悬链线 一条神奇的“微笑”曲线

张飞

“你去过网红城市重庆吗？”

“去过，我还打卡了洪崖洞、李子坝、长江索道等景点，也见证了重庆的桥都文化，亲身去看了重庆长江大桥、千厮门大桥、寸滩长江大桥，等等。”

“那你知道桥梁中的拱门、悬索等主要采用什么样的曲线形式呢？”

“抛物线？”

“不对！再问你一个问题，你知道项链自然下垂形成的曲线的数学形式吗？”

“双曲线？”

“也不对。”

“那它们该叫什么？”

其实，这类像在“微笑”的曲线，你肯定见过，只是不一定知道它们叫什么。它们的大名叫“悬链线”，是连达·芬奇都称“奇”的一条曲线，也是我们今天这篇文章要介绍的主角。

170年未解之谜

什么是悬链线呢？悬链线指的是一种曲线，为两端固定的均匀、柔软的绳索、链条等在重力的作用下所具有的曲线形式，如悬索桥、电线等。

对悬链线数学形式的探讨，最早可追溯至文艺复兴时期，和“文艺复兴三杰”之一的达·芬奇有着莫大的关系。达·芬奇不仅是意大利的著名画家，还是数学家、物理学家和机械工程师。他的经典作品之一—《蒙娜丽莎》给世界带来了永恒的微笑。在创作这幅名画时，作为数学家和画家的达·芬奇通过各种精确的数学计算，来确定人物的比例结构以及半身人像与背景间关系的构图问题。这样的精细化思维使得他在创作《抱银貂的女人》时想到了一个问题：固定项链的两端，使其自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么曲线？这便是著名的悬链线问题。可惜的是，达·芬奇还没有找到答案便去世了。

悬链线问题的提出，在数学史上引起了不小的争议。很多人从直观上认为它是一条抛物线，因为两者看起来的确很相似，就连意大利物理学家伽利略也是这么认为的。他在1638年撰写的《两个新科学》（Two New Sciences）一书中提出，悬链线可能就是一条抛物线。与伽利略同时期的法国数学家、哲学家笛卡尔也有类似的猜测。他在自己的笔记中注释过，悬链线可能是某种圆柱曲线，并把抛物线和双曲线都放进了怀疑名单中。此后的几十年，几位数学家通过不同的方式证明了悬链线不等同于抛物线。1646年，荷兰物理学家惠更斯通过物理学方法证明这条曲线不是抛物线，但未能给出具体的数学函数形式。1669年，德国数学家约阿海姆·永第也给出了悬链线不是抛物线的结论。

随着自然常数e和微积分方法的出现，1690年，时间跨度长达170年的悬链线问题终于被惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利解决，从而确定了悬链线的数学形式—双曲余弦函数。

凭借推出了悬链线表达式，约翰·伯努利开始公开嘲笑哥哥雅各布·伯努利，他说，自己只牺牲了“整整一晚”的休息时间就找到答案，而雅各布与这道题持续搏斗了整整一年。史上第一数学天（家）团（族）的爱恨情仇大戏就此拉开。当然，这是另外一个故事。

我们还是回过头来继续认识悬链线。

古人巧用悬链线

在早期的研究中，悬链线主要被用于建筑学和力学领域。如今，世界各地仍有许多著名的悬链线建筑，如美国密苏里州192米高的圣路易斯拱门、华盛顿杜勒斯国际机场的主航站楼和我国四川的泸定桥等。

悬链线的数学形式分为两种：一种是普通悬链线，其数学形式为双曲余弦函数；另一种是等强度悬链线，其数学形式为对数余弦函数。顾名思义，等强度悬链线指曲线上每一个点的受力相同，因此，在理想条件下，它每一处的抗断能力都是恒定的。所以，有人很快想到，如果把等强度悬链线翻转，那么形成的结构也能很好地承受自身的重力。相比于普通悬链线，等强度悬链线具有更好的力学特性，但在实际建设过程中也更困难，所以很少有符合等强度悬链线的桥梁和拱门。

特别需要说明的是，虽然悬链线函数是由欧洲学者给出的，但悬链线形状的桥梁最早出现在我国。早在公元前3世纪，四川成都的都江堰即出现了竹制悬索桥—安澜索桥。安澜索桥最早被称为绳桥或竹藤桥，与赵州桥、卢沟桥、湘子桥和洛阳桥并称为我国著名的五大古桥。清嘉庆八年（1803年），何先德夫妇倡议修建竹索桥，以木板铺面，旁设扶栏，两岸行人可以安渡狂澜，故更名“安澜桥”。

另外，在我国江南水乡的浙江绍兴，人们发现了迄今为止我国最古老的近似于悬链线拱的石拱桥—迎仙桥。该桥在明万历《新昌县志》中有载。由此看来，我国的造桥历史悠久，技术高超，古人们在很早以前便在桥梁建设中运用了悬链线。不过，古人并不知道悬链线这种数学曲线，他们只是从实践中反复摸索、总结出此类桥梁的建造技巧。

悬链线除了存在于桥梁、拱门等建筑中，还存在于娱乐游戏中，如有趣的方轮车游戏。如果让方轮车在马路上行驶，那一定会颠簸不堪。那么，有没有办法可以让方轮车平稳前行呢？答案是肯定的。只要让波浪轨道符合一段一段的悬链线方程，方轮车便可在颠簸的路面上平稳行驶。事实上，该结论还可以拓展到任意多边形车轮。

