例谈证明不等式的几种常用方法

蒋秋霞

一直以来，证明题都是高考中的重要题型，其中不等式证明问题最为常见.此类问题常与函数、三角函数、解三角形等相结合，对同学们的逻辑推理和综合分析能力要求较高.下面我们结合实例来谈一谈证明不等式问题的几种常用方法.

一、综合法

运用综合法证明不等式，需要根据已知的或者已经得到证明的不等式，结合相关的性质、定理、公式等合理进行推导、运算，得出需要证明的不等式，其基本思路是“由因导果”.

處理绝对值不等式的常用技巧是，运用重要绝对值不等式||a - ||b≤||a+b和||b -||a≤||a±b等对不等式进行放缩.在放缩不等式的过程中，要合理把握放缩的度，不能“放”得过大，也不能“缩”得太小.

三、利用函数性质

在证明不等式时，我们常需借助函数思想来解题.首先要根据不等式的特点构造出合适的函数，然后讨论函数的单调性、图象、最值等，建立使不等式恒成立的关系式，即可证明结论.

我们首先将y+x2=0变形，构造二次函数，求二次函数的最值，得出目标不等式左边式子的最小值，再通过指数运算便可证明结论.

一般来讲，不等式、方程、函数之间的联系紧密，因此在运用综合法、放缩法、函数的性质证明不等式时，可将不等式、方程、函数关联起来，根据解题需求将不等式问题转化为函数、方程问题，利用函数的图象和性质、方程的根、判别式等来解题.

（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）