分类讨论思想在初中数学解题中运用概述

苏仕亮

(江苏省连云港市欢墩中学 222133)

初中学生入学后在学习数学方面面临着知识和方法的双重变化，由于个性与思维在初中阶段处于一个高速发展阶段，因此适宜进行数学思想的启蒙与教学.分类讨论是一种相对简易、普通而且实用的数学思想，对初中学生而言能够起到重新审视数学问题、分类化解学习目标并合理进行比较研究的思维作用，能帮助学生将复杂问题简化为若干个简单问题，更容易达成解题目标，因此适宜在课堂上进行指导性的教学.

一、分类讨论思想的概述

1.分类讨论思想在初中数学中的意义

分类探讨思想方法能把完整的数学概念转化为零散的数学细节，实现可靠的归纳分析.分类探讨思想是指根据数学对象的性质是否相同，将其分为不同的类别.素质教育的改革与发展，使初中数学教学体系逐步向素质教育过渡，分类探讨思想有助于提高学生数学思想的严谨度和数学知识的实践性，帮助学生对所学知识进行归纳、总结.根据应试教育的要求，运用分类讨论法，可以提高学生解决数学问题的能力.分类探讨思想符合初中生的思维方式.运用分类探讨思想，有利于学生理清思路，提高数学思想能力，增强创新意识和实践能力.

2.分类讨论思想在初中数学中的应用

分类思想是近年来在数学中考中常见于综合考察题型，一般在一二个分支题后的第三分支题中有所体现，重点考察学生灵活运用初中数学知识的能力.通常此类题型通过强行计算也可以得出正确答案，但应用了分类思想后，学生更容易通过综合分析化解此类数学问题中比较繁复的计算，因此广大初中数学教师应该把分类讨论思想作为初中数学教学中的一个重点来对待.一般来说，初中数学的分类思想容易出现在有理数和绝对值题型、几何与函数相关题型、对数与公式题型等等.

3.分类讨论思想在初中数学中的现状

当前一些初中数学教师教学方法仍然残留着传统教学理念的影响，在分类讨论思想的教学方面生搬硬套书本例题，学生反而会对分类讨论思想产生不正当的认知，认为简单地一分为二就是分类讨论，导致学生对分类讨论法并不热衷，认为不如直接计算方便，这对初中学生的思维发展非常不利.分类讨论思想的目的是激发学生的创新思维，养成独立、全面分析问题的习惯，不能简单地以工具强行向学生“推销”.

二、分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用策略

1.培养学生模仿教师分类讨论

课堂教学是培养初中学生分类讨论思想最好的温床，不仅仅局限于习题课，在新知教学中借助温习旧知是渗透数学思想的重要教学环节，温故知新，而且能够帮助学生对旧知与新知完成横向比较，并引发学生们的思考，在脑海中自动将数学知识进行分类与对比，饼自动归集到已掌握知识的体系中，试图为这些数学知识找到合适定位.因此，初中数学教师可以将知识进行模块化，对数学知识点进行科学分类，并为学生指出分类标准，例如有理数与无理数之间的分类原则和标准，然后就这些分类标准引发当堂探讨，使学生感受到分类的必要性，强化对数学知识的分类处理意识，并且模仿教师进行主动对数学知识归集整理，研究基本条件对象的划分标准，进一步认知与接触分类讨论思想.

2.组织学生学生分组讨论分类思想

初中学生对于思想的认知是不完整的，因此对于数学思想的认知倾向于具体的、可执行的方法，数学教师不要给予纠正初中学生的这种认识，而是应该在学生接触并将数学思想工具化一段时间后，在与学生们讨论对于接触分类讨论思想的经验和认识，防止学生将分类讨论思想复杂化，影响使用数学工具的效率.例如绝对值知识是一个应用分类讨论思想很好的教学课程，可以组织学生对三类绝对值进行分类讨论，在课堂上分组教学法能够促使学生们在思想交互中对分类讨论思想的认知从碎片化逐渐全面化，及时发现自己认知上的错误.

