基于核心素养下的初中数学赋能作业设计
2021-02-15姜曙光尹海涛吉林省吉林市第五中学吉林吉林132001
姜曙光 尹海涛 (吉林省吉林市第五中学,吉林 吉林 132001)
引 言
为落实党的十八大提出的“立德树人”的教育根本任务，教育部于2014年发布了《关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》，该文件提出要研究制定学生发展核心素养体系.2016年9月，北师大核心素养研究课题组发布研究成果，基于文化基础、自主发展、社会参与三个方面，提出人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养.2017年12月，教育部发布了《普通高中数学课程标准(2017年版)》[以下简称《课程标准(2017年版)》]，该文件提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个数学学科核心素养.学生发展核心素养与数学学科核心素养不仅能指导普通高中数学课程标准、教材的修订，也是初中数学教学的指南.真正培养全面发展的人才，仅凭课堂是远远不够的，想让教育延续，最佳的方式就是作业.赋能作业是为学生学科素养发展提供的平台，通过不同形式的作业激发学生探求知识的欲望，培养学生的科学精神和实践能力.赋能作业要赋予学生自主学习、科研及实践的能力，并在赋予学生能力的同时，提高教师的思考与创造能力.
一、初中数学赋能作业的研究意义
从“量”的方面来说，赋能作业严格控制学生的作业量，减少作业时长，减少不必要的、重复机械的作业，让学生有更多的课外时间去研究自己喜欢的、有意义的事情.
从“效”的方面来说，赋能作业能让学生在单位时间内获得更多的能力，重视学生基础知识、基本技能的落实，同时关注学生数学思想的养成和数学基本活动经验的积累.
从“育人”的方面来说，一是培养学生的数学素养，目的在于发展学生数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析、直观想象、逻辑推理六大核心素养；二是培养学生的科学素养，目的在于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.
从“学校”的方面来说，一是解决数学学科作业量、形、效的问题；二是为其他学科的作业设计提供参考.
从“教育均衡”的方面来说，赋能作业能为其他学校的作业设计提供第一手资料.
从“国家”的方面来说，赋能作业的实施能为国家双减工作的落实提供参考.
二、初中数学赋能作业的基本类型
(一)知识型作业(独立完成)
1.设计意图：落实当天学习的基础知识，即关注每节课的核心知识点、单元的核心知识点，针对核心知识点布置相应的作业.
2.设计方式：填空题、选择题、单一知识点的解答题.
3.设计时间：5分钟到7分钟.
(二)技能型作业(独立完成)
1.设计意图：培养学生发现问题、 提出问题、分析问题、解决问题的能力，引导学生学会正确地进行数学思考.
2.设计方式：解答题.
3.设计时间：7分钟到9分钟.
(三)活动型作业(可合作完成)
1.设计意图：渗透数学思想，积累活动经验，指向科学研究的方法，兼顾学科融合.
2.设计方式：不限形式.如：手抄报、论文集、动手实践等.
3.设计时间：不限时间.如：周作业、月作业、学期作业等.
(1)活动型作业之实践型作业(Practice)
引导学生主动改造和探索现实世界.其基本特征为客观性、能动性和社会历史性.例如：实践型作业、操作型作业、著作型作业和劳动型作业等.
(2)活动型作业之创新型作业(Innovation)
创新型作业的目的在于培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，而发现问题、提出问题是创造能力的前提，所以创新型作业更侧重于学生对问题的发现和提出.例如：探索型作业和发现型作业等.
(3)活动型作业之延展型作业(Expansion)
延展型作业的目的是释放有限资源的无限潜能，延展型作业要为学生提供一个全新的视角，让学生体会如何使用自己拥有的知识和技能，培养学生发掘自己已有资源的能力.例如：个性化作业和融合型作业等.
(4)活动型作业之网络型作业(Network)
网络型作业的目的是培养学生的资源意识，网络资源可供学生学习交流、研讨，更重要的是数据库技术会对学生做出准确的、可持续性的分析，为学生的终身发展提供便利条件.例如：网络学习型作业、网络论坛型作业、网络合作型作业和网络作品型作业等.
三、初中数学赋能作业样例
1.“角的平分线的性质”赋能作业样例
依据：《课程标准(2017年版)》.
核心知识：探索并证明角的平分线的性质，应用角的平分线的性质解决相关问题.
作业设置1：(知识型作业)
题目1如图1，BE是△ABC的角平分线，∠C=90°,ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC的长为( ).
A.6 B.7 C.8 D.9
题型：选择题.
设计意图：直接利用角平分线的性质,找到角平分线的基本图形，进而解决问题.
设计时间：1分钟.
图1
图2
题目2如图2，AD是△ABC的角平分线，∠C=90°,CD=4，AB=10，则△ABD的面积是________.
题型：填空题.
设计意图：根据角平分线的性质作恰当的辅助线，补成角平分线性质的几何模型，渗透数形结合思想.
设计时间：2分钟.
题目3已知：如图3，AD是△ABC的角平分线，且D是BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：BE=CF.
题型：解答题.
