基于核心素养的数学建模的案例设计

赵丽娜 (长春市十一高中，吉林 长春 130024)

2003年在《普通高中数学课程标准》(以下简称“课标”)中，把数学建模列为数学学习活动，强调把数学建模的思想渗透在模块内容之中，并提出了具体活动设计与要求.2017年修订的《普通高中数学课程标准》中明确把提出数学建模作为高中数学核心素养之一.数学模型是用数学的语言讲述现实世界中与数量、图形有关的故事，其依赖于所描述的学科背景.数学建模是一个从现实世界到符号世界的转化，再回到现实世界的循环方式.可见，数学建模具有动态特征，是对现实问题进行数学抽象，感悟数学与现实之间的关联，积累数学实践的经验，培养用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.

数学建模活动是运用模型思想解决实际问题的一类综合实践活动，也是中学数学课程的一条主线，它逐渐成为数学教育的热点问题之一.本文基于核心素养讨论急刹车距离模型案例，以期为高中数学建模的研究提供参考.

一、数学模型的内涵

数学模型需要从数学和现实这两个出发点开始，就像建筑桥梁一样，在建筑之前必须清楚要把桥梁建在哪里，要在此岸和彼岸同时设计桥墩的具体位置.也就是说，数学模型依赖于所描述的学科背景.数学建模是一个从现实世界到符号世界的转化，再回到现实世界的循环方式将建模过程形象化.数学模型更侧重于用数学创造出来的概念、原理和方法描述现实世界中的那些规律性的东西，其适用范围通常表现为模型的假设前提、模型的初始值及对模型中参数的限制.在这个意义上，所有数学的形式，诸如函数、方程等，本身都不是数学模型，而是可以用来构建模型的数学语言.

二、数学建模的设计思路

从课程标准来看，数学建模设置属于教育性建模，关注从实用主义角度去理解现实世界的案例，促进数学概念与算法的发展；以从学生能力角度对建模过程分阶段进行能力培养为目标，以项目为导向，基于急刹车距离问题，成于活动经验，达于核心素养，落实“三会”和“四能”目标，将积累数学活动经验、培养学生的应用意识和创新意识贯串整个设计之中.

三、案例的设计

【问题情境】

我们知道物体的运动速度是时间的一次函数，物体的位移是时间的二次函数.因此，人们通常用二次函数表达物体的运动规律，用二次函数对应的二次曲线描述物体的运动轨迹.一辆汽车急刹车的距离，不仅对驾驶员非常重要，对交通安全管理也非常重要.显然，急刹车的距离与驾驶员的反应时间有关，也与刹车前汽车的行驶速度有关；并且，在一般意义上，急刹车的距离因人而异，因车而异.因此，只能给出平均状态下的数学模型.

【变量选择】

排除道路状况、天气状况等随机因素的影响，我们把这个平均状态下的数学模型用自然语言表达为：停车距离=反应距离+刹车距离.如果用d表示停车距离，用d1表示反应距离，用d2表示刹车距离，那么可以把模型用数学语言表达为：

d=d1+d2

①

这样，我们需要得到d1和d2的具体表达式.

(设计意图：学会抽象，选择变量，去掉干扰变量，确定主变量)

【模型假设】

首先，考虑反应距离.假设反应距离只是反应时间和汽车速度的函数.其中，反应时间是指驾驶员意识到应当急刹车到实施急刹车所需要的时间；汽车速度是指驾驶员在实施急刹车之前汽车的速度.在一般情况下，反应距离d1与反应时间t和汽车速度v都成正比，因此可以把这个关系表示为d1=αtv，其中α>0为待定系数.但是在现实应用中，需要把这个关系式化简为：

d1=αv

②

这主要有两方面原因:一方面，反应时间t的具体数值很难确定；另一方面，无法建立公式计算待定系数α的值，就像下面将要进行的那样，只能通过若干个形如(d1,v)的能够观察到的成对数据，用统计学的方法估计αt的值，因此舍去t反而会更加准确.

其次，考虑刹车距离.排除道路状况、天气状况等随机因素的影响，还需要假设汽车的刹车系统和轮胎完好，这样，刹车距离就是刹车受力与汽车速度的函数.对于刹车受力，假定一次刹车就把轮胎抱死，则刹车受力大小基本就是汽车轮胎与路面的摩擦力.

(设计意图：学会选择变量，分析关系，提出模型假设)

汽车刹车速度与停车距离数据表

根据表格中的数据能够建立停车距离与汽车速度的函数模型.

【建立模型】

d2=βv2

③

其中β为待定系数，蕴含了刹车加速度、道路摩擦系数等许多很难确定的数值.这样,综合②和③就可以给出模型①的数学表达式：

d=αv+βv2

④

其中α和β均为待定系数.

在一般情况下，现实数学模型的待定系数不可能通过理论计算得到，这是因为在构建模型的过程中有许多因素不可能考虑清楚，于是把这些因素的影响都融入待定系数之中.这样，即便我们建立的是确定性的数学模型，但仍然需要用统计学的方法估计模型中的待定系数.

