例谈解答零点问题的两个技巧

张舒

零点问题在函数中比较常见，侧重于考查函数的图象和性质、导数的性质、方程的判别式、根与系数的关系、不等式的性质以及零点存在性定理等.在解答零点问题时，同学们要先明确函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点之间的等价关系，将三者进行等价转换，然后灵活运用导数、函数、不等式、方程等相关知识来解题.下面重点介绍解答零点问题的两个技巧，以帮助同学们拓宽解题的思路.

一、多次求导

对函数进行多次求导的目的是为了明确零点的所在区间，这就需用到零点存在性定理，或根据函数的单调性确定函数的大致图象.因此在解题时，同学们一定要明确解题的思路和求解的目标.

二、构造函数

当遇到含有参数的函数零点问题时，可用运用构造函数的技巧来解题.首先可将函数式变形，使参数与变量分离，把不含参数的式子构造成新的函数，或者直接根据函数式的特点构造新函数.若遇到含有对数、指数的函数式，可对函数求导，通过分析导函数来确定函数的单调性和最值.若遇到较为简单的函数式，可直接讨论函数的图象和性质，确定函数的单调性和最值，继而结合参数的取值，对函数进行分类讨论便可解題.

我们先将函数进行变形，然后构造出新函数h（x），通过研究h（x）的导函数来确定函数h（x）的单调性和最值，再根据函数在单调区间内的图象确定函数零点的个数，进而求得a的值.

零点问题具有较强的综合性，同学们在解答此类问题时，要注意把握函数、不等式、方程、导函数与零点之间的关系，对问题进行合理的转化.同时要学会运用数形结合思想、分类讨论思想、转化思想来辅助解题.

（作者单位：江苏省张家港市塘桥高级中学）