探析高中数学解题中数形结合思想的应用

田 昆 (山东省曹县第一中学高中部，山东 菏泽 274400)

一、引 言

在高中数学的教学过程中，有很多教师过于在乎成绩，使用“填鸭式”的教学方法，学生总感觉到枯燥乏味.在高中数学解题中，有很多解题方法，除了数形结合法，还有分类讨论法、换元法、反证法、定义法以及待定系数法等等.这些都对高中数学的解题有着重要的作用，可以减轻学生负担，缩减学生思考答题时间.而且，随着研究的不断深入，越来越多的教师赞同教导学生使用多种方法来解答题目，这样可以帮助学生更好地进行高中数学的学习，帮助学生厘清解题思路，降低学生学习数学的压力，从而缓解学生的抵触情绪.伴随着素质教育和新课标教学理念的全方位实行，数形结合等数学思想在高中数学解题中的应用越来越广泛.在近几年高考的题型中，数形结合较之前占比更大，由此，本文主要探讨数形结合对于高中数学解题的思想应用，并从以下几个方面展开论述.

二、数形结合概念的界定

数形结合，分开来看，主要是指数与形两个方面.它是一种教学思路方法，也是一种解题思路方法，其使用情况大致可以分为两种：一种是根据数据的精确程度，来判断形的某些属性，另一种是根据形的几何关系，来判断其与数据的关系.不管是哪种情况，都是为了在解题过程中更快地看出问题的重点，从而化复杂为简单.在数形结合的过程中，学生要注意数与形之间的对应关系，同时，要学会举一反三，根据数或者形中的某一特性，来达到对数或者形某一方面或者多个方面的认识.

三、数形结合的使用策略

数形结合的使用策略大概可以分为以下三种，以数化形、以形变数和形数互变.

1.以数化形

数和形是相对应的表达方式，与图形相比，数字比较抽象难懂，而图形比较具体生动形象，可以直观地表达很多属性，对于解决问题有着决定性的作用.因此，我们在解答问题的时候，可以将数字与图形对应找出来，尽可能多地用图形来解决问题.在解答问题的时候，我们可以把符合问题目标的模式找出来，而这种模式就是指在图形与数字之间的某一个特定的关系.把数字转化为图形，进而通过图形来解决问题的方法，就是图形分析法.而这种将数字图形化的问题解决方式，就是将数字转化为图形，最终通过图形问题来解决数学问题的方法.这种图形解决法有三种方式：首先是运用平面几何，其次是运用立体几何，最后是运用解析几何.通过这几种方式，我们能将数字问题转化为图形问题.一般而言，我们首先要对已知的条件进行分析，再与已知的目标相结合，找出它们之间的内在关系与联系，最后运用图形解决问题.将数字转化为图形是解决数学问题的重要方式，也是解决数学问题的基本的思路方法.所以，在解答问题的时候，要厘清题目中的条件和目标，运用图形观察分析，得出应该使用的公式方法，从而达到解决问题的最终目的.

2.以形变数

对于比较复杂的图形，仅仅靠简单的观察是不够的，它还需要与数字相结合，需要通过数字来解决其中的问题.在解决几何问题时，高中学生由于学习知识的单一性，并不能在头脑中高度地构建出题中所给的图形，进而影响了做题的速度.因此，在计算的时候，学生要注意把复杂的图形知识转化为数字知识，而且，通过复杂的图形结构可以挖掘隐藏的数字知识.在解析某些复杂的图形时，我们往往要构建出坐标系、极坐标系等辅助工具，将复杂的图形直观化.对于这类题目，解答的基本思路在于结合图形，找出在图形中体现出来的几何知识，即通过图形表达出来的性质、概念、定理等，再结合所学习的数字知识解答问题.对于某些高考试题，学生在解决立体几何类问题时，如果不借助以形变数的数学思想，则很难通过高强度的逻辑思维来强行画出要求的图形.因此，在做这种类型题时，教师最好引导学生使用数形结合的思想，即通过代数法来解决相关的图形问题.

3.形数互变

在解决数学问题的时候，对于一些比较复杂的问题，我们不仅要将数字转化为图形，还要将图形转化为数字.由于图形与数字同为数学最基本的两个要素，二者在绝大多数情况下都能相互转化，图形明显易懂，数字逻辑性强，所以，图形与数字相互转化时有极强的逻辑贯通性.我们通过结合数字与图形的优点来达到解决问题的目的.在学习中，学生的重点往往是解决问题，如果通过抽象的数字和复杂的图形不容易看出解决问题的方法，那么在解答这种问题的时候，最主要的方法就是将直观的图形知识转化为严谨的数字知识，将严谨的、不易表达或者抽象的数字知识转化为形象的图形知识.只有这样，才可以很好地解决数学问题.

四、数形结合在高中数学解题中的思想应用

高中数学的学习是枯燥乏味的，是难以理解的.由于学生对数学敏感程度不同，对老师所教的内容消化吸收得有所差异，因此学生的学习成绩差异较大，这时学生就需要高效的学习思路和方法.在高中数学中有很多解决问题的思路和方法，而每一种思路和方法又可以解答不同类型的问题.数形结合也不例外.数形结合的最大好处在于它的直观性，学生在运用具体的图形时，能够更好地解决抽象的数学问题.学生要想运用数形结合的解题思想，必须要有意识地将抽象问题向具体图形进行转化，培养自己的图形理解能力、图形认知能力.在高中数学的解答过程中，数形结合可以在多个方面发挥作用，比如，数轴类问题、三角类问题、不等式类问题、函数类问题以及方程类问题和立体几何问题，这些都是运用数形结合就可以解决问题的题型.