这样，得到下面的急刹车停车距离模型：

d=0.006475v2+0.2065v，

当v=120时，停车距离d的预测值为0.006475×1202+0.2065×120=118.02.

(设计意图：根据模型假设，建立等量关系，根据数据确定参数)

【模型选择】

【模型求解】

解得a=1.2425，b=-38.85，

故d=1.2425v-38.85，

当v=120时，停车距离d的预测值为1.2425×120-38.85=110.25；

解得a=0.9996875，b=-1456.875，

解得a≈0.0081607，b≈379.2857，

由实验数据可知：当v=120时，停车距离为118 m.

(设计意图：选择不同的模型，根据结果和模型拟合，选择最佳模型)

【归纳提升】

精简背景.最初模型的预测值更接近118 m，故模型d=0.006475v2+0.2065v的拟合效果最好.所以这个模型被普遍应用于路面交通管理及汽车刹车设计.

【模型应用】

在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况后同时刹车，但还是发生了相撞.测得甲车的刹车距离为12 m，乙车的刹车距离为10.5 m，如果已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)的关系分别为：

s甲=0.1x+0.001x2,

s乙=0.05x+0.05x2.

请计算出相撞事故的主要责任车辆.

d=0.208v+0.006v2.

(设计意图：根据最佳模型去判断、预测和分析，体会建模的意义)

四、案例设计的反思与讨论

在上面的讨论中可以看到，我们精简了很多因素与变量.这样的精简必将影响表达式对客观现实的描述，所以，我们只用数学的语言刻画物体运动的规律，而不是探究物体运动的原因.

在数学模型的发展历程中，从建模过程动态的角度来看主要是循环特征，构建数学模型是一个动态的过程，是一个逐渐接近客观规律的过程.可见，数学建模从建模意识到思想的感悟，从体验建模过程到自主建构，从简单实践过程的体验到经验的积累，单纯依赖教师的课堂讲授是不行的，更主要的是依赖学生的自主参与探究和同伴间的合作.教师应注意引导学生经历完整的建模过程，从感知经验上升到方法经验与思维经验.

1.建模过程动态的思维特征：数学模型是有逻辑的抽象化

构建急刹车距离的数学模型是对现实物理背景本身进行抽象.传统的科学研究可以从观察结果中归纳出结论，通过现象归纳模型，通过演绎描述模型，通过现象验证模型，有逻辑地得到研究对象的性质，以及描述研究对象之间的关系.通过模型表达，人们用数学所创造的语言、符号和方法来描述现实世界中的故事，促进了数学内部的发展.数学建模过程的思维特征是不断的有逻辑的抽象与推理，是归纳与演绎的有机融合.

2.建模过程动态的经验特征：数学模型是实践经验与思维经验的复合

我们知道，数学模型的建立最初是对问题复杂性的洞悉和对变量关系的选择.数学建模在本质上可以是活动经验的积累，可以是思维活动经验的积累，也可以是实践活动经验的积累.学生在不同阶段积累不同的数学活动经验，从经历过的事物推断未曾经历过的选择，既能够从条件推断结果，又能从结果探究成因，这是一种创造性思维活动.数学建模意识、经验和数学思想的感悟是一种隐性知识，因此，通过构建急刹车距离模型既要突出各阶段建模不同能力的培养和活动经验的积累，又要注重学生的自身体验、感悟和创造.教师通过融合的建模数学课程设计和引导，全方位立体化地落实数学模型素养的实施，能有效提升数学建模素养.

3.数学模型课程设计的融合特征：进阶与结构化设计

融合的课程设计是指在核心知识单元既有单元知识融合，又有独立的课题设计；既有小综合，又有大综合；既有课内探究活动，又有课外探究活动.数学建模是过程化、综合性与实践性融合一体的教育,是落实学生数学素养的有效载体，因此，数学建模素养的进阶评价还是要回归数学建模的核心特征，改变传统的“目标、成就、评价”的线性单元结构设计及终结性评价，提倡以“主题、经验、表达”的非线性单元结构设计，这样既能够突出各阶段不同能力的培养和活动经验的积累，又能够全方位立体化地突出数学模型的地位，落实数学模型素养的实施.

4.数学模型课程评价的形成特征：个性差异与价值认知

数学建模是过程的教育,是学生数学素养的集中体现，因此，数学建模的评价还是要回归数学建模的核心特征，改变传统的终结性评价，提倡“主题、经验、表达”的非线性单元结构设计和形成性评价，并且采用科学客观的方法判断课程实施质量.不同阶段数学建模的内容要求对建模过程、活动经验和数学思维都有所表述，但没有系统化的阐述和表征.因此，我们试图建立更清晰的行为表现界定，注重学生的体验过程，在体验的基础上构建自己的价值认知；关注学生的个性差异，拓宽学生实践的智慧时空；关注学生数学思维能力与活动经验的生成与积累，以此来全方位提升学生的数学核心素养.