电学搭台 力学唱戏 数学帮腔——异曲同工的两道力、电问题进阶式分析

李 昱 杨天才

(重庆市第三十七中学校 400000)

看似运动性质不同的两道力、电题，但物理本质相近，采用进阶式的分析，对解动力学问题的三把金钥匙有很好的复习巩固作用，同时也能正确区分它们之间的关系，以及在什么条件下优先选用哪条思路更简洁.解动力学的三把金钥匙列表如下：

例1 如图2所示，质量为m的铁块(可视为质点)以水平初速度v0滑上原来静止在水平光滑地面上质量为M的木板上，它们之间的动摩擦因数为μ，木板足够长，求：

(1)铁块、木板达共同速度之前各自的受力；

(2)铁块、木板达共同速度之前运动的加速度；

(3)画出它们大致运动过程的v—t图象；

(4)铁块和木板的共同速度及达到共同速度所需的时间和位移；

(5)整个过程铁块、木板的速度改变量；

(6)摩擦力对铁块、木板做的功及它们动能的变化；

(7)摩擦力对铁块、木板做功的平均功率；

(8)整个过程产生的内能及木板至少多长；

(9)摩擦力对铁块、木板的冲量及动量的变化.

解析(1)对铁块和木板，受力分析如图1所示，铁块和木板运动的示意图如图2所示.

(2)铁块和木板所受的摩擦力等大反向，大小为μmg，方向与相对运动方向相反.对m，由牛顿第二定律，-μmg=ma1，解得：a1=-μg，对M，由牛顿第二定律，-μmg=Ma2，解得：a2=μmg/M

(3)二者大致运动过程的v-t图象如图3所示.

点评通过回答进阶式的问题，可以体会这三把金钥匙的特点及其关系，在具体问题时就能找到最简便的方法.一般来说，(1)如果要列出各物理量在某一时刻(或恒力持续作用)的关系式，优先选用牛顿第二定律；(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，优先选用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题；(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守恒定律(机械能守恒定律)去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件.(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量.(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换，这种问题由于作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决.

而且，以上问题都可以用v-t图像来表示，图中CB的斜率表示a1，BO的斜率表示a2，t是时间，v是共同速度，梯形OABC的面积在数值上等于x1，三角形OAB的面积在数值上等于x2，三角形OBC的面积在数值上等于L，三角形OBC的面积乘以摩擦力μmg在数值上等于系统产生的内能Q，同理用图像中的其他关系可表示上述所有物理量.

例2 如图4所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd构成矩形回路，已知它们的质量分别为m1和m2，电阻分别为R1和R2，磁感应强度为B，设两导体棒均为沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若两导体棒在运动中始终不接触，求：

(1)两棒的运动情况如何；

(2) 画出两棒大致的运动过程的v-t图象；

(3) 当ab棒的速度变为初速度的3/4(还未达到匀速运动)时，cd棒的加速度；

(4)两棒运动稳定后的速度分别为；

(5)两棒在运动中产生的焦耳热Q最多是多少，各占多少；

(6)通过两棒某一横截面的电量q是多大；

(7)两棒之间的最小距离Δx；

(8)若两棒从开始运动到共速的时间为t0，这个过程中ab棒、cd棒各自的位移大小.

解析(1)ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流.ab棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动，cd棒则在安培力作用下做加速运动，在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路中总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，最后两棒以相同的速度v做匀速运动.∴棒ab做加速度减小的减速运动，棒cd做加速度减小的加速运动.

(2)如图5所示.

此时回路中感应电动势和感应电流分别为：

(5)由能量守恒定律，焦耳热