注重概念的生成过程，促进学生对概念的内化——以“弧度制”教学为例

郭森林 (福建经贸学校，福建 泉州 362000)

弧度制是中职数学阶段学习的一个比较抽象的数学概念，《中等职业学校数学课程标准(2020年)》要求学生“了解1弧度的定义及弧度制；理解角度制与弧度制的互化，了解弧度制下的弧长公式和扇形面积公式”.教材上，弧度制定义出现得有些突兀，对应的素材不够丰富，对于教师和学生来说都是一个教学和学习的难点.但是，弧度制是学习三角函数必不可少的工具，对弧度制理解不够透彻将会影响接下来的学习，也会增加学生学习三角函数的心理障碍.因此，如何做好有效的教学设计是弧度制教学的一大难题.

一、弧度制教与学的现状

在弧度制的教学方面，大部分教师在教学过程中都能够注重教学情境的创设和以HPM视角来发掘数学史的教学价值，从而激发中职学生的学习积极性，提高学生的课堂参与度.徐稼红在2019年江苏省高中青年教师优秀课评比中指出：几乎所有的选手对弧度制概念引入的必要性都缺乏具有说服力的解释，这样学生很难体验角度制与弧度制相互转化的数学价值.在中职数学弧度制课堂中，因学生的数学基础及学习积极性都较为欠缺，中职教师面临的问题将更加棘手，对弧度制的教学设计更容易暴露出以下问题：直接抛出弧度制的概念然后进入弧度与角度的转换，对于缺乏学习动力的中职生来说，很难提起学习的兴趣；未考虑学生的实际情况和接受能力，牵强引入各种学生听不懂的数学历史发展过程和案例，将相关史料以故事的形式作为课前导入，或者课中图片展示，又或者课后史料补充，而且用时较多，这样既有可能忽视“数学史”所体现的数学思维方法，又因缺失了学生的主动参与而影响了课堂效果，不利于学生对于弧度制概念的生成.

在弧度制的学习方面，对于三角函数这一章节的陌生增加了学生内心的恐惧.具体到弧度制这节，学生不明白为什么要用弧度制来度量角的大小，他们已经习惯了用角度制来度量；也不理解为什么要把180°转换成一个无理数π，对学生来说，更能接受的是明确可知的数字180°，对无理数本身感到陌生和抗拒.

二、注重概念生成的教学设计

弧度制的教学应该认清知识点的本质，不是先给出概念再来验证，而是要给出概念的生成过程，以学生的基础为立足点来展开弧度制概念的教学，帮助学生深入理解弧度制的由来.

师：请同学们拿起尺子在纸上画一个角，并观察角是由什么组成的.

生：一个顶点和两条边.

师：请仔细观察，角的大小跟两条边的长度有关吗？

生：没有关系，因为两条边都是射线，而射线是可以无限延长的.

师：很好！因此，我们就不能以这两条边的长度来度量角的大小，那要怎么度量角的大小呢？

生：看两条边张开的大小.

师：我们怎么知道这个大小呢？下面同学们来回忆一下我们初中时是怎么定义1度角的.

师：很好，那我们怎么得到1度角呢？

生：画一个圆，然后将圆周360等分，每一份所对的圆心角就是1度角了.

师：没错，现在大家用圆规在纸上画一个半径为1 cm的圆，并将它的圆周360等分.

生：圆画出来了，但是不知道怎么进行360等分.

师：这么看来，我们并不容易画出1度角.

生：可以借助量角器来画.

师：没错.不过请大家思考一个问题：角和量角器哪个先出现的呢？

生：是角，因为量角器是发明出来测量角的.

师：没错，那问题就来了，量角器诞生前我们是怎么测量角的呢？人类又是怎么制造出量角器的呢？

生：不知道.

师：大家先思考另一个问题：怎么测量圆的面积？

生：不能测量，是用圆的面积公式计算出来的.

师：我们需要知道什么数值才能计算呢？

生：半径的长度.

师：没错，半径的长度我们很容易测量出来.那角的大小能不能也像面积一样借助半径的长度来度量呢？

(学生陷入沉思)

师：接下来请同学们拿出课前准备好的漆包线进行裁剪，同一个小组内的成员的漆包线长度各不相同.每个成员以各自的漆包线的长度为半径画一个圆，再将自己的漆包线弯成弧形来截取这个圆的一段弧，画出这段弧所对的圆心角，并剪下这个圆心角和这段弧所围成的扇形.然后将小组各成员所得到的扇形纸片进行重叠，观察每个成员所得到的圆心角的大小有什么关系.(如图1)

图1

生：(动手操作后)相等.

师：现在同学们已经能够很轻易地画出1 rad的角了，那么利用刚才手中的工具，你能画出3 rad、6 rad、10 rad的角吗？

生1：可以，截取等于三段半径长度的弧长，它所对的圆心角就是3 rad的角.

