数学方法在高中生物遗传学中的应用举例

黄清亮

1牛顿二项式定理在生物学科中的应用举例

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1665年提出。该公式为：（a+b）n=C0nanb0+C1nan-1b1+C2an-2b2+...+Cn-1a1bn-1+Cna0bn.

很明显，上述定理中的通项式为：T=Cran-rbr.r+1n

下面介绍利用上述通式解决遗传学相关计算问题。

【例1】弱智为隐性基因控制，正常杂合的双亲若有4个孩子，请回答：14个孩子均不正常的概率为多少？24个孩子均正常的概率为多少？33个正常1个弱智的概率是多少？答案与解析：假定双亲的基因型为Aa，则子女基因型AA、Aa、Aa，其比例为为1∶2∶1，正常与弱智的比例为（3∶1）于是各种情形之概率与（3/4正常+1/4弱智）4的各项展开式对应：

1全不正常：C04（3/4）0（1/4）4=（1/4）4=1/256;

2全部正常：C4（3/4）4（1/4）0=（3/4）4=81/256;

3431333个正常1个弱智：C（3/4）（1/4）=4×（3/4）1（1/4）=27/64.

【例2】（高考题改编）基因型为AaBbDdEeGgHhKk的个体自交，假定这7对等位基因自由组合，请回答：11对等位基因杂合、6对等位基因纯合的概率为多少？25对等位基因杂合、2对等位基因纯合的概率为多少？

答案与解析：含一对等位基因Aa的杂合个体，自交后代基因型为AA、Aa、aa，其中纯合体比例为1/2，杂合子比例也为1/2。

同理：

1对等位基因杂合，6对等位基因纯合的概率为：C17（1/2）1（1/2）6=7/128.

5对等位基因杂合，2对等位基因纯合的概率为：C57（1/2）5（1/2）2=21/128.

【例3】基因型为AaBb（不连锁）的个体自交得到的后代表现型比例是怎样的？

答案与解析：Aa与Aa杂交，子代基础型为AA、Aa、aa（1∶2∶1），即A（_3/4）、_a（a1/4）。

同理：Bb与Bb杂交，后代为B_（3/4）、bb（1/4）。

将，1/4代入二项式（a+b）n=（3/4+1/4）2

=（3/4）2+2×3/4×1/4+（1/4）2=9/16+6/16+1/16。

这说明双显个体A_B_所占比例为9/16，单显个体A_bb和aaB_各自占3/16，双隐个体占1/16。

2放大缩小原理在遗传学比例计算中的应用

在解答遗传学问题时，常要对配子比例、基因型比例、表现型比例进行分配。例如，Aa个体自交后代的基因型、表现型比例可以写成如图1所示。

第一种写法：

第二种写法：

上述第二种写法，其实就是在第一种算法基础上放大4倍的效果。这两种写法孰优孰劣，其实是因题而异，如果能在计算过程中恰当地选择其中一种写法，可以在一定程度上提升解题的速度和结果的准确性。

【例4】在一个生物种群中AA∶Aa=3∶4，若所有个体进行自由交配，其后代基因型比和表现型比分别为多少？

答案与解析：1方法一：分数形式（图2）。

由于雌雄配子比例一致，因此，可直接利用棋盘法，见表1。

2方法二：整数形式（图3）。

利用棋盘法计算结果见表2。

基因型AA∶Aa∶aa的比例为25∶10∶4;表现型显性∶隐性的比例为45∶4。两种方法都可以得到以上结果，但在直观性和简洁性上，整数形式要优于分数形式，而计算某种基因型概率时，分数形式则会显得更直接。

【变式】在一个生物种群中AA与Aa的比例为3∶4，若所有个体进行自由交配，a雌配子有1/3致死，其后代基因型比和表现型比分别为多少？

答案与解析：该题采用整數形式解题比较方便。原雌配子A与a的比例为5∶2，a雌配子有1/3致死，则雌配子A与a比例变为4∶（4/3），即15∶4。利用棋盘法计算结果见表3。