1.数形结合在数轴类问题中的思想应用

顾名思义，数轴类问题主要使用的就是数轴，而数轴是数形结合方法之一.数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，线是点的集合.数轴的图形原理就是通过数轴上的点与对应的数字相结合，找到它们之间的对应关系，最终达到数形结合的方法.这种思维解答方式更加具有拓展意义，而且，可以更加快速有效地解决相关问题，从而使高中数学的学习不再枯燥无味，而具有生命力和活力，更重要的是，它可以帮助学生培养思维，提高学生的思维拓展能力.

例1假设集合A={x|x∈Z,且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},那么A∪B中的元素个数是( ).

A.11 B.10 C.16 D.15

解析数轴能形象地表示数，数轴上的点和实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.如图1所示，由题意结合图形可知，此类数轴题是在高中数学中出现比较频繁的一类题目，而且，这种图形也是高中数学中比较直观简单的图形之一.对于此类题目，我们只需要根据集合中的相关元素，将代数问题转化为图形问题，从而解决问题.在本题中，由图可知，集合A与集合B的并集中共包含了16个整点数.

图1

2.数形结合在三角类问题中的思想应用

数形结合的主要思路就是将数字转化为图形，将图形转化为数字，最终达到解决问题的目的.在解决三角类问题的过程中，我们可以将相对复杂的、难以理解和想象的代数问题，通过图形表达出来，这样可以更加直观地找出题目的几何背景，从而使学生对问题的思考更加深入，开阔学生的思维，降低学生的考试压力，最终缩减学生的答题时间.

图2

3.数形结合在不等式类问题中的思想应用

在解答高中数学问题的过程中，特别是在解答不等式或方程问题的过程中，学生往往喜欢运用代数的方法来解答.在这种情况下，学生的解答思路就会局限于数的解答上，从而缩减了学生的思路，使问题变得更加枯燥、复杂、难懂.而且，学生在解答到某一个阶段的时候，往往会因为无法进一步思考，而不得不停止思考，题目也会成为只解答了一半的未解题.在解答不等式问题的过程中，若将代数融入图形之中，则有利于学生更加深入思考.当然，这也需要学生具有很好的转化能力，能够将代数问题直接快速地转化为图形问题.

图3

4.数形结合在函数类问题中的思想应用

函数类问题是高中数学中经常出现的问题，换句话说，它是高中数学的高频考点.然而函数类问题也十分复杂.所以，在解决函数类问题的过程中，将相关的问题通过图形表示出来，不仅可以帮助学生对题目的理解，厘清解答思路，还可以帮助学生对函数知识有一个更深入的认识，而且，可以帮助学生对函数的隐藏关系进行探索与挖掘，最终使学生的解题思路更加深入与灵活.

例4已知log2(-x)

解析如图4所示，由题意以及所画图形，可以很直接地得出y=log2(-x)的图象在y=x+1图象的下方部分所对应的x的值，所以，可以很简单地得出x的取值范围，即(-1，0).

图4

5.数形结合在方程类问题中的思想应用

在高中数学中，方程类问题是最适合运用数形结合思想解决的题型之一.在问题的解决过程中，学生可以结合图形，使抽象的代数转化为具体形象的图形模式，最终使问题简单、容易理解，从而帮助学生快速地解答问题.

例5已知方程ax-x-a=0,且a的取值范围是(1，+∞)，方程有几个解？

解析在本题中，老师可以引导学生画出y=ax的图象，以此来帮助学生进一步解答.同时，学生要牢牢记住经典的函数模型和其所代表的平面曲线，在遇到类似的题目时也能迅速厘清思路，完成题目.

6.数形结合在空间几何问题中的应用

立体几何在高中数学中同样占有相当重要的比重.在解决立体几何问题时，学生既可以采用画辅助线这种纯图形式的做法，也可以使用以形换数，转化为空间向量的做法.作为高中数学中比较经典的解题方式，空间向量也是数形结合在空间几何中的重要应用.使用空间向量等以形换数的思想，能锻炼学生以数换形的思维定式，增加对数据的理解能力.

例6正方体ABCD-A′B′C′D′中，M是AD的中点，N是DC的中点，P是A′C′的中点，求平面MPN与平面A′BC′的夹角.

图5

五、结 语

在高中数学中，数形结合是一种简单、直观、形象的解答方法.对于学生而言，数形结合百利而无一害，它可以帮助学生更加深入理解题型，还可以帮助学生更加直观地认识题目.高中数学复杂的题目往往涉及多个考量标准，而数形结合这种思想能长驱直入，直奔主题.换一句话说，它可以帮助学生更加简单地解决相关题目，缩减学生的解题时间，同时让学生认识到，数学不是简简单单的数字计算，也不是将数字代入现成的公式中，而是要思考解决办法，即使遇见了不同的尚未见过的题型，也要有正确应对的心理素质和正确解决问题的数学能力.而且，数形结合方法可以拓展学生逻辑思维能力、转化思维能力等等，从而提高学生的解题能力.所以，在高中数学学习过程中，学生要注重对数形结合方法的学习.