从一道考题的多解看初中数学几何解题能力的培养

黄江泉

(广西桂平市南木镇第一初级中学 537226)

在2019年广西贵港市中考的数学试题中，有下面这道题目：

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°<α<180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

(1)如图1，当∠CA′D=15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．

图1 图2

①写出旋转角α的度数；

②求证：EA′+EC=EF；

这题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，综合性强，难度大，方法灵活，有多种不同解法.

(1)②的思路一：在EF上截取EG=EC，先证△CEG为等边三角形，再证△CGF≌△CEA′即可.

(1)②的思路二：过C作CG∥A′D交EF于G，先证△CEG为等边三角形，再证△CGF≌△CEA′即可.

(1)②的思路三：延长ED到G，使DG=DE，先证△CEG为等边三角形，再证△CGA′≌△CEF即可.

(2)的思路一：连结A′F，由△CGF≌△CEA′可知CA′=CF，从而可证△A′CF为等边三角形，进而可证A′E同时平分∠FEB′和∠FA′B′，从而△A′EF≌△A′EB′，于是得B′与F关于A′D对称，只要求出AB′即可.

(2)的思路二：过A′作A′M⊥B′E，得△A′ME和△A′MB′分别为含有45度和30度角的特殊直角三角形，通过计算证明B′E=EF，进而可得到B′与F关于A′D对称，只要求出AB′即可.

(1)②的思路一、思路二用到了数学中最常用的截长法，其中思路二用到了“角平分线+平行线”得到的隐含等腰三角形，(1)②的思路三用到了数学中最常用的补短法，(2)的思路一用到了角平分线、全等三角形等基本图形(模型)，(2)的思路二用到了特殊直角三角形的基本图形(模型)，并且所有的思路中都用到了角平分线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形等基本图形的判定和性质.通过对本题多种解法的分析不难发现，培养和提高初中生的几何解题能力要从以下几方面入手：

一、熟悉几何基本图形和基本结论是培养几何解题能力的前提

几何基本图形和基本结论是几何知识的重要组成部分，是所有几何解题的前提，角平分线、中线、高、点到直线的距离、动点到两定点距离之和的最小值、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、垂径定理、过圆外一点作圆的切线、全等三角形、相似三角形等基本图形及其结论，既是考试考查的重点，也是所有解题的基本依据，我们要熟练掌握.如：

例1(广西贵港2016-12)如图3，ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD=30°；②S=AC·BC；③④S△OCF=2S△OEF成立的个数有( ).

图3 图4

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

A．2 B．3 C．4 D．5

这些题目表面看起来很复杂，但实质都是考查几何基本图形及其结论.例1考的是角平分线、平行四边形、等边三角形等图形的性质，例2考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质．只要掌握相似三角形和全等三角形的基本图形，问题不难解决

二、理解定义、定理、公理、判定、性质是培养几何解题能力的基础

理解定义、定理、公理、判定、性质，就是不仅要熟记定义、定理、公理、判定、性质的结论，还要熟记定义、定理、公理、判定、性质的条件、适用范围、注意事项等，它是几何解题的基础.如:

图5

本题中，不少考生因没有在意弧长公式中圆心角的意义，结果将120度直接代入计算，答案当然错了.

三、善于发现图中的隐含图形是培养几何解题能力的关键

隐含图形是指等腰三角形、等边三角形、平行四边形等特殊的图形在整个图形中表现出来的一部分，如“角平分线+平行线”隐含有等腰三角形，“中点+垂直”也隐含有等腰三角形，“角平分线+等腰”隐含有垂直平分，三角形含有30度和45度角则隐含可构造特殊直角三角形等等.解题中如果我们能够充分发现这些隐含图形，会非常有利于问题的分析和解决.如:

例4(广西贵港2019-24)如图6，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．

图6

(1)求证：AE是半圆O的切线；

(2)若PA=2，PC=4，求AE的长．

本题中，条件出现了“中点+垂直”，隐含有等腰三角形，因而可以通过“延长AO、DC相交于M，或延长EO、AB相交于N”这样的辅助线，帮助解决问题.

例5(广西贵港2017-26)已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．

(1)如图7，若点D是AC中点，连接PC．

图7 图8

①写出BP，BD的长；

②求证：四边形BCPD是平行四边形．

(2)如图8，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．

本题(2)的关键是 “角平分型全等三角形隐含着BD是等腰三角形的高”，从而想到连结AP并延长BD交AP于E，然后过P作PF⊥AC于F即可构造“双垂直型相似”，利用相似列比例式即可把问题解决.

例6(1)(广西贵港2015-10)如图9，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是( ).

图9 图10

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

(2)(广西贵港2017-11)如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是( ).

A．4 B．3 C．2 D．1

上述两题均隐含有两边为定长的三角形这样的隐含图形，因而问题实际上是“已知两边求第三边的范围”,这样利用三角形的三边关系即可解决.

图11

本题中隐含两个最常用模型(图形)——将军饮马模型和点到直线模型，因此，作E关于AC的对称点F，过F作FM⊥AB，则FM即为所求.

