中国古代八卦、哈密顿问题及伽罗华理论

郭 民 秦德生 (东北师范大学，吉林 长春 130024)

数的概念产生于“数数”，最早的“数数”方法就是积攒小石子、小木棍，以对应的原则进行.随着社会的发展和更广泛的计数需要，“数数”就很不方便了，人们开始把数排成简单方便的基本群,即选定某个数a作为“基数”,对于比a大的数，用1,2,…,b的组合来命名,这就是我们今天所说的进位制.

进位制中最常用的是十进制,这是由于人的手指为它提供了一个对应的最方便的工具，此外，还有二进制、十二进制和六十进制,在我们的日常生活中也常能见到，历史上还曾有过三、四、五、二十这样的进位制,但现在似乎已见不到了.20世纪40年代以后，随着电子计算机的诞生及迅速发展，与通路和闭路相对应的二进制法使电子计算机产生了神奇的速度和能力，人们在赞叹计算机巨大威力的同时,不得不对二进制的作用刮目相看.

八卦常用来代表8种不同的事物，如：西、西北、北、东北、东、东南、南、西南八个方向；或水、火、山、泽、天、地、风、雷8种自然物等.由八卦中符号的两两可重复排列，还可以得到64种不同的形式，称为64卦，它们可以代表由上述8种自然物衍生出来的宇宙中更多的事物及其关系.

如果接着用四个爻，五个爻……进行排列，就可以对应得到所有的自然数，莱布尼茨正是从阳爻和阴爻的排列中产生了二进制数的思想.如果我们将阳爻和阴爻分别看作正号“+”和负号“-”，那么“四象”就可以表示平面直角坐标系的四个象限中点的坐标符号,“八卦”就可以表示空间直角坐标系的八个卦限中点的坐标符号，由此可见坐标系中象限、卦限是由“四象”“八卦”演绎而来的.八卦作为一种神秘的古代文字，曾出现在许多奇妙的图形中，它是中国人民智慧的结晶，它的科学思想还在不断地被后人挖掘出来.

1736年，哥尼斯堡七桥问题被解决.欧拉非凡的思考方法大大开阔了人们的视野.用点来表示研究对象，如果两研究对象间有关系，就把两点间连成一条线，研究这些对象在上述表示法中的特性就形成了“图论”，它可以用来解决许多与对象的离散安排有关的问题.在图论的发展中，最初的成果基本上是借助“图”来解决一些具体问题而产生的各种想法，这些问题往往是容易看懂的难题，研究它们可能不需要掌握很多知识，但一般需要较新颖的想法.因此，它们常常使优秀的数学家百思不得其解.由英国数学家哈密顿发明的“环球旅行”游戏而引起的“哈密顿问题”就是这类问题中的一例.

1859年，哈密顿在给他的朋友的信中提出了环球旅行问题：我们用一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市，要求沿着正十二面体的棱，从一个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后回到出发地.环球旅行问题从表面看与七桥问题很类似，但实际上它们之间有着本质的差别.这个具体的问题只要通过逐步地试探，不断地总结规律，就会找出是否存在一条路线，从正十二面体的某个顶点出发，依次经过每个顶点，最后回到出发点.

环球旅行问题可用图论的方法来解答，为叙述方便我们给出图论中的一个基本概念——圈.在一个图中，一组不同的边组成的边序列为e1,e2,…,en,如果边e1=(v0,v1),e2=(v1,v2),…,en=(vn-1,vn)(vi为图中的顶点，i=0,1，…,n),则称这个边序列是从v0到vn的链，v0与vn被称为链的端点.如果一条链的两个端点重合，称这条链为圈.环球旅行问题可以转化为：以正十二面体的顶点和棱分别为顶点和边作图，在图中确定一个圈，使它过各顶点正好一次.通过直接试探，我们可以找出这样的圈，哈密顿发明的这种圈展示了一类图所具有的特性.

环球旅行问题可以推广到任意多面体上，这种情况下是否还存在问题中所要求的路线呢？显然，这个问题可以转化为判断与多面体相应的图是否为哈密顿图的问题.然而，当图中顶点和边数较多时，尤其是对那些原本就不存在哈密顿圈的图来说，直接试探的方法一般是行不通的.于是，寻求判断一个图是否为哈密顿图的充分必要条件就成为人们关注的热点，这就是哈密顿问题的由来.多年来，判断哈密顿图的许多必要条件、充分条件陆续被发现.

与哈密顿圈有关的问题还有许多，这些问题似乎并没有多大的实际意义，但是对它的研究却往往会诱导人们进行超常的思考.抓住这样的问题，以自己独特的眼光和思维去探索，说不定你也能想出一些新方法，进而得到意想不到的成果呢！

数学中有许多重要发现都源于实际的观察，这种情况在数论中尤为突出，正如欧拉所说：“今天已知的数的许多性质，大部分都是经过观察发现的，而且在它的真实性被严格证明以前很久，就已被发现了.”虽然有许多数的性质，我们都非常熟悉，但至今还不能证明，只能靠观察获得这些知识.与哥德巴赫猜想和费马定理一样，数论中许多问题的研究大都经历了观察、发现、概括、猜想、论证这样一个过程.

这里我们再介绍一下数论中关于完全数、亲和数以及华林猜想的一些研究情况.

