拔去实验障碍之钉，领略快乐发现之旅

王兴伟

【摘 要】小学数学实验活动是以自主探索与合作交流为主要方式的学习活动。开展数学实验不仅有利于学生掌握和发现数学规律，更有利于培养学生抽象、建模、创新等核心素养。本文以“钉子板上的多边形”为例，就如何克服影响数学实验活动的方向、方法、形式、路径等障碍因素做了一些理论和实践的探索。

【关键词】数学实验 障碍 钉子

“钉子板上的多边形”是一节综合实践活动课，是在学生已学完用字母表示数和数量关系的基础上进行教学的。由于钉子板上的多边形面积涉及多边形内部钉子数、边上钉子数和“1”三个变量之间的关系，数量关系比较复杂，学生在探究时往往不能从整体去考虑，顾此失彼，思维也不能得到有效提升。如何设计有效的探索活动，让学生快乐地经历发现的过程，从关注活动转向提升思维，利用研究活动培养抽象和建模能力，就成了本节课的落脚点。本课，笔者采用拔钉子的手法来引领学生开展数学探究实验。

一、环节一：猜想比较，拔掉选择问题时的障碍之钉

师：同学们，今天我们一起来研究“钉子板上的多边形”，看到这个课题，你想研究哪些项目？

学生纷纷发言，有的说想研究多边形的面积，有的说想研究周长，还有的说想研究一个图形有多少个钉子……

师：大家刚才说的都和多边形面积有关。老师这里有一个钉子板，上面有一个长方形，长画3格，宽画2格，每相邻两个钉子的距离都是1厘米，用什么方法算出它的面积呢？

生1：用计算法，3×2=6平方厘米。

生2：用数方格法，一排3格，两排是6格，就是6平方厘米。

师：除了计算和数方格的方法，还可以用钉子数来探索面积。大家猜一猜，你觉得钉子板上多边形的面积还会和什么有关呢？

生1：可能和外部的钉子数有关。

生2：可能和边上的钉子数有关。

生3：还有可能和内部的钉子数有关。

师：猜想只是我们研究问题的第一步，仅仅靠猜想还不够，下面我们来对猜想进行验证。

[设计意图]小学生受年龄、知识和生活经验所限，往往对研究问题的确定存在着较大的随意性。本课一开始，教师立足于学生的生活实际，通过对计算长方形面积方法的对比，主动给学生创设提问的机会，鼓励学生猜想所研究的内容，学生在直观感知中思考、发现，从而很快确定了研究的主题。民主和谐的学习氛围很容易激发学生对数学实验产生浓厚的兴趣。

二、环节二：自主体验，拔掉构建过程中的障碍之钉

教师提出要求：求出这4个多边形的面积（见图1），数出每个多边形边上的钉子数，填入实验记录单1中（见表1）。学生独立完成后组织全班进行交流，师生展开对话。

师：谁来说说它们的面积分别是多少？多边形边上的钉子数又是多少？

（学生逐一汇报）

师：观察一下这个表格中的数据，你有什么发现吗？

生1：多边形的面积越大，多边形边上的钉子数就越多。

生2：多边形边上的钉子数是面积数的2倍。

生3：多边形的面积数是多边形边上的钉子数的一半。

师：用S表示面积，n表示边上的钉子数，能否想个简洁的式子来表示你发现的规律吗？

生：S=n÷2。

师：这个发现对于所有的多边形都适用吗？请同学们任意画一个图形，数出它边上的钉子数和面积数，快速验证一下！

（学生任意画一个多边形，数出钉子数和面积数，教师再次组织全班交流）

生1：我画的图形边上有8枚钉子，面积是4平方厘米，符合这个规律。

生2：我画的图形也符合这个规律，图形边上有7枚钉子，面积是3.5平方厘米。

生3：我画的图形不符合这个规律，图形边上有8枚钉子，面积是5平方厘米。（内部有2枚钉子）

生4：我的也不符合。（内部有3枚钉子）

师：为什么有的符合而有的不符合呢？老师将符合规律的收集起来，（實物投影出示）观察一下，这些图形有什么共同点？

生1：我发现了一个规律，符合S=n÷2规律的多边形内只有一枚钉子。

生2：不符合这个规律的图形，它里面都不是一枚钉子。

师：现在我们来看一下刚才的规律，你觉得需要满足什么条件？

生：多边形的内部只能有一枚钉子。

师：我们用字母a表示中间的钉子数，只有当a=1时，S=n÷2才成立。

[设计意图]教师通过开展“填表格”和“画图形”这两个活动，引导学生观察、列举、比较，深刻理解了钉子数和面积的关系。随着数学实验的不断深入，学生不断突破原有的认知，对公式变量之间的关系逐渐清晰，继而构建出知识体系，思维不断拔节，数学模型初步建立。

