例析充分性与必要性常见的三种判断方法

许万成

(江苏省建湖县第二中学 224700)

逻辑推理是数学核心素养之一，条件与结论的充分性与必要性是逻辑推理内容的重要组成部分.不少同学在学习这一部分的内容时，由于缺少方法的积累常常将自己“绕进”去，从而出现丢分的现象.针对这种情况，笔者根据平时的教学，现结合部分例题提供三种解决方法，希望能够给同学们提供一些帮助.

1.定义法

如果命题“若p则q”为真命题，则p为q的充分条件，q为p的必要条件.

例1“x=2”是“x2-x-2=0”的____条件.

解析易见当x=2作为条件时，结论x2-x-2=0肯定成立.即命题“x=2时，x2-x-2=0”为真命题，所以“x=2”是“x2-x-2=0”的充分条件，但是当x2-x-2=0作为条件时，x=2作为结论则不一定成立.即命题“x2-x-2=0时，x=2”为假命题.所以“x=2”不是“x2-x-2=0”的必要条件.

故答案为充分不必要.

评注若“条件⟹结论”则具备充分性；若“结论⟹条件”则具备必要性.

2.集合法

若条件P所对应的集合为A，结论q所对应的集合为B，若A⊂B,则p为q的充分条件，若B⊂A,则p为q的必要条件.

例2x>2是x>1的____条件.

解析因为任意x∈{x|x>2}都有x∈{x|x>1}，所以命题“若x>2则x>1”是真命题，故“x>2”是“x>1”的充分条件.又因为存在x>1,但是x<2，所以命题“若x>1则x>2”是假命题，即“x>2”不是“x>1”的必要条件.

故答案为充分不必要.

评注设集合A={x|x满足条件p},集合B={x|x满足条件q}，

如果A⊆B,那么p是q的充分条件；

如果A⊂B，那么p是q的充分不必要条件；

如果B⊆A,那么p是q的必要条件；

如果B⊂A,那么p是q的必要不充分条件；

如果A=B,那么p是q的充要条件.

3.等价法

因为原命题与逆否命题的真假性一致，所以当条件与结论中含有的否定较多时，我们可以使用等价法来判断条件与结论之间的充分性与必要性.

例3x≠2或y≠8是x+y≠10的____条件.

解析因为原命题与逆否命题的真假性相同，而命题“若x+y=10，则x=2且y=8”是假命题，所以命题“x≠2或y≠8，则x+y≠10”是假命题，故“x≠2或y≠8”不是“x+y≠10”的充分条件.

又因为命题“若x=2且y=8，则x+y=10”是真命题，所以命题“x+y≠10，则x≠2或y≠8”是真命题，所以“x≠2或y≠8”是“x+y≠10”的必要条件.

故答案为必要不充分.

评注一般遇到命题无法判断真假时，我们可以利用它的逆否命题来判定.