浅谈立体几何中的数学文化

马正芳 何章鸣 (.南雅湘江中学,湖南 长沙 4008 .国防科技大学文理学院，湖南 长沙 4007)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学学科的思想体系，数学的美学价值及数学家的创新精神.数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，使其逐步形成正确的数学观.同时，《2016年高考考试大纲(修订版)》中增加了数学文化的要求，重申了数学文化的重要性，使数学文化成为高考的重要考点之一.《义务教育数学课程标准》也提出教材应当把数学文化融入学习内容中.因此，在教学过程中，教师可以适当地介绍数学科学研究的成果，开拓学生的数学视野，激发学生的学习兴趣与好奇心，培养学生的科学精神.高中数学立体几何部分蕴含了一些数学文化，本文就此来简单分析一下.

一、数学文化的内涵

作为学科文化中的一类，数学文化被人们广泛认识和认同的时间要早于物理文化、化学文化等学科文化.与其他学科不同，数学学科所研究的不是具体的物质运动形态或者组织属性，而是从自然界众多物质运动状态中抽象出来的数学概念、数学关系和数学性质.换言之，诸如点、线(包括直线和线段)、面、体等数学学科中的概念及其关系是对自然界和人类社会发展过程中的多种多样的现象进行抽象提取而得出的数学规律.

目前,关于数学文化的概念，学术界并没有形成一致性的观点，但不同学者从研究与实践的层面给出了相应的看法.有人认为数学学科中的各类思想、方法以及数学活动中所涉及的语言、思维方式、历史等均属于数学文化的范畴[1-3].也有人认为数学文化是数学学科发展过程中衍生出来的思想、精神、知识、方法、技术、理论等内容，是相关文化领域在数学学科的具体体现.更有人认为数学文化是从具体的数学知识和其应用中提取出来的文化元素，是能对人的数学思维和行为习惯产生深刻影响的内容.

学术界和教育界关于数学文化的认知尚处于深化阶段，学生和教师对数学文化的认识也多是伴随数学教学实践而自然产生的，这就使得许多人并未真正理解数学文化的精髓，进而限制了他们对数学文化的概念认知.对应到高中数学课程教学中，虽然没有明确对数学文化进行教学的内容，但通过分析《普通高中数学课程标准(2017年版)》可以发现，文化素质培养是高中数学教学中的一项基本内容和要求.总体而言，高中阶段的数学文化主要体现在数学教材中，一般为两个方面，一方面：数学精神的培养.在高中阶段的数学教学中，教师要有选择性地向学生介绍一些数学家的人生经历，展示其在数学探索道路上所形成的不畏艰难、勇于进取的精神；另一方面：数学文化的渗透.教师在编写数学课程教案时，要将与教材相关的数学文化合情合理地进行展示.换言之，高中数学教学中的数学文化不仅涵盖高中数学中的基本数学知识及其应用、数学发展史、数学家、数学哲学、数学活动、数学语言、数学思维、数学观念、数学精神、数学方法、数学美，也包含数学家的人生经历及科学精神，甚至数学典故、数学作文、数学游戏等都是数学文化所包含的内容[4].当然，数学文化的内涵也会随着数学学科的发展而不断完善，并且在数学教学中发挥越来越重要的作用.受知识、思维等因素的影响，不同的人或者同一人在不同时间段内，对数学文化内涵的理解往往也存在一定的偏差，因此，对数学文化内涵的理解，要从数学教学的实际情况入手，将数学文化理解为数学课程中的一种内在的思想品质和行为精神.

二、高中数学教学中数学文化的体现

培养学生良好的数学文化素养是数学核心素养培育中的重要内容，也是高中阶段数学教学中贯彻素质教育理念的内在要求.对于教学主体，尤其是教师来说，需要重点把握数学教学中数学文化的具体体现.结合高中数学教学实践，数学文化主要体现在以下四个方面.

1.科学价值

法国数学家高斯曾说：“数学是科学的皇后.”意在表明数学较高的地位及其对科学发展的重要性.高中数学的科学价值主要体现为抽象性和逻辑严谨性.在“立体几何”一章中，抽象性体现为将日常生活中的空间场景抽象概括为图形，运用点、线和面进行描述，而逻辑严谨性则是指在4个公理的逻辑基础下，对4个判定定理、4个性质定理以及等角定理进行了严格的推理验证，而后再将它们作为工具进行应用.教材在编写上也是从生活中常见的柱、锥、体出发，逐步走向更加抽象的概念，这符合学生的认知规律.另外，由于数学作为一种工具被广泛地应用于各门学科，“尽心尽力”地发挥着所特有的服务功能，所以，有人将数学视为“科学的仆人”.立体几何可抽象上升为空间解析几何，其重点在于提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学核心素养.