3.掌握学生的学情并及时加以指导

教师应对学生应用分类讨论思想的学情进行及时掌握，发现哪些学生路线正确，哪些学生对分类讨论思想的理解有误区，哪些学生拒绝接受分类讨论思想，等等.一般情况下教师在当堂教学中并不一定能够及时掌握所有学生的学情，通常情况下都是通过课后作业来进行梳理，但不全面，因为有些学生分类讨论问题的时候并不一定是本着思想指导，教师还要综合考虑预留作业考察知识的全面性，教师通过循序渐进的复杂习题进行掌握和排查，逐步摸清学生是否真正理解了分类讨论思想的基本原则，通过增设数学实践让学生对分类原则进行科学化，做到有的放矢.

三、分类讨论思想在数学中的应用实例

1.分类讨论思想在初中几何中的应用

初中几何以图形知识为主，通常在图形关系之间存在分类讨论的空间.例如圆与直线之间距离与半径之间的数量关系，在什么条件下相交，什么条件下相切，什么条件下相离，这就是分类讨论思想在判断先决条件方面的实践应用.再例如当某种条件成立时，图形出现某种情况，而另一种特殊条件成立时，图形变化为某种情况，此类分类讨论在高中函数、方程中是家常便饭，因此在初中阶段为学生培养分类讨论思想对学生日后的影响十分有意义.

2.分类讨论思想在初中在代数中的应用

初中代数知识通常对学生注重进行逻辑考察和训练，主要培养的是数学思想中的推理思想，而几何与代数的问题转化又属于转化思想，如果在一堂课中贯穿了多种数学思想，学生们就会产生迷惑，因此要有意识地强调代数问题解法的多重性，将解代数问题植入分类讨论思想.应用两分法探讨线性不等式中是一个比较容易应用分类讨论思想的题型设计，通常此类题型设计采用多种选择的形式，让学生判断哪一种方案最优，一般在考试中都以实例应用题看，例如某个公司以固定预算购买A、B两种产品，这两种产品各购买多少是最经济性的方案，诸如此类问题就应该分两步用分类讨论思想进行验证，避免出现选项产生遗漏、不完善等现象.

3.分类讨论思想在初中生活题中的应用

当前初中数学贯彻生活教育，在贴近生活的题型中考察学生的逻辑能力和理解能力，融入一些社会生产生活知识，帮助学生提前完成公民教育.这些生产生活知识中较为常见的是融合了统计学、方案优选等实践案例，最适合初中数学教师在其中穿插分类讨论教育.例如社会生产的实践课题往往采用此类命题：某工厂生产某种产品10吨，自主销售每吨利润1000元，如果加工成初级产品每吨利润2000元，由于人力资源有限，只能采取两种产品同时销售的办法，必须在4天之内清仓，问采用什么配比方案能够利润最大化？这种问题只有分类讨论的方式最适合摸清两种销售方式的利润总量，然后才能从经济角度进行销售方案的配比与设计，学生们在模拟社会实践的环境下锻炼分类讨论能力，这种题型对学生的综合思维能力也大有裨益，近年来是初中数学命题的热门点，因此教师有必要设计此种题型培养学生的分类讨论思想，将社会实践活动渗透到数学教学.

一般来说，初中学生在教师有目的地指导下，都能够比较清晰地掌握分类讨论思想，也会形成一个应用分类讨论思想的标准，让学生在初中数学阶段应对复杂性考题时能够注意运用、熟练掌握分类讨论思想，对学生日后学习高中数学大有帮助.为达到教学目标，教师需要客观地帮助学生讲解和指导分类讨论思想的应用场合，不要为了教学目标而使学生刻意去运用指导思想，导致学生解题时面临过多压力，或者过度依赖分类讨论思想，要注意数学问题的特殊性，虽然数学问题一题多解是常态化的，但应该应该立足于审题的基础上，客观评价和选择最优解决办法.