合理变换图形，巧妙解答解三角形中的最值问题

何巧香

解三角形中最值问题的综合性较强，侧重于考查正余弦定理、勾股定理、三角形的面积公式以及求最值的方法.很多同学在解答此类问题时经常会出现错误，无法得到正确的答案.对此，笔者总结了两种解答解三角形中最值问题的方法，以帮助大家走出解题的困境.

一、构造图形

构造图形法是指构造一些满足题意的图形，如三角形、平行四边形、圆等，借助三角形、平行四边形、圆等的性质来解题.构造图形法是解答平面几何中最值问题的常用方法.在求解解三角形中最值问题时，要首先根据题意和图形明确各边、角的位置、大小以及关系，然后构造出合适的三角形、平行四边形、圆等，结合图形明确取得最值的点或位置，建立相应的关系式，求得最值.

在構造图形时，我们要注意把握已知条件和所求目标之间的内在联系，充分挖掘隐含信息，合理构造出满足题意的几何图形.对于本题，直接求解较为困难，于是构造出全等三角形，将BD转化为ΔABE的边 AE ，再根据三角不等式求得最值.

二、旋转图形

我们知道，几何图形经过翻转、平移、旋转后，图形的大小、面积、形状都不发生改变.在解答解三角形中最值问题遇到困难时，可将几何图形绕着某个固定点旋转一定的角度，然后借助旋转图形的性质来解题.在解题中，要注意把握旋转前后图形中的不变量和变量.

仍以上述例题为例.

我们将ΔBAC绕着点C沿着顺时针方向旋转90°到ΔMDC的位置，再作圆M，便可借助旋转图形的性质，运用三角不等式来建立不等式，求得最值.

由此可见，对于一些较为复杂的解三角形中最值问题，我们不仅要灵活运用正余弦定理、勾股定理、三角形的面积公式等知识，还需根据题意和图形合理构造图形、旋转图形，将所求三角形的边、角转化为其他图形中的边、角，借助新构造或旋转后的图形的性质来解题.

（作者单位：江苏省通州高级中学）