导数问题在高中数学教学过程中的应用探讨

朱学任

(江苏省海头高级中学 222110)

在高中阶段的数学教学过程中，教师可借由导数问题连接起学生之前所学习过的函数思想，并帮助学生对函数思想具体运行模式产生深刻了解.这些年来，伴随着高考改革制度的不断推进，相关的导数问题难度也随之加大.为加强学生的整体解题能力，提升学生的数学认知水平.教师也必须把导数问题灵活的套用在各类数学题目之中，对其进行进一步的探究以及思考.

一、导数在高中数学教学过程中的引入意义

1.帮助学生了解函数性质

现阶段学生所学习的导数知识是高中数学教材内拥有着特殊地位的知识，它是能够串联起初等数学与高等数学的交流桥梁.在高中阶段的函数学习过程中，教师也可以借由导数帮助学生理解函数的相关性质.

一般而言的话，学生在学习函数时必须了解函数的定义域、值域、单调性、周期性等.但是对于一些较为复杂的函数图像，学生在学习过程中就没有办法用描点法作出图像了.对此，教师可以利用好导数知识，让学生利用函数的一阶导数去判断整个函数的单调性、极值以及最值.然后再次结合描点法进行问题解决，这能够帮助学生在简便作图过程中了解函数的实际性质，这样学生的数学知识学习面也成功被教师扩大了.

2.帮助学生掌握函数思想

高中数学课堂上的很多数学问题都是存在着一定难度的，如果学生在解决这些数学问题时仍然沿用初中的那一套，那么他们也是没有办法去解答这些问题的.

在高中数学教学过程中教师应注重各类建模思想、数形结合思想、转换思想的应用特点，利用函数思想让学生根据函数的导数性质去研究具体问题.发挥出导数知识的功能性以及应用性，以此来帮助学生了解这些问题的实际解决答案.教师可以由此来鼓励学生认知函数思想，突显出新课程教学的优越性.一般而言的话，无论是在证明不等式还是在数列求和以及一些实际问题解决过程中，导数知识的应用都能够帮助学生构建与之相关的函数模型，最后应用导数去解决这些问题.

3.帮助学生学好其他学科

高中阶段其他理科学科都与高中数学存在着一种较为紧密的关系，学生所学习的导数知识就是微积分的核心概念，它在物理、生物、天文、工程、地质学中都有着十分广泛的应用.在帮助学生了解完导数知识之后，学生会很轻松地掌握物理课堂上的匀速、变速直线运动特点，对化学课堂上的反应速率以及平衡方程产生深刻理解.这样一来，学生的整个理科学习能力也能够得到加强.教师可以由一类知识出发，完成学生整个理性思维的发展.

4.帮助学生发展自我思维能力

在学习完导数知识之后，学生在后期的学习过程中大多会以一种动态的、无限的变量的数学观点去研究数学问题，这时学生也彻底摆脱了以往的静止不变的数学观念.它真正能够通过数学探索了解到变量与变量之间的相互转换关系，最终知晓动与静的实际结合面.发展学生的辩证思维能力，让学生的理性思维得以提升.

二、利用导数解决相关数学问题的应用

1.应用导数去解答函数最值问题

在高中阶段的数学学习过程中，函数的最值问题是学生学习函数常遇到的一类问题.在解答该类题目时，学生需要结合函数的相关性质、通过选用不同方法进行解决.一般而言的话，大多数学生都会采用导数法进行解答.二次函数的最值求解问题是高考考查次数最多，在高中数学课堂上最为经典的一类例题.

