空间解析几何中对柱面方程的多角度分析

曹丽梅 叶丰

【摘要】解析几何是高等院校数学专业开设的一门重要的专业基础课程，是学习其他后续专业课程的重要基础.学生在学习过程中对于某个问题，容易局限于某个章节或某个知识点去思考，很难做到将相关的知识点按照内在的联系放在一起，使它们系统化、整体化.本文通过从多种角度对一道解析几何例题进行阐述、发掘和扩展，建立了知识点之间的内在联系，把知识点融会贯通，融为一体，这样做在培养了学生解题思维能力的同时构建了整体的知识结构.

【关键词】知识结构;柱面方程;解析几何

【基金项目】北京科技大学研究型示范课程建设项目（KC2017YJX20）

1 引  言

解析几何是高等学校数学专业本科生开设的核心基础课程之一，是学习其他后续专业课程的重要基础.由于解析几何是为大学数学专业本科生开设的课程，因此我们局限于具体、系统地讲述解析几何中经典的直线、曲线和曲面理论.通过本课程的学习，学生能受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，提高空间想象能力，以及运用向量法与坐标法求解几何问题的能力，并且能用解析方法研究几何问题，为进一步学习其他课程打下基础.此外，学生通过学习本课程能够培养其直观能力，运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，抽象思维能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，以及熟练运算能力和综合运用所学知识去分析和解决实际问题的能力.

高校大班制的教学活动使得数学老师始终处于主导的地位，这种教学活动容易导致一些弊端，比如学生一味地遵循老师上课的思路而缺乏自己的独立思考过程，这样会使得学生缺乏学习的主动性与创造性.为了提高教学效果，教师要特别注意教学的启发性，并且需要对如何引导学生积极地参与到教学活动中给予高度的重视.教师采用启发式的教学方法时，上课要调动学生学习兴趣和主动性，以此启发学生进行独立思考，进而锻炼学生逻辑思维能力，培养学生独立解决问题的能力等.也就是在有限的时间内，凡是学生看得懂的要让学生动眼去看，凡是学生讲得出来的要让学生动口去讲，凡是学生想得出来的要让学生动脑去想，凡是学生做得出来的要让学生动手去做.这种启发式的教学方法能够使得学生的课堂地位主体化，让学生真正更好地融入课堂，使学生的独立思考能力、独立解题能力得到提高等.

2 解析几何重要知识点回顾

空间解析几何是一门研究点、线、面及其内在联系的学科，研究解析几何的基本方法包括两个方面，一方面是从图形到方程，通过选择合适的坐标系，建立图形的方程;另一方面是从方程到图形，通过对方程的研究得到图形的性质，了解图形的形状.解析几何的重要性在于通过建立坐标系，用方程表示曲线或曲面，从而通过研究代数方程来研究曲线或曲面.

在空间解析几何中，我们主要研究的图形为直线、平面、特殊曲面以及二次曲面.平面方程为三元一次方程，可由空间中一点与一个法向量唯一确定，也可由三个不共线的点唯一确定，这也就意味着平面方程有一般式方程、点法式方程、截距式方程、三点式方程等多种形式.空间直线可由空间中一点和一个方向向量唯一确定，也可由两个相交平面相交所得，所以直线方程有标准方程和一般式方程等形式.以点、线、面为基础，通过研究点、线、面的相关运动轨迹引出了特殊曲面与二次曲面方程.特殊曲面方程包括球面方程、直圆柱面方程和直圆锥面方程，其均由点集生成，球面由到空间中一定点距离为定长的点的轨迹所确定，是一个极其对称的图形，球面方程中不含交叉项，直圆柱面由空间中到一条定直线的距离为定长的点的轨迹所确定，直圆锥面由空間中到一条定直线上的一个定点的连线与该定直线的夹角为定角的点的轨迹所确定.柱面与锥面也可由曲线族生成.在二次曲面方程中主要研究椭球面方程、单叶双曲面方程、双叶双曲面方程、椭圆抛物面方程和双曲抛物面方程，该类方程主要通过二次曲面方程的二次项系数所确定，其中椭球面标准方程为x2a2+y2b2+z2c2=1，单叶双曲面标准方程为x2a2+y2b2-z2c2=1，双叶双曲面标准方程为x2a2+y2b2-z2c2=-1，椭圆抛物面标准方程为x2a2+y2b2=2z，双曲抛物面标准方程为x2a2-y2b2=2z.

我们除了从图形的生成角度来研究图形方程以外，还可以从直角坐标变换以及二次曲线和二次曲面的一般理论这两个角度来研究.通过对直角坐标的变换，可以将复杂方程化归为简单的曲面标准方程，从而对所研究方程的形状进行判断.也可以通过运用二次曲线和二次曲面的一般理论，计算方程的不变量与半不变量，根据不变量与半不变量对所研究方程的形状做出判断.

3 应用实例

接下来，我们将从一道例题出发，充分发掘和扩展该例题，用启发式教学方法从不同知识点出发对例题进行分析阐述.

例 证明方程：5x2+5y2+2z2-8xy-2xz-2yz+20x+20y-40z-16=0表示的曲面S是一个柱面.

分析1 柱面是方向向量为v=（l，m，n）的直母线沿着空间曲线C（即柱面的准线）平行移动所形成的曲面.显然，柱面上的准线不是唯一的.若上述方程表示一个柱面，我们首先从方程入手找到此柱面的一条准线C0，再以方向向量v=（l，m，n）的方向为直母线的方向，以C0为准线，建立柱面方程.假设已知方程为柱面方程，用待定系数法求解方向向量v=（l，m，n），若解存在，则证明了此方程为柱面方程.