由表3可知，基因型：AA∶Aa∶aa的比例为75∶50∶8;

表现型显性∶隐性的比例为125∶8

如果上述情况，还采用分数形式表达，过程将变得非常繁琐。因此，遇到此类情况，棋盘法最好采用整数形式，并且在计算某种基因型的概率时也很简洁，如上述棋盘中Aa个体所占的比例的计算，总的后代个体数=（5+2）×（15+4）=133，而Aa为50，因此，后代中Aa个体的概率为50/133。

【例5】AaBb（两对等位基因不连锁）个体自交得到的F1中的所有双显个体，再分别自交，则它们的F2中各表现型比例为多少？

答案与解析：本题若采用常规算法，可以得出正确答案，但解题速度上较慢，如果采用如下方法，可快速得出答案。AaBb自交后代如图4所示。

双显个体的基因型有AABB、AaBB、AABb、AaBb，其比例为1∶2∶2∶4。

1不考虑前面系数直接写出后代表现型比（图5）。

2将后边后代个体总数统一成比例1∶2∶4。

未进行放大前，上述几种基因型自交后代个体总数比例为1∶4∶4∶16，很明显要将该比例变换成1∶2∶2∶4，只需要将前三种基因型的个体的后代总数进行放大，即分别放大4倍，放大2倍，放大2倍，然后，得到图6所示结果。

3将各种表现型个体比例对应累加。最终得到表现型比为：双显∶一显一隐∶一隐一显∶双隐=25∶5∶5∶1

3加法原理和乘法原理在遗传概率计算中的运用

加法原理：当一个事件出现时，另一个事件就被排除，这样的两个事件即为互斥事件。这种互斥事件发生的概率为两个事件发生的概率之和。

乘法原理：当两个互不影响的独立事件，同时发生或相继发生时，其概率为两个事件各自独自发生的概率的乘积。

在计算两种遗传病的患病概率问题时，各患病情况的概率即是运用加法原理和乘法原理进行计算。

单独考虑一种病时，若甲病患病概率为m甲，则不患甲病的概率为1-m甲;若乙病患病概率为n乙，则不患乙病的概率为1-n乙;两种病都要考虑时，结果见表4。

其实，在进行各类遗传概率计算时，均是交替运用加法原理和乘法原理。例如，计算某种表现型概率时，除直接计算外，也可将与之相关的各种基因型概率进行相加。计算两对等位基因以上某种基因型概率，可以先分别单独计算一对等位基因的某种基因型概率，再利用乘法原理得出结果。再如，利用哈代-温伯格定律计算基因型频率、基因频率，也是上述两种原理的应用。

4数学极限思想的应用

完全显性的一对相对性状的杂合子（Aa）连续自交，子Fn代的各种情况及比例见表5。

利用数学中极限的观点，如果n→+∞，则Fn杂合子所占比例无限接近于0，纯合子则无限接近于1，而显性纯合子和隐性纯合子则无限接近于1/2。这种利用数学中的极限思想来帮助学生理解生物学相关知识的方法，将有助于启发学生运用数学思维学习自然学科的兴趣和意识。

5集合思想在遗传学概念学习中的运用

图7为子集模型，清楚地反映了几个生物学概念包含与被包含之间的关系，有助于学生理解知识的内涵与外延，以此达到建构知识体系的目的。

图8为交集模型，用数学中交集图示核苷酸的组成，很直观地表述了DNA与RNA在化学组成上的区别，有助于学生对相关概念的辨析和理解。

此外，数学中的反证法在遗传学中也常有应用，至此，就不一一赘述。

教学过程中，生物学教师若经常能以数学思维引领学生理解内化纷繁复杂的生物学核心概念，这也将改变以往学生普遍认为生物是理科中文科的认知。因此，教师在挖掘生物与数学之间的交叉问题上，可以多做思考和探索。