设计意图：培养学生的逻辑推理能力,提高学生运用数学语言表达现实世界的能力.
设计时间：5分钟到7分钟.
图3
图4
作业设置2：(技能型作业)
题目如图4，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=7，AC=5.
(1)探究△ABD和△ACD面积的数量关系.
(2)你还有什么样的数学思考？
题型：解答题.
设计意图：培养学生的创新意识.从特殊情形出发，寻找一般情形并给予证明，另外，此题(2)问结论开放，可以通过学生得出的不同结论，看到学生不同的思考，有利于学生通过交流，共同促进逻辑思维的发展.
设计时间：8分钟到10分钟.
作业设置3：(活动型作业)
题目1制作教材中的角平分仪，并说一说：在制作的过程中，你有怎样的数学思考？
设计意图：制作角平分仪具有实践性，能引导学生主动改造和探索现实世界，致力于让学生像科学家一样去思考问题，像工程师一样去解决实际问题.制作角平分仪的过程一定会涉及制作材料的选择等方面，因此在不断完善的过程中，能实现科学研究的项目引领和方案改进的目的.
设计方式：小组合作完成.
设计时间：月作业，一个月内完成即可.
题目2数学小报：角的平分线的性质的应用.
题目3思维导图：角的平分线的性质的相关习题及解法.
设计意图：数学小报、思维导图都具有创新性，学生可以根据自己的认知情况，创造自己认为的最美小报或导图，既提高了自身的数学素养，又在作业中渗透了美育，是作业育人的一个重要环节.
设计方式：独立完成.
设计时间：周作业，一周之内完成即可.
题目4十分钟小课堂：与角的平分线的性质有关的一道习题及对这道习题的数学思考.
设计意图：让学生选择自己喜欢的题或者是自己认为重要的题，并到讲台上为全班同学进行讲解.这样设计的目的是加深学生对所学知识的理解与巩固，并提高学生的表达能力和心理素质，使其成为全面发展的人才.
设计方式：独立完成.
设计时间：学期作业，一个学期之内完成即可(安排在本学期自习课，以自愿为原则，由学生个人提出并展示).
2.“三角形的稳定性”赋能作业样例
依据：《课程标准(2017年版)》.
核心知识：三角形的稳定性.
作业设置1：(创新型作业)
题目如图5，有一个六边形钢架ABCDEF，它的结构是不稳定的，但在建筑和机械领域常需要稳固这种结构，你能想出多少种不同的方法？
图5
设计意图：(1)数学的本质是数学思考，对于同一个问题，不同的人会有不同的数学思考，所以在问题解决过程中，不同的答案代表不同深度的思维.例如：以几种答案(如图6).
图6
作业评价：以上答案均把六边形分割成三角形，使其具有稳定性，是对定理的直接应用，但少了一点思考.
设计意图：(2)不是所有学生的作业都是正确答案，在学习的过程中出现错误是不可避免的.如果把错误的答案转化成一种新的认知，进而得到新的发现，这也是科学研究的一个必要过程(如图7).
图7
作业评价：这个答案会引起很多学生的争议，究竟是否正确，需要一个理论与实践的检验过程，在此过程中，学生会潜移默化地体会到科学精神.
作业设置2：(实践型作业)
题目选择合适的材料制作正六边形模型(如图8)，探究上述方案是否能使六边形具有稳定性.并探究是否有其他方案可以使六边形具有稳定性.
图8
设计意图：实践型作业是以活动为载体，以体验与感悟为主要内容，以提高学生的实践能力与合作能力为目标的作业.所以，实践型作业具有综合性、实践性、活动性、多样性、趣味性、体验性、感悟性、合作性、交流性等特点.完成实践型作业是学生的一个思维旅程，它是学生学习知识、认知社会、提升自我的实践活动.
设计时间：周作业.
作业评价：学生通过动手操作体会到了实际情形中的不稳定性，并学会用数学理论去解释现实模型.有的家长参与进来，和学生共同走进车间，用焊接技术完成了高质量的模型，让学生真正体会科学在实践中的应用，培养学生用科学的方式思考问题，用科学的方式解决实际问题的能力.
作业设置3：(创新型作业)
题目在实践型作业的完成过程中，有学生意外得到下面这种稳定形(如图9)，探究是否还有不同的方案，用最少的材料，让多边形具有稳定性.
图9
设计意图：学生对作业完成了二次创新(如图10)，让自己所学的知识更有实际意义.具备这样的思考与创造的能力，无论学生将来从事什么样的工作，都能为社会的进步做出贡献，这个过程就是科学研究中的方案改进过程.
图10
设计时间：周作业.
作业评价：这一组作业找到了六边形稳定的不同方案(如图11)，如果数学教师不经过分析也会误认为这几个图形不稳定，从这点来说，学生已经实现了创新的目的.
图11
以上作业的完成属于更深层次的创新，学生不仅考虑了如何让材料更节省，还考虑了如何让图形更美观，让所学习的数学知识有了实际意义上的价值.这符合培养学生的一个方向：像科学家一样去思考问题，像工程师一样去解决实际问题.