证明1 用xOy面去截曲面S，此时的截痕C0为平面曲线，其方程为

C0：5x2+5y2+2z2-8xy-2xz-2yz+20x+20y-40z-16=0，z=0，

可化简为

C0：5x2+5y2-8xy+20x+20y-16=0，z=0.

下面建立以C0为准线，以v=（l，m，n）的方向为直母线方向的柱面S0的方程.设（x，y，z）为柱面S0上任意一点坐标，则过（x，y，z）的直母线与准线C0的交点设为（x0，y0，z0），且直母线方程为

x-x0l=y-y0m=z-z0n， （1）

由于（x0，y0，z0）在准线C0上，因此有

5x20+5y20-8x0y0+20x0+20y0-16=0，z0=0，（2）

由式（1）得x0=x-lnz，y0=y-mnz，代入（2）消掉（x0，y0，z0）得

5x-lnz2+5y-mnz2-8x-lnzy-mnz+20x-lnz+20y-mnz-16=0，

进一步整理可得

5x2+5y2+5l2n2+5m2n2-8lmn2z2-8xy-25ln-4mnxz

-25mn-4lnyz+20x+20y-20ln+mnz-16=0，（3）

式（3）为以C0为准线，以v=（l，m，n）的方向为直母线方向的柱面S0的方程.

柱面S0的方程与已给曲面S的方程进行比较，两个都为三元二次方程，且x2，y2的系数相等.设两方程表示同一曲面，用待定系数法可得5mn-4ln=1，ln+mn=2，因此有l∶m∶n=1∶1∶1，即直母线方向是唯一的，则S0与S表示同一个柱面.

分析2 空间一柱面，经过旋转和平移后一定能使其直母线与坐标轴z轴平行.若此柱面方程为F（x，y，z）=0，则可通过空间直角坐标变换转换为不含交叉项xy和变量z的柱面方程G（x，y）=0，受此启发，本题的解题关键为如何寻找合适的空间直角坐标变换.

证明2 所给方程为三元二次方程，其二次项系数矩阵为

A0=5-4-1-45-1-1-12，

矩阵A0的特征值满足|λI-A0|=0，解得λ1=0，λ2=3，λ3=9.进而可计算得λ1=0，λ2=3，λ3=9对应的单位特征向量分别为η1=131313，η2=1616-26，η3=12-120.

作空间直角坐标变换

xyz=1316121316-1213-260x′y′z′，

代入曲面方程S可得，

9z′2+3y′2+206y′-16=0，

进一步通过配方有

y′+10632+3z′2=72，

再进行平移变换

x″=x′，y″=y′+1063，z″=z′，

即可得y″2+3z″2=72，即表示一个柱面.

分析3 柱面由直母线平移形成，因此是直纹面.本题将从曲面方程本身出发，引入参数后构造出直线族方程，并证明该直线族平行于同一定方向的直线.

证明3 将方程5x2+5y2+2z2-8xy-2xz-2yz+20x+20y-40z-16=0变形得

16x+16y-26z+10632=324-12x-12y2，

引入参数λ，可得曲面上的直线族

Lλ：16x+16y-26z+1063=3λ26-12x-12y.16x+16y-26z+1063=26+12x-12yλ，

可化简为

Lλ：16+3λ2x+16-3λ2y-26z+1063-66λ=0，λ6-12x+λ6+12y-2λ6z+106λ3-26=0，

可得直线的方向向量为

v=（1，1，1），

所以Lλ是平行直线族，这说明曲面是由平行直线族Lλ生成的，所以曲面是柱面，且直母线的方向向量v=（l，m，n）=（1，1，1）.

分析4 曲面方程S为三元二次方程，因此可从二次曲面的一般理论出发，通过二次曲面的不变量与半不变量，分析判断曲面类型.根据二次曲面的一般理论，若一个曲面方程满足I3=I4=0，I2≠0，则该曲面为柱面.故本题的解题关键为论证题目中的曲面方程满足I3=I4=0，I2≠0.

证明4 根据二次曲面的一般理论有，对于二次曲面的一般方程

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0，

有不变量，

I2=a11a12a12a22+a11a13a13a33+a22a23a23a33，

I3=a11a12a13a12a22a23a13a23a33，

I4=a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44，

若满足I3=I4=0，I2≠0，则该曲面为柱面.

而本题中

I2=5-4-45+5-1-12+5-1-12=27≠0，

I3=5-4-1-45-1-1-12=0，

I4=5-4-110-45-110-1-12-201010-20-16=0，

故可判断该曲面为柱面.

3 小 结

文中对例题从四种不同知识点出发，进行了分析.这四种解法看似差之千里，风马牛不相及，实则万变不离其宗——本质都是利用柱面方程的定义及其性质解题.证明1和证明3都是通过柱面由一条定准线与一个定方向确定这个定义入手进行解题的，证明2是通过任意一个柱面方程均可通过空间直角坐标变换化为不含交叉项的少一变量的三元二次方程为切入点进行解题的，证明4则需要了解二次曲面的一般理论，运用二次曲面的一般理论进行论证说明.本文启发式的解题思路，可以加深学生对柱面方程的定义及二次曲面一般理论的理解，培养学生逻辑推理能力、独立学习解题能力等.启发式的教学方法不仅有助于发挥数学教师在教学工作中的主导地位，还有利于学生解答几何问题时发挥主体地位，并有助于对学生各种思维能力的培养.因此，教师应当在教学过程中注重数学思想的渗透，通过启发式的教学模式促进数学教学课堂质量以及学生解题能力的有效提高.

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