将完全数的性质进行推广，毕达哥拉斯学派发现正整数220和284，它们彼此等于对方所有的真因数之和，他们将这两个正整数命名为亲和数，毕达哥拉斯学派只发现220和284这对亲和数.到1636年，费马找到第二对亲和数：17296和18416.1638年，笛卡儿找到第三对亲和数：9363584和9437056.欧拉系统地寻找亲和数，找到亲和数60对.1886年，16岁的意大利男孩帕格尼尼发现了一对被人疏漏掉的亲和数：1184和1210.目前已知的亲和数最大的一对均为152位数.关于完全数和亲和数的研究不仅促进了数论的发展，也促进了代数学的发展.

华林猜想是勾股定理的推广，即考虑将任一正整数表示为若干个正整数的平方和、三次方和、四次方和的形式等.1770年，华林提出猜想：每个正整数是不多于4个平方数之和、不多于9个立方数之和、不多于19个四次方数之和.拉格朗日和欧拉都先后证明了平方和的形式，韦伊费列治证明了立方和的形式，关于四次方和的形式，数学家哈代先证明大于1010的数都可以表示为小于或等于19个四次方数之和，但小于1010的数没办法证明，刘维尔证明对于每一个正整数，53个四次方数足够表示其正整数之和，韦伊费列治证明37个整数足够表示其正整数之和，我国数学家陈景润证明27个整数足够表示其正整数之和，1985年，巴拉萨布雷尼安和德雷斯证明对于每个正整数，不超过19个整数足够表示其四次方数之和.到此为止，华林猜想的研究基本完成.

与其他数学分支相比，数论中的发现与猜想是比较多的，这与数论中的问题内容易懂表述简明有很大关系.当然，观察得到的发现与猜想并不能直接形成新理论，但它为新理论的创立提供了最基本、最重要的前提，数论中的许多问题看似简单的初等数学内容，然而用初等数学的方法却无法解决.它蕴含的深刻理论促使人们创造出深刻的方法，不仅推动着数论及其他数学分支的发展，也为培养人的观察发现能力、创造性思维能力提供了一条有效途径.难怪伟大的数学家高斯在评价数论的地位时发出赞叹：“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇后.”

数学史上记录着一位法国青年,他的一生只有短暂的20年,他的遗稿共计不过60页,而他的工作却为代数学的发展提供了全新的思想，这颗数学天空中闪电般的流星,就是埃瓦利斯特·伽罗华.

伽罗华于 1811 年出生于巴黎,自幼性情刚直,执着追求真理,无论做什么事情,都有一种坚持不懈的精神.少年时代的伽罗华并没有显露出超常的天赋,但他对自己的学习非常自信,尤其是对数学学科,有着浓厚的兴趣和惊人的理解能力.到中学后,伽罗华就开始自学柯西、拉格朗日、高斯、勒让德等当代名师的原著,从中汲取宝贵的思想,培养洞察事物本质的能力.然而伽罗华的才能并没有被发现.后来,他进入了多科工艺学校的预备学校,在那里继续刻苦钻研数学.

伽罗华所处的时代,正是方程论的研究取得重大进展的时代，自16世纪诞生了一元三、四次方程求根公式，为寻求一元五次方程的求根公式，人类已经苦苦探索了二百多年.公元1770年，拉格朗日提出五次方程没有求解公式，拉格朗日的结论虽然没给出严格证明,但却给人们以很大的启发.1824年,22岁的数学家阿贝尔给出了高于一元四次代数方程不可能有根式解的严格证明,为人们寻求五次方程求根公式的漫长历史画上了句号.

高于四次的方程没有根式解，阿贝尔试图刻画出全部能用根式求解的方程的特性.然而,1829年,年仅27岁的阿贝尔在贫病交困中过早地离开了人世,未能实现他的愿望.年仅16岁的中学生伽罗华在攻读了拉格朗日的《关于代数方程解法的思考》和阿贝尔的有关成果后,倍受启发和促动,他接受并改进了拉格朗日的思想,用了方程根的置换即排列概念,认为方程的可解性可在根的置换集合上构建的某些性质中反映出来，伽罗华引入了现在称之为“群”的概念,成功地给出了判断一个代数方程可否有根式解的充要条件.1829年,18岁的伽罗华写出了“关于代数方程论的研究报告”并交到了法国科学院.

伽罗华在数学研究中较早地获得了突破性的成果,但对这一成果的认定却充满了坎坷.他第一次呈交的论文由于法国科学院的不重视而丢失了，第二次重写的论文因审稿人傅里叶去世而再次丢失.1831年,伽罗华又写了“关于用根式解方程的可解性条件”，交由院士普阿松审阅，四个月后，论文以“完全不可理解”的结果被退回，不过普阿松建议他再详细阐述.面对种种挫折,伽罗华虽然很伤心,但决不气馁.

1832年,伽罗华被牵扯进一场无谓的手枪决斗,并由此而丧生，在决斗前夜,他赶写出一份关于自己见解的说明,连同原稿一起交给一位好友保存，这份遗稿在伽罗华死后 14 年才被发表,且直到1870 年后才逐渐被数学家们所理解,它的应用价值和潜在的理论成为更广泛的代数理论的基础,也是抽象代数在20世纪兴起的重要因素.伽罗华认为，数学乃至整个科学研究中偶然性所起的作用并非微不足道.实事求是，奋发进取,是伽罗华展现给世人的一种精神,也是他成才的力量源泉.