深度思考：以上图形均具有稳定性，但是在实际建筑中稳定的程度是否相同？这个问题涉及了工程力学、物理等相关学科的知识.至此，学生体会到了STEM的项目引领、方案改革的本质.
作业设置4：(延展型作业)
题目三角形具有稳定性，在现实生活中,有哪些自然形成的稳定形呢？
设计意图：让学生体会到数学问题不是脱离实际生活而孤立存在的，数学源于生活，生活中处处有数学.我们要善于从生活中发现数学，更要让数学为我们的生活服务.
设计时间：月作业.
作业评价：至此，学生开始留意身边的一些事物，试着寻找身边的数学知识.流沙画(如图12)引起了学生的兴趣，经过一段时间的观察，有的学生发现当它积累到一定高度后就不再增高，并提出这也是一个稳定形的说法.
图12
观察得出结论：
在自然情况下，每次沙子流淌下来都形成三角形，而且三角形的形状基本相同.(定义为自然稳定形)
作业设置5：(实践型作业)
题目探究自然稳定形的性质.
1.猜想与假设
(1)自然稳定形是否一定是等腰三角形？若不是,什么情况下是等腰三角形？
(2)边与边的夹角是固定度数吗？
(3)底边和高之间有什么关系？
2.验证与结论
(1)漏点在横线中点正上方时，形成的是等腰三角形.
(2)底角的度数大约是55度.
(3)底边和高的比值接近某一个定值.
[如图13(1)(2)(3)]
3.设疑与探究
如果改变漏点位置，上述结论是否发生变化？
图13
深度思考：最后一个模型[如图13(4)]从物理学的角度来看是否成立？这种情形是否稳定，又有什么样的实际意义呢？
作业设置6：(实践型作业)
题目通过实验探究圆锥的自然稳定形.
设计意图：让学生经历知识从平面到立体、从理论到实践的迁移，体会科学探究的一般性方法，并在实际操作中运用所学的数学、物理、化学等相关知识解决问题，把学生培养成具备科学素养、技术专长和实践能力的复合型创新人才.
发现问题：金字塔是人类历史上的奇迹，它跨越千年，历经无数次风雨与战乱，却几乎完好无损.立体图形的稳定性和三角形的稳定性有什么样的关联？收集胡夫金字塔的相关数据，查找与立体图形稳定性有关的论文和文章，收集与工程力学有关的论文和文章，整理并形成文字材料.
实验问题：
1.稳定后的形状是否圆锥？
2.圆锥的直径越大，圆锥的高就越大？
3.圆锥的直径与高之间存在什么关系？(难度较大)
4.底角、顶角的度数有什么特点？
5.漏斗口的大小对实验的影响？
6.漏斗口的高度对实验的影响？
7.是否到达一定高度以后，圆锥的高度就不再增加？
8.实验材料的不同对实验的影响？
实验准备：
1.硬件条件：教师准备了铁架台和部分漏斗，学生带来了实验用的盐、小米、大米等，并自制了各种测量工具.
2.软件条件：学生分组，组内成员讨论实验目标、实验操作分工、实验报告等.
实验结论：
1.稳定后的形状是圆锥.
2.随着下落物的增加，圆锥的直径逐渐增大，圆锥的高不断增大.
3.对于同一种材料，圆锥的直径与高的比值是一个定值.
4.底角度数在一定的范围内浮动.
5.漏斗口过大或位置过高会导致圆锥无法形成较好的顶部，对实验有影响.
6.实验材料的不同对实验是有影响的.
图14
图15
实验数据记录表
表达交流：
(1)我想把结论应用在建筑方面，设计一个永远没有积雪的房子.只需要让房子顶部的倾角大于雪的稳定角，那样房子上就不再有积雪了.
(2)我想把结论应用在安全保障上面，在野外滑雪时要注意观察，当山坡的倾角大于雪的稳定角时就要远离那里，因为发生雪崩的可能性极大.
(3)我想研究泥、沙石、水的混合物的稳定性，从而发现泥石流的原因与规律，更好地为人类服务.
(4)我想研究地震后堆积物的稳定性问题，这会对灾后救助有所帮助.
作业评价：通过这组作业的完成，学生的数学思考不断深入，科学意识也逐步加强，由形的稳定到体的稳定，进而考虑到房屋建筑、泥石流、雪崩、地震救援等问题，使获得的结论能为社会服务.这组作业激发了学生对科学研究的热情，同时培养了学生的“责任担当”，实现了作业的育人功能；另外，这组作业也培养了学生的数学核心素养，让学生用数学的眼光去观察世界，用数学的思维去思考世界，用数学的语言去表达世界，发展了学生的数学应用意识.
结 语
对于初中数学赋能作业的研究，我们也是初探，但是对于赋能作业的功能，已经定位于发展学生的数学核心素养和科学素养.因此，我们不仅要研究赋能作业的频率、赋能作业的长度、赋能作业的可理解性、赋能作业的挑战性，还要研究赋能作业的讲评与反馈.