三、环节三：适切引领，拔掉合作交流中的障碍之钉

师：你们还想研究什么样的情况呢？

生：我想研究多边形里面有2枚钉子的情况。

师：要获得这个规律，有两条途径，一条是由老师直接告诉你，另一条是由你和你的小组成员在操作中探索获取。你选择哪一种？

生：我们喜欢小组同学自己去研究。

教师出示实验活动要求：每人在点子图上只画出1个内有2枚钉子的多边形。数一数多边形边上的钉子数和面积数，填入实验记录单2中（见表2）。然后在小组中说说自己的发现。

师：大家在议论什么？遇到了什么困难？

生：我们从一个数据中不太容易找到规律。

师：是啊，那如何找更多的数据呢？

生：我们将小组中的数据合起来可以吗？

师：当然可以，那还等什么呢？

（学生高兴地和小组成员热烈地交流起来）

师：哪组同学来汇报一下你们的研究成果？为了防止忘记，我请一名同学做老师的小助手。

生1：我画的多边形里面有2枚钉子，边上有6枚钉子，面积是4平方厘米。

生2：我画的多边形里面有2枚钉子，边上有9枚钉子，面积是5.5平方厘米。

…………

師：我们一起观察、比较收集到的数据，你能找寻到它们的相同之处吗？

生1：内部都有两枚钉子。

生2：面积不再是S=n÷2了，后面要加上1。

师：比较内部有1枚或2枚钉子的两个规律，你觉得它们有什么异同点？

生：算面积时都要n÷2，一个要加1，一个不要加。

师：你觉得这个加1可能和谁有关系？

生：和内部的钉子数有关。

[设计意图]在这个环节，教师给出了“如何研究多边形内有2枚钉子规律”的研究任务后，学生发现必须要从大量的数据中才能发现规律，他们意识到仅靠自己无法完成，必须通过小组合作才能发现规律。实验中，学生先个别举例，再在小组内搜集整理，最后全班交流。教师给足学生充分讨论的时间和空间，鼓励学生在现象中寻找和思考，用数据说话。当学生探究遇到困难时，教师适时介入，通过引导学生之间、组组之间互相碰撞、质疑，最后抽象概括，发现第二个规律。在知识和智慧的共享中，学生的交流与合作真正发挥了作用。

四、环节四：分层叠加，拔掉获取结论障碍之钉

师：同学们看板书，当a=1时，S=n÷2;a=2时，S=n÷2+1。请大胆猜想，你觉得a=3有怎样的规律？a=4呢？

生1：我猜想a=3时，S=n÷2+2。

生2：我猜想a=4时，S=n÷2+3。

（教师分别板书这两个公式，并打上问号）

师：这只是我们的猜想，还要验证。有了刚才的经历，你觉得该怎样研究呢？

生：我们像刚才一样，先画几个图形，再算一算面积，数一数钉子数，最后在数据中找相同点，去发现规律。

师：自己选择一种情况，先推想规律，再通过围一围、算一算进行验证，把你的想法填写在实验记录单3中（见表3）。

师：a还可以是什么？

生：还可以是5、6、7……

师：大胆推想一下，如果a是5规律是什么？6呢？

（学生回答规律，教师相机对应板书）

师：上述规律说得完吗？（教师板书填上省略号）为什么当a=1时，S=n÷2后面不加呢？

生：加1后再减1等于不加了。

师：当a=0时，S会等于？

生： S=n÷2+0-1，就是S=n÷2-1。

师：当a=0，S=n÷2-1，这个规律对吗？我们需要验证。

（教师呈现图2中2个图形，让学生验证一下。学生验证后发现，符合规律）

师：如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么，你能用一个式子就能将这么多式子概括出来吗？

生： S=n÷2+a-1。

（教师将所有公式都画上一个圈，在下面板书：S=n÷2+a-1）

师：其实同学们刚刚发现的公式数学上叫“皮克定理”，我们今天和皮克一样，研究发现了这个定理，真了不起！

[设计意图]在这个结论的抽象过程中，教师逐层叠加，让学生完成抽取结论的“四部曲”——首先让学生猜想和验证内部有3枚、4枚钉子的规律，接着引导学生把概况得到的规律合情推理，类比推广到内部有5枚、6枚乃至更多枚钉子，然后再引导学生从反面来理解规律，通过探讨“当a=0时，S会等于什么”，呈现2个相应的图形来验证，最后把上述探究的规律高度凝练和简洁化。当学生发现只要用一个公式就可以表示所有的规律时，他们惊叹于数学的神奇，进而有效建立了数学系统思维，领略到数学的简洁美。

在以上教学过程中，教师从认知的源头出发，让学生经历了四次数学实验活动。这些探究活动，层层递进，由表及里，不断地向规律的核心靠近。教师用拔钉子的方法，将影响学生数学实验活动的障碍之钉一根根拔去，最终师生一起探寻数学的奥秘。整个实践活动，学生不断在“猜想—验证—概括”的过程中循环实验，师生共同建构，实现了知识共享、情感交流、心灵沟通等多层次的互动，教师把知识的传授、思维的训练、方法的指导、能力的培养、思想方法的渗透有机结合了起来，学生感受到了数学学习的有趣好玩与挑战性，同时点燃了创新的火花，这样的教学显现出无限生机。

注：本文系全国教育科学规划课题“新教改背景下区域推进幸福教育的实践研究”、江苏省基础教育教学改革实验前瞻性重大研究项目、江苏省教育科学“十三五”规划课题“幸福教育育人模式的区域实践探索”“区域推进‘非遗文化进校园的创新探索”研究成果，课题批准号为FHB120486。