教师在教学二次函数最值问题时需帮助学生先了解固定区间内的最大值与最小值，并在参数思考情况之下根据常规化的解题思路应用数形结合方法解出问题.不过大多数学生在运用此类方法进行解题时常会因为自身的马虎而出现一些解析错误，一些学生甚至没有对区间内的单调性进行判断就做出解答.这样的学习模式难以帮助学生了解该类题目的解答内涵，为此，教师也需针对学生的这种学习模式进行改革.例如在教学题目——在闭区间[-3,0]上函数f(x)=x2-3x+1的最大值与最小值各为多少？对于学生来讲，该道题目是一项较为基础的最值求解问题，其解题思路也大多是由闭区间上函数的极值求出.过后再与端点处的函数值进行比较，从而确定整个函数的最值.由此，该题的解答方法也变为f′(x)=3x2-3，过后求解出f(-3)、f(-1)、f(0)的值，通过比较得出f(x)在闭区间内的最大值为3.在应用导数进行函数最值解答时，教师需将其归纳成以下的三个步骤.首先将函数在该区间内的极值求出，其次，再将函数在端点处的函数值求出，最后比较端点处函数值与极值大小得出整个问题的答案.

2.应用导数去解答三角函数问题

三角函数的灵活性较强，其各类变式以及转换问题是高考命题者常考察的一类重点.同时教师在教学三角函数问题时也应该结合好数形结合教学方法，帮助学生由图形出发，了解三角函数的变化关系，最后依照三角函数在某区间内的增减性来解出问题答案.这样的教学模式也避免了传统课程教学的繁杂解题方案，教师可以利用导数求解三角函数问题.在教学过程中发散学生的转换思维，最终帮助学生产生对于该类题目的深刻认知.

例如在教学题目——y=(1+cos2x)2，求解y′.在阅读完题目之后，教师就应该了解该道题目是一道比较简单的导数求解题.在解题过程中，教师也应该要求学生运用导数解题的规范方法进行解答.但是一些学生由于不清楚复合函数的求导法则，在求解过程中他们也会产生一系列的错误.在实际解答过程中，一些学生甚至还出现了非常离谱的计算结果.对此，教师应对整个题目进行深入分析，了解该道题目的解答重点.避免学生的错误认知，让学生能够在了解三角函数过程中顺利的解答出题目.首先，教师可以先将题目转换为y=u2、u=1+cos2x，过后联系式子进行求解，从而正确地解出整个问题答案.学生会在转换过程中了解三角函数的导数解题技巧，并掌握这一类题目的解题方案.

3.运用导数解决切线问题

教师在教学一些几何相切问题时应该将导数思想融入其中，让整个相切问题变得更为简单.帮助学生产生对于数学题目的认知兴趣，最后提高学生的整个解题效率.在高中阶段的数学教学过程中坐标系切线方程求解问题是学生常遇到的一类问题，该类题目的难度较大，学生在解题过程中会因为计算过程的复杂而出现一系列的错误.对于此种情况，教师须在解题过程中适时融入导数方法，将解题过程变得更为简便.

例如在教学题目——已知曲线C是y=f(x)的图像，试将经过点P(x0,y0)的曲线的切线方程求出.在读完题目之后，教师就应该了解该道题目的解题要点就是导数思想的引入.教师可以先将导数的有关概念和方程在黑板上进行展示，过后要求学生对该道题目做出观察，了解该道题目的一些特殊条件.在实际解题过程中，教师需先引导学生判断P点是否在对应的曲线C上，过后再在此基础上求出对应的导数f′(x).在实行运算过程中需了解一些分类讨论的情况，如点P是否在曲线C上，点P是否为切点等.通过此种类比模式，教师可以寻找到该道题目的两种解题分支.最后总结问题解题技巧，让学生在求解切线问题过程中了解导数思想的融入关键点.此外，高中数学课堂上也存在着一些特殊性的曲线求切线问题，如三角曲线切线.在解决这一类问题时，教师应该摒弃传统的画图模式，要求学生将图形问题转换成代数问题.让整个解题思路显得更为简单，从而帮助学生快速解答出这一类问题的答案.

导数思想在高中数学题目讲解过程中的有效应用能够帮助高中阶段的学生提升自我数学学习能力，让学生了解导数课程的正确打开方法.教师需引导学生掌握与导数相关的概念以及基本性质，在此基础上逐渐引入三角函数问题、切线问题、函数最值问题.通过此种教学改革手段让整个高中数学课堂变得更为高效，促使学生在知识获取过程中了解导数问题的一般化解决步骤，最后加强学生的实际应用能力.