2.应用价值

数学不只是存在于纸上的符号，更重要的是在现实社会中的应用意义，而数学的发展作为数学文化中的重要一环，受到学生数学应用能力的影响.对于学生来说，学习的内容最终落脚于应用，一旦知识无法使用，学生就会十分沮丧，甚至放弃知识的学习.但立体几何这部分内容能很好地被学生在实际生活中使用，从而激发了学生的学习热情.例如，教室的门闩之所以可以把门固定，运用的就是基本公理2，即过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.两个门轴和另一侧的门闩，可以抽象为不共线的三点，这就是我们身边的数学.在教学线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两直线平行时，教师可以采用中国现代作家茅盾的著名散文《白杨礼赞》作为导入.在聆听和观看中，学生不仅能观察到平坦的大地上傲然挺立的这一排排白杨树之间的位置关系，还能体会到坚持抗日战争的北方农民所代表的质朴、坚强、力求上进的精神.学生在学习数学知识的同时升华品质，潜移默化地接受了思政教育.此外，根据异面直线既不平行也不相交的性质，人们创造了人行天桥和立交桥，大大减轻了交通的拥堵；利用线面垂直的判定定理来检验建筑物的墙体是否合格等，也是立体几何的实际应用.

3.人文价值

数学的历史是一部充满创新的著作，经历了大量的里程碑式的定义与定理：从有理数到无理数，从实数到复数，从笛卡尔的解析几何到牛顿、莱布尼兹的微积分的理论等等，所以，数学被称为“创造性的艺术”.在教学中，教师要充分挖掘数学文化中所蕴含的创新价值，鼓励学生敢于质疑、勇于创新，进而创造性地解决各种问题.例如，立体几何中对祖暅原理进行了详细介绍，这比其他国家要早一千多年，在欧洲直到17世纪，才被意大利数学家卡瓦列里提出.充分地向学生展示中国数学发展史中的优秀成果和数学家的创新精神，不仅能增强学生的民族自信心，还能激发学生超越前辈的激情.许多数学史料都能够让学生看到我们的国家和民族在数学领域中的巨大成就，进而激发他们的民族自豪感和爱国主义情感，同时也能让学生懂得数学学习从来都不是一蹴而就的，它是一个长久的过程，需要持之以恒的毅力和顽强拼搏的精神.当然，这对任何一个科目的学习都是适用的，没有人能随随便便成功，成功需要付出加倍的努力.

4.美学价值

数学从逻辑性、抽象性、对称性和简洁性等方面体现了数学之美.正因为如此，很多数学家都认为数学是美学.著名数学家巴拿赫说：“数学是最美的，也是最有力的人类创造.”而数学的理性美就是数学文化的精髓所在.当然，数学还可以体现形式美、对称美，最直接的体现就是立体几何图形：正方体、球体、圆柱等.在教学过程中，黑板上优美的图形、工整的板书都会给学生以美的享受，便于学生根据现有的美来创造属于自己的美.研究数学美，一方面，学生可以通过欣赏和感受美来提高学习数学的兴趣；另一方面，学生可以借助数学美的方式和标准来研究和解决问题.例如，2021年全国卷Ⅰ第3题，此题考查圆锥的立体图与展开图，体现了图形的美.将空间图形平面化是有效解决问题的方法.当然，也有很多情况是先将平面图形通过折叠成立体图形，再研究其性质，这也是考查空间想象能力的常用方法.

三、数学文化的应用

在高考中,如何考查立体几何中的数学文化呢？不妨以2020年全国卷Ⅰ第3题为例.如下图所示，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ).

胡夫金字塔

这道题以胡夫金字塔作为引入，没有给定任何具体的数值，要求的其侧面三角形底边上的高和底面正方形的边长的比值也是一个固定值，由此可见，这个固定值和具体的四棱锥的某个边长没有直接关联，因此，容易想到设定一些未知数作为中间过渡量来表示题目里的一些几何关系，即“设而不求”的思想.利用已知条件建立待定未知数之间的几何关系，利用方程思想解出答案.对于这种考查学生应变能力以及思维转变能力的题目，在未来的高考中会不断出现.但是，万变不离其宗，就算考到一些数学文化，例如本题中的胡夫金字塔，或者是2019年高考数学选择题中的断臂维纳斯雕像，我们都可以先将其转化为与数学相关的几何图形，再将数据代入几何图形中，最后用公式进行计算.

四、结论

一位数学教育家说：“不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地产生作用，使人们终身受益.”数学教育不仅仅是知识的传授、能力的培养，更是一种文化、一种精神的传播.因此，数学文化必须走进课堂，渗透到课堂教学的各个环节中.作为教师，要不断提高自身文化修养，深挖课内教材，结合课外素材，将数学文化与数学学科知识有机地融合，潜移默化地影响学生，从而提高学生的综合素质.利用立体几何讲好数学故事、开展数学教学，能够提升学生的品德修养、空间想象能力、逻辑推理能力和解决实际问题的能力，为高等教育奠定夯实的数学基础.