数形结合在高中数学教学中的应用

谢志平

(江苏省天一中学 214171)

数和形作为数学中两个最基本的研究对象，一定条件下能相互转化.中学数学研究对象分为代数与几何两个部分，其中代数与“数”相对应，几何则对应与“形”，数和形是存在联系的，这种联系就是数形结合.高中数学属于数学教育的高阶阶段，教师需主动应用数形结合思想，把枯燥的数学知识变得有趣，激起学生的学习热情，让他们的学习效率更高.

一、立足数学教材内容，发掘数形结合因素

在高中数学教学过程中，教师需充分认识很多知识内容中都有所涉及数形结合，这为数形结合的应用提供良好的便利条件，不过有的地方不易发现，有待挖掘和提取.高中数学教师在平常教学中应认真研究教材内容，以此为立足点深入发掘蕴涵有数形结合思想的因素，带领学生在数形结合思想下学习数学知识，提高他们的学习效果，使其记忆的更为牢固.

例如，以《三角函数概念》教学为例，教师讲述：大家在学习过锐角三角函数是如何定义的？如果把锐角放入直角坐标系中，能用角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数吗？假如以单位圆的圆心O为原点，能用角的终边与单位圆的交点表示锐角三角函数吗？当角的概念推广后三角函数的概念该怎样定义？鼓励学生自由发言，引领他们进一步观察与研究.接着，教师指出：在直角坐标系中，称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么如何表示正弦、余弦与正切？引领学生在画图中用x，y来表示，以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.

在上述案例中，教师以教材内容为立足点，深入发掘有关数形结合的因素，同时着重讲解该部分知识，引领学生借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

二、注重数形之间转换，训练学生学习能力

在数形结合思想中，数与形在一定条件下是能相互转化的，大致分为两种情况：其一，以数解形，借助于数的精确性来阐明形的某些属性；其二，以形助数，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系.高中数学教师在课堂教学中应当把握好数形结合的契机，注重数和形之间的转换，帮助学生慢慢掌握数形转换能力，逐步训练与提升他们的数学学习能力.

例如，在进行《角与弧度》教学时，当讲到“弧度”时，教师讲述：度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度、质量那样用十进制的实数来度量角的大小呢？要求学生根据个人认知自由表述，让他们阅读课本知识思考：弧度的含义是什么？角度值和弧度制怎么互化？扇形的弧长公式与面积公式分别是什么？使其开始学习新课.接着，教师带领学生回顾角的角度制，对比学习角的弧度制，结合图形教授弧度数的计算规则与方式，指导他们以0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°、270°、360°为例进行角度制与弧度制的转算，使其体验数与形之间的转换.

对于上述案例，教师依托于圆心角这个情境带领学生学习一种用长度度量角的方法——弧度制，将角与实数建立一一对应关系，培养他们的数形结合能力，改善数学学习能力.

三、借助现代教育技术，有效实现数形结合

在以往的高中数学教学中，无论教授什么知识内容都运用的是人工教学，显得效果一般，随着信息技术在近些年的迅速发展，再加上多媒体设备日益普及，这为教学方式的改变提供良好的软硬件支持.要想更好的应用数形结合，高中数学教师在课堂上可以充分借助现代教育技术的优势，让学生更为直观清晰的了解数形结合，辅助他们高效率的学习数学知识.

例如，在开展《圆与方程》教学时，教师先在多媒体课件中展示一些隧道口的纵截面、桥梁的桥洞轮廓图片，搭配导语：图片中的东西给大家以圆的感觉，圆是重要而优美的曲线，如何用代数的方法来研究圆？学生聆听介绍，观看与欣赏图片，引起他们的学习兴趣与求知渴望.接着，教师提问：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，圆呢？如果能，这个方程又有什么特征？学生分析与讨论，同步利用信息技术手段展示平面直角坐标系中的圆，给出圆心、半径、坐标等数据与信息，引领他们结合直观化的学习资源总结求圆的一个方程的方法.

上述案例，教师借助现代化信息技术的优势引入具体化的教学资源，指引学生根据圆心坐标与半径求出圆的标准方程，培养他们用坐标法研究几何问题的本领，强化数形结合思想.

四、加强了解基本图形，增强融入数形结合

高中数学教学内容主要分为代数与几何两大部分，相对于代数的“数”，几何的“形”虽然较为直观，但对学生的思维能力要求较高，尤其是高中数学所研究是解析几何与立体几何，他们学习起来难度更大.高中数学教师需要以加强学生对各种基本图形的了解与认识，使其记忆和掌握足够的基本图形，增强数形结合思想的融入力度，提高他们的数学知识水平.

例如，在教学《基本立体图形》过程中，教师谈话导入：在生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？教学楼的形状是柱体吗？钢笔、圆珠笔呢？这些物体都是简单的几何体，如何描述它们的结构特征？课件中同步呈现这些实物图，指引学生思考后抽象出具体的几何图形，让他们发现与自身认知存在冲突，顺利引出新课.接着，教师在课件中出示一组常见的基本立体图形，如：长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱台、棱锥等，带领学生观察、讨论与总结：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就是空间几何体，使其在小组内一起将这些空间几何体初步分类，分成多面体与旋转体两大类，引导他们分析各类物体的特征给出相应定义.

如此，教师带领学生加强对基本立体图形的了解，认识常见几何体的基本特征，通过描述与归纳定义融入数形结合思想，使其把实际物体抽象成空间几何体，并培养他们立体感.

五、引入实际生活资源，渗透数形结合思想

数学本身就是一门同现实生活联系十分密切的科目，在高中数学课程教学中，教师需把握好数学知识同生活之间的关系，将一些数形结合的学习资源引入到课堂上，实现数形结合思想的有效应用.对此，高中数学教师应该围绕课本知识与教学目标巧妙引用一系列生活化资源，大力渗透数形结合思想，辅助学生更好的学习新课，让他们透彻理解数学知识.

例如，在《任意角》教学中，教师先带领学生回顾初中阶段学习过的一些角，如：锐角、直角、钝角、平角和周角等.然后列举一些生活中的实例，如：跳水、体操、行驶中的自行车车轮等，使其说出这些角能否用之前的角来表示，他们发现这些角要比360°大，与原有认知发生冲突.接着，教师要求学生回忆初中时期是如何定义角的，引出任意角的概念.然后拿出一个钟表，用手随意旋转钟表指针，通过指针转动形成不同的角，提醒他们注意指针的转动方向，指出正角、负角是由旋转方向所决定的.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，称之为零角.说明由于用“旋转”定义角以后，角的范围进而扩大.

针对上述案例，教师巧妙引入带领的生活化素材，这些素材本身就是数形结合方式，帮助学生用“旋转”来定义角的概念，实现数与形之间的有机结合，让他们真正掌握任意角.

在高中数学教学实践中应用数形结合，教师需适当加强应用，并推广至多个知识点的讲授当中，为学生打造一个更为轻松、自由、愉悦与优质的数学学习环境，使其更好的吸收与内化数学知识，强化他们的数形结合思想.