从力学到光学

从前文可知，悬链线问题起源于达·芬奇对项链的曲线形式的思考。在过去这些年里，主要在力学应用中发挥作用。科学家们发现，在诸多形式的悬链线中，有一种“等强度悬链线”（对数余弦函数）可以保持结构在不同的位置受力一致。那么，它施加到光上的“力”是否也一致呢？

2015年，中国科学院光电技术研究所微细加工光学技术国家重点实验室的科研人员，受桥梁、拱门等建筑大量运用悬链线结构的启发，就有关问题进行了研究。

要了解有关研究，我们先来简单认识一下光波。相位、偏振和振幅是光波最基本的三个物理属性。在生活中，最常见的是对光的相位进行调控，如照相机镜头就是通过改变镜片的厚度引入不同的相位延迟，从而对光的波前（指等相位面）进行调控，最终实现聚焦等功能。

传统光学元件需要依赖曲面面形对光束进行调控，因此存在系统笨重、繁杂等诸多问题。在微纳光学领域，研究人员通过改变亚波长结构的几何形貌和排列方式，即可在平面上实现对波前的灵活调控。利用亚波长结构来调控相位的原理有多种，其中与悬链线相关的是几何相位原理。

2015年，研究人员通过对等强度悬链线进行数学分析后发现，在圆偏振光入射时，悬链线结构可以产生绝对线性的几何相位分布，也就是说，相位梯度是一个常数，因此，对光的“力”是一致的。直观的调制效果就好比一个棱镜让光发生偏折，即通过改变悬链线结构的跨度，可以调节相位梯度大小，从而实现光的任意偏折角度。

与传统棱镜不同，悬链线结构不仅是平面的，而且具有偏振响应特性。如果左旋圆偏振光偏往左侧，那么右旋圆偏振光则偏往右侧。这是因为悬链线结构对左右旋圆偏振光产生的相位梯度（即对它们的“力”）是相反的。实现上述左右旋圆偏振光分离的手性响应现象被称为光子自旋霍尔效应。由于绝大多数生物所需的营养素，如氨基酸和葡萄糖，其分子结构都具有固有的手性特征，因此，自旋霍尔效应在手性分析、生命探测等领域都具有应用前景。

利用单个或者周期性的悬链线结构能实现光束偏折，那么，通过将不同跨度的悬链线结构按照一定规律排布，可以实现更多的功能。譬如，利用“蜘蛛网”分布的悬链线结构可以生产完美的涡旋光，让光像水涡旋一样“转起来”，可用于操控和捕获微粒。涡旋光携带轨道角动量，判定轨道角动量大小的物理量被称为拓扑荷。理论上，拓扑荷可以是负无穷到正无穷，因此，涡旋光在光通信中也具有重要的应用价值。

不仅如此，基于悬链线结构还可实现一系列平面光学器件，如平面聚集镜、贝塞尔光束产生器、艾里光束生成器等。当然，对于传统光学元件，若要实现上述功能，通常需要毫米甚至厘米量级的厚度，且需要曲面面形，而悬链线结构的厚度小于波长，尤其是对于可见光波段，仅为纳米量级。因此，悬链线结构为光学器件和系统实现轻量化、平面化、集成化提供了一种新的技术方案。

那么，相比于普通离散结构，悬链线结构有何优势呢？通俗地讲，由悬链线结构构成的微纳光学器件对光的调制效果就像一张超高分辨率的图片，离散结构则会极大程度降低图片分辨率，使得图片呈现出马赛克形貌，导致人们无法从中得到细节信息。当然，减小离散结构的周期确实可以提高波前采样率，但是这也会加大工艺难度，最终使得其光学性能降低。悬链线结构则可以很好地兼顾光学器件的性能和工艺可行性，因此被认为在下一代平面光学领域具有重要作用。

从光学到电磁学

随着对悬链线光学研究的不断深入，研究人员从悬链线结构拓展到悬链线电磁调控物理模型，用于揭示亚波长结构与电磁波相互作用的物理机理，并进一步将悬链线光学的概念推广到悬链线电磁学。

研究发现，金属亚波长结构间的电场和磁场强度的分布可以用悬链线函数表述，结构的色散方程也可用悬链线函数表述。通过建立结构尺寸与其悬链线场和悬链线色散的数学关系，能够快速得到一些亚波长结构的电磁响应特性，包括振幅、相位、电磁场分布等。通常情况下，微纳器件的设计常常采用专业电磁场仿真软件，使用参数扫描和人工择优的正向设计方法。该方法存在耗时长、难以最优化等问题。在未来的研究中，悬链线电磁模型若与深度学习、人工智能等计算机技术结合，有望实现微纳器件的快速逆向设计。也就是说，研究人员只需要输入目标函数，计算机就会反馈结构形貌。

基于构建的悬链线电磁模型，研究人员发展了一系列功能材料和器件，例如跨波段电磁调控器件、虚拟赋形材料、薄膜天线等。目前，对悬链线光学的研究还在持续，更多的新现象和新应用还有待发现。我们有理由相信，今后还会发现更多与悬链线相关的新奇现象和应用。

历史上，许多重要的科学突破均源于对自然界普遍现象的深入思考，悬链线就是最好的例子。从最初对项链曲线形式的简单思考，发展到对相关数学问题的深入研究，再到建筑学领域的广泛应用。又因科研人员的奇思妙想，将悬链线引入微纳光学领域，并形成悬链线光学，为亚波长电磁学研究奠定了一定的理论基础。未来，当你看到诸如脖子上的项链、天空中的电缆、树枝上的蜘蛛网时，是否会想起悬链线呢？或者，当你再次踏足安澜索桥或者游览迎仙桥时，除了被我国古人的智慧所震惊，是否还会带给你其他的启发与思考呢？