由数学问题2268引发的再思考

李永利

(河南质量工程职业学院 467001)

1 引言

《数学通报》2015年10月号问题2268[1]：试证明

原解答利用正弦、余弦的积化和差等公式及一定的运算技巧给出了该恒等式的证明．文[2]、文[3]相继对该问题进行了探讨，从不同角度给出了该等式的精彩解答，文[2]提出了两个猜想，文[3]还提出了能否将该恒等式一般化的问题.近期，文[4]给出该式一个更为直接的证明，将其进行一般化，利用sin(4n-1)α和sin(4n+1)α所关联的方程证明了文[2]提出的两个猜想.受其启发，本文将对该问题进一步进行拓广，给出三角函数正弦的奇倍角公式所关联的一元奇次方程的解，作为推论利用韦达定理给出文[2]两个猜想的简单证明，并在文末提出一个有关组合系数A2k的猜想.

2 主要结果

证明令x=sinα，y=cosα，则由平方关系可知y2=1-x2.于是对于正整数n，由棣模弗定理和二项式定理及i2=-1可知

cos(2n+1)α+isin(2n+1)α

比较上式两边的虚部可得

sin(2n+1)α

(2)

设(2)式左端为f(x)，则f(x)是一个关于x的2n+1次多项式，其偶次幂的系数全部为0.

令sin(2n+1)α=0，则(2n+1)α=kπ，

至此，定理1得证.

(k=0,1,2,3,…,n)，则方程A0tn-A2tn-1+A4tn-2-…+(-1)n-1A2(n-1)t

证明在方程(1)中，令t=x2，则方程(1)变为方程(3)，于是由定理1可知定理2的结论成立.

推论1设n为正整数，则

(4)

(5)

(6)

证明在定理2中，利用组合数的性质，经计算可知

于是，由定理2和韦达定理及以上三式可得

故(4)，(5)两式成立， 从而(6)式也成立.

注1(4)，(5)两式和(6)式分别是文[4]中的定理1和定理2，(6)式和(5)式分别是文[2]中的提出的猜想1和猜想2.

推论2设n为正整数，则

(7)

(8)

(9)

注2(7)，(8)，(9)三式见文[4]定理的证明过程，它们分别是(4)，(5)，(6)三式当n取2n-1时的特例.

推论3设n为正整数，则

(10)

(11)

(12)

注3(10)，(11)，(12)三式见文[4]定理的证明过程，它们分别是(4)，(5)，(6)三式当n取2n时的特款.

推论4设n为正整数，则

(13)

(14)

(15)

注4因sin2α=1-cos2α，故(13)式是(4)式的变形，(14)、(15)两式分别是(13)式当n取2n-1和n取2n时的特殊情形.

推论5设n为正整数，则

(16)

证明在方程(2)中，令sin(2n+1)α=1，此时方程(2)变为方程(17)，则

取k=0,±1,±2,…,±n，并记

α-n<α-(n-1)<…<α-1<α0<α1<…<αn-1<αn，

x-n

定理3得证.

在方程(2)中，令sin(2n+1)α=-1，此时方程(2)变为方程(18)，仿照定理3的证明可给出定理4的证明，证明过程此处从略.

进一步，我们可将定理3和定理4进行拓广，得到如下更一般的结论：

(其中，k=0,±1,±2,…,±n)．

由定理5和韦达定理可得如下恒等式：

推论6设n为正整数，α为实数，则

(20)

(21)

注6关于A2k的表达式，除A0=4n外，笔者提出如下猜想，供各位同仁研讨.

猜想设n为正整数，