生2：截取等于六段半径长度的弧长，它所对的圆心角就是6 rad的角.

生3：截取等于十段半径长度的弧长，它所对的圆心角就是10 rad的角.

师：很好，按这种方法我们就可以画出任意一个nrad(n∈N*)的角了.

师：大家再思考一个问题：如果已知的是弧长，你可以得到这个弧长所对的圆心角是多少弧度吗？(如图2)

图2

生：用弧长除以半径就可以了.

生：补上符号 “±”.

教师在进行弧度制概念教学时，应该让学生明确本节课学习的对象是熟悉的角，是学习除角度制外的另一种新的角的度量方式，而不是直接面对弧度制.从角、1度的角等学生熟悉的知识点出发，围绕“如何度量角”这一核心问题来引导学生对弧度制进行探索，从情感上学生也会减少对本节课的畏惧心理.

师：由此能得到的弧长公式是什么呢？

生：l=|α|r(其中，l是弧长，α是该弧长所对的圆心角，r是圆的半径).

师：有谁还记得初中学过的弧长公式呢？

师：接下来大家再回顾一下初中所学的扇形面积公式.

师：学习完弧度制，我们可以得到一个新的扇形面积公式吗？

师：学习完弧度制对我们有什么影响呢？

生：公式变得简单好记了！

师：没错，这也是我们在有了角度制后还要学习弧度制的一个很重要的意义，它使得科学上的很多公式得以简化.

师：大家再观察一下弧长公式和扇形面积公式，在角度制和弧度制下同一个公式分别应用了什么进位制？

生1：角度制下圆心角是六十进制的，而其他量是十进制的.

生2：弧度制下所涉及的量都是十进制的.

师：这么看来弧度制不止简化了公式，还统一了进位制，这将便于后续的计算.以后我们就可以用弧度制对角进行度量了，单位(rad)可以省略.

(教师用表1的形式展示给学生)

表1 角度制与弧度制的区别

教师以表格对比的形式让学生直观地感受在已经学习了角度制后再学习第二种角的度量方式——弧度制的意义，激发学生学习弧度制的动力.

师：我们知道周角在角度制下表示为360°，你能用弧度制来表示它吗？

师：很好，那2π弧度到底有多大呢？大家知道，这里的π是一个无理数，约等于3.14，即2π≈6.28，所以，我们就可以很清楚地知道2π弧度大约等于6.28弧度.

这里把学生“捉摸不透”的无理数2π用6.28来表示，对于数学基础薄弱的中职学生来说是非常有必要的，它可以降低学生学习数学的恐惧感，将抽象的数学知识直觉化，方便学生自由运用，也有助于弧度制概念的顺利构建.

师：大家再思考一下，平角等于多少弧度呢？

师：很好，那π(rad)换成具体数字大约是多少呢？

生：3.14弧度.

师：好，那我们现在总结一下角度与弧度的转换.(板书)

1周角=360°=2π(rad)≈6.28 rad

1平角=180°=π(rad)≈3.14 rad

师：现在请同学们完成表2中角度与弧度之间的转换.

表2 角度与弧度之间的转换

教师围绕“角的度量”引导学生一起探讨了“如何画出给定弧度数的角”和“如何用弧度制表示给定的特殊角”两个问题，让学生尽可能参与到具体的教学情境中，加深学生对弧度制的理解，有助于弧度制概念的生成.

师：上节课我们刚刚学习了角的概念的推广，认识到角有正角、负角、零角之分.现在我们学习了弧度制，是否也可以用弧度制表示出所有的角呢？

生：能表示的角的范围是负无穷大到正无穷大，在这个范围内可以表示出任意实数的角度.

师：没错，所以我们规定：正角的弧度为正数，负角的弧度为负数，零角的弧度为零.采用弧度制之后，每一个角都对应唯一的一个实数；反之，每一个实数都对应唯一的一个角.这样，角与实数之间就建立了一一对应关系.(如图3)

图3

至此，学生在教师的指引下，全程参与了弧度制的概念建构过程，对于弧度制已经有了一个初步的认识.接下来，教师可以结合学生和课堂的实际要求，进行适当的历史介绍，从度量角的演化史出发让学生更深刻地感知人类发展的探索历程，这样能够让学生更加深刻地理解学习弧度制的原因，增强学习弧度制的动力和信心.

三、教学反思

在“弧度制”这节课，我们不能只是单纯地向学生展示现成的知识，那样不利于学生对弧度制概念的内化.笔者从学生熟知的知识点出发，设置了一系列学生“够得着”的问题来引导他们进行思考，通过动手操作、画图等多个活动环节让学生更充分、更深切地参与到整个教学环节中，并在教师的适当指引下一起探索弧度制概念的生成过程.同时，教师通过对角度制和弧度制相关内容的直观对比，引导学生对已有知识结构进行更新、重组，将碎片化的知识点结构化，让学生深刻体会学习弧度制的目的.