不多的苹果和3个大小差不多的梨子，现在小明想将这8个水果排成一列，但不想把梨子放在最前面，且这3个梨子中的任意2个梨子都不相邻，那么不同的排列方式有多少种？

分析：根据题意可知，3个梨子中的任意2个梨子都不相邻，则说明这是一个不相邻问题，可以运用插空法求解.需先将没有要求的5个苹果的顺序排列，在将3个梨子放在5个苹果的空隙和两端的位置上进行排列.

三、缩倍法

有些排列组合问题中的元素要求维持某一固定的顺序排列，对于这类定序问题，我们通常采用缩倍法来求解.缩倍法是指根据题目的要求，结合某一既定的顺序，通过缩小倍数的方式来处理问题.在运用缩倍法解题时，第一步要明确哪些元素要保持某一固定的顺序，第二步要结合题目的要求找到需缩小的倍数，第三步需根据分类计数原理和分步计数原理求出问题的答案.

例3.周末，小李和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶5人一起去拍照，摄影师要求他们并列站成一排，并且要求小李的妈妈一定要站在小李的爸爸的右边，请问有多少种站法？

捆绑法、插空法、缩倍法都是解答排列组合问题的常用方法.但捆绑法一般适用于求解相邻问题，插空法通常适用于解答不相邻问题，这两种方法的适用对象恰好相反，而运用缩倍法解题的关键在于确定缩小的倍数.

（作者单位：江苏省淮阴中学教育集团淮安市新淮高级中学）