四、掌握基本的几何变换是培养几何解题能力的桥梁

几何变换是平面几何的重要内容之一，是研究几何关系的基本方法.平移、旋转、轴对称是初中几何的基本变换，熟练掌握这些变换是培养和提高几何解题能力的桥梁.

例8(广西贵港2018-26)如图12，已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．

图12 图13

(1)当P与O重合时(如图13所示)，设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；

请直接写出AB和PB的长．

本题(2)的关键是进行平移变换，过B作BC⊥AO于C，即得△ABC∽△PBM，由对应边成比例即可；(3)的关键仍然是利用“双垂直型相似”列比例式解决，只是要注意不同位置的存在，要分类讨论.

例9(广西贵港2016-26)如图14，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．

图14 图15 图16

(1)如图15，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．

①求证：△AGE≌△AFE；

②若BE=2，DF=3，求AH的长．

(2)如图16，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

本题(2)的关键是进行旋转变换构造全等三角形，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得△ADM′，即可证明△ADM′≌△AMN，M′N=MN，M′D=BM，且△M′DN为直角三角形，故问题顺利解决.

五、掌握数学基本方法是培养几何解题能力的突破口

数学基本方法论是数学解题的突破口，几何解题更是离不开数学基本方法.几何变换法、面积法、割补法、截长法、补短法等都是几何解题中最常用的数学方法.如：

图17 图18

(2)(广西贵港2018-17)如图18，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为____(结果保留π)．

图19

这些与面积有关的问题，都要用到割补法等数学基本方法.其中(1)还要注意到图中的隐含图形——等边△AOD，才能求出有关的圆心角；(2)要分割成两个扇形和两个三角形面积的和与差；(3)用到的是非常典型的平行轴分割的方法以及二次函数最大值的模型.

例11(广西贵港2019-12)如图20，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是( ).

图20

A．S1+S2=CP2

B．AF=2FD

C．CD=4PD

本例可用反证法的思想，答案A明显正确，假设B正确，很容易推导出C也正确，即B与C同对同错，所以只能选D.

六、掌握几何证明的常见分析方法是培养几何解题能力的重点

几何证明的常见分析方法很多，如综合法、分析法、反证法、枚举法(穷举法)、完全归纳法、不完全归纳法……等等，但最常用的方法有综合法、分析法和分析综合法.熟练掌握这些常见的分析方法是我们探求解题途径的重点和关键.

分析法是从求证的结论入手，以公理、定理为根据，寻求所必须的条件，再从所需条件出发，一步一步地寻求到所需的条件为已知条件时，命题即得证，这种方法也叫“执果索因”法；而综合法是从已知条件为出发点，以公理、定理为依据，一步步推导出欲证的结论，这种方法也叫“由因导果”法；分析综合法将分析法和综合法结合起来，即先从结论入手看需要什么条件，再从已知出发看可导出什么结论，如果这两者正好一致，问题即可解决，这种方法也叫“两头凑”的方法，通常情况下我们都用这样的分析方法.如前面例4的(1)：

从结论(求证)入手，要证AE是半圆O的切线，就要过O作OF⊥AE于F，证OF=OB，于是要证△AOF≌△AOB，这就要证∠BAO=∠OAF(E)，进而要证△ABO∽△AOE或△ABO∽△AFO.

这个分析问题的方法就是分析综合法.

在培养学生几何解题能力的过程中，除了加强学生对几何基本图形和基本结论的熟悉程度，对几何定义、定理、公理、判定、性质的理解，引导学生善于发现图中的隐含图形，掌握好数学基本方法和基本的几何变换以及常见的分析方法外，还要学会对几何结论进行分类，掌握几何难题突破的一般程序等.如对几何结论，我们可以从线段平行、垂直、相等、不等以及角相等、不等等方面进行分类；而对几何难题的突破，可从完善图形(重新画图)、标识等量、发现隐含图形、挖掘图形关系(全等或相似)等方面入手.

下面通过一个具体例子来体会一下：

例12(包头2018-25)如图21，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．

图21 图22 图23

(1)如图21，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；

(2)如图22，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；

(3)如图23，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．

②连接BE，△D′MH与△CBE是否相似？请说明理由．

再看一例：

例13(宜昌2018-23)在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把ΔPBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.(1)如图24①，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；(2)如图24②，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE

图24

问题(1)的思路比较具体、简单，是一对“一线三垂直型”全等；(2)中的①只要注意到翻折隐含着角平分线，由“角平分线+平行线”即可；(2)中的 ②相当于要求PC，从何入手？只要注意到图中含有“一线三垂直”型相似三角形，即可求得EC=20，BE=15，再注意到PG=BP=BF，用“平行”型相似(△CEF∽△CGP)即可求得BP，进而求得PC；(2)中的③则要注意到PG与BF平行且相等，连结FG即可得BPGF为平行四边形，故GF=BP且∠EFG=∠FBP，所以△GEF∽△EAB，由相似成比例即可解决.

当然，我们强调对数学图形、数学结论、数学方法和几何变换的掌握，不是简单的把它们背下来就可以了，而是要在实际应用中去理解、去体会，学会举一反三、触类旁通，才能不断形成和提高解题的能力.