费马大定理之绝妙证明

何海浪

【摘要】通过等比数列求和对（xn-yn），（xn +yn）一类式子进行因式分解.分析方程xn+yn=zn中数的特点，利用二项式的n次方展开式作差，结合正整数的n次方特点，再利用分析法、反证法来法证明费马大定理.

【关键词】二项式的n次方展开式;作差;正整数;正整数解

17世纪，法国费马提出了费马大定理，这以后，许多人想证明它并取得了一定的成就，1995年，英国怀尔斯证明了它并得到了公认.

费马大定理的内容：关于x，y，z的方程xn+yn=zn，当n>2时，没有正整数解.这是一个含多个未知数的n次不定方程的解的问题，该方程有四个未知数：x，y，z，n，最高项次数为n.如果正整数x，y，z含大于1的公因数，那么方程两边可以约去公因数;如果正整数x，y，z为方程xn+yn=zn的解且x，y，z中的任意两个数含大于1的公因数，那么第三个数一定含这个公因数，则方程两边可以约去这个公因数，所以，我们只要证明约去公因数后的方程没有正整数解即可.我们用反证法来证明：假设费马大定理是不成立的，即关于x，y，z的方程xn+yn=zn，当n>2时，有正整数解且正整数x，y，z相互间不含大于1的公因数.

我们看方程xn+yn=zn的解：

一、n=1

如果x为正整数、y为正整数，那么z为正整数，所以方程x+y=z有正整数解.

二、n=2

由x2+y2=z2经移项后因式分解，得：

y2=（z-x）·（z+x）

=（z-x） 2·[（z+x）/（z-x）]

两边开平方，得：

y=（z-x）·（z+x）/（z-x）

如果方程x2+y2=z2有正整数解，那么x为正整数、y为正整数、z为正整数、（z-x）为正整数、（z+x）为正整数、（z+x）/（z-x）为正有理数.

令p2=（z+x）/（z-x） （p为正有理数）.

解得：

x=[（p2-1）/（p2+1）]·z

y=[2p/（p2+1）]·z

所以，凡是满足x=[（p2-1）/（p2+1）]·z，y=[2p/（p2+1）]·z的正整数x，y，z都为方程x2+y2=z2的解，或者凡是满足x=[2p/（p2+1）]·z，y=[（p2-1）/（p2+1）]·z的正整数x，y，z都为方程x2+y2=z2的解，所以方程x2+y2=z2有正整数解.

三、n>2

如果某数列为：1，y/x，（y/x）2，（y/x）3，…，（y/x）n-1，则该数列为公比是（y/x）的等比数列;如果某数列为：1，-y/x，（-y/x）2，（-y/x）3，…，（-y/x）n-1，则该数列为公比是（-y/x）的等比数列.

根据等比数列的求和公式，我们得到：

1+y/x+（y/x）2+（y/x）3+…+（y/x）n-1

=[1-（y/x）n ]/（1-y/x）

1+（-y/x）+（-y/x）2+（-y/x）3+…+（-y/x）n-1

=[1-（-y/x）n ]/[1-（-y/x）]

变形为：

[1-（y/x）n ]

=（1-y/x）×[1+y/x+（y/x）2+（y/x）3+…+（y/x）n-1]

[1-（-y/x）n]

=[1-（-y/x）][1+（-y/x）+（-y/x）2+（-y/x）3+…+（-y/x）n-1]

当n为正整数时，我们将[1-（y/x）n ]=[1-y/x]×[1+（y/x）+（y/x）2+

（y/x）3+…+（y/x）n-1]的两边都乘xn并化简得到（x n-y n）分解的因式为：

x n-y n

=（x-y）×（xn-1+xn-2y+…+xy n-2+y n-1）

当n为偶数时，我们将[1-（-y/x）n]=[1-（-y/x）][1+（-y/x）+（-y/x）2+（-y/x）3+…+（-y/x）n-1]的两边都乘xn并化简得到（x n-y n）分解的因式为：

x n-y n

=（x+y）×（x n-1-x n-2y+…+xyn-2-y n-1）

當n为奇数时，我们将[1-（-y/x）n]=[1-（-y/x）+（-y/x）2+（-y/x）3+…+（-y/x）n-1]的两边都乘xn并化简得到（x n+y n）分解的因式为：

x n+y n

=（x+y）×（x n-1-xn-2y+…-xyn-2+y n-1）

所以（xn-y n）可以分解为（x-y）乘若干个正整数的和或分解为（x+y）乘1个正整数，因为1不可以分解为1个正整数乘若干个正整数的和，所以，如果x，y为正整数且x>y，那么xn-y n>1.因此，方程x n+yn=zn如果有正整数解，那么x>1，y>1，z>1.

当x=y时，方程x n+yn=zn的解为：

x=（n（1/2））×z

y=（n（1/2））×z

如果z为正整数，那么x，y不可能为正整数，所以x，y都相等时，方程x n+yn=zn无正整数解，因此，方程x n+yn=zn的正整数解x，y，z中必有一个最小、一个最大，z必为最大.我们假设：y=k2x+s，z=k3x+t，|s|为正整数，且|s|与x无1以外的公因数且|s|≤t，t为正整数，且t与x无1以外的公因数，且t≥|s|，k2为0或正整数，且k2≤k3，k3为正整数且k3≥k2，我们将方程xn+yn=zn变形为zn-yn=xn，如果xn可以分解为若干个数的乘积，那么每个数含有的质因数一定为x的质因数，则：