边界摩擦条件下含有预紧的对合碟簧隔振单元的振动特性

惠安民，金映丽，张 磊，闫 明，王开平

(1.沈阳工业大学 机械工程学院，沈阳 110870； 2. 海军研究院，北京 100161)

人们很早就意识到可以利用非线性机械元件变形时所产生的变刚度或变阻尼来改善隔振效果是一种非常有效的隔振措施[1]。但由于非线性泛函本构关系的复杂性，使得非线性结构在简谐、随机以及冲击激励下的响应计算存在一定的困难等原因，使得非线性隔振技术在前期应用的并不广泛[2]。但随着科学技术的不断发展，人们对振动控制的要求不断的提高，常规的线性隔振技术已无法满足被动隔振的需要，因此非线性隔振技术在航空航天、机械、建筑、汽车等领域得到了较快的发展。

碟型弹簧(以下简称碟簧)，是一种碟型垫圈式弹簧，其自身具有体积小、承载能力高、加载均匀、缓冲性能良好、在一定条件下具有变刚度的特性，自身还可提供阻尼；可以将多片碟簧以不同的叠放方式，组合构成一种非线性弹性元件或装置，而该类装置由于碟簧受力变形过程中还同时存在Coulomb阻尼和黏性阻尼的特性[3]，因此在非线性隔振领域得到了较为广泛的应用；就目前而言，国内外学者对碟簧以及碟簧类隔振装置进行了大量的分析研究，其中，Almen等[4]系统地对等截面锥形碟簧进行了理论分析与计算研究，给出了碟簧自身几何性质与其承载能力的关系，同时提出碟簧对合放置时，其内部结构的Coulomb阻尼系数最小；La Rosa等[5]、Saini[6]等基于Almen等的研究理论，通过计算分析，分别研究了线性变化截面与抛物线型截面的碟形弹簧的承载能力与变形的关系，并分别推导出了变截面锥型碟簧的载荷与形变公式；Ozaki等[7]通过数值方法对碟簧的摩擦边界进行了静态与动态分析；Patangtalo等[8-9]采用数值方法，对组合碟簧与开槽碟簧的载荷-位移曲线进行分析研究；高跃飞等[10]依据火炮系统冲击缓冲与隔振的需求，建立了碟簧元件的非线性刚度模型，并对该模型的减振性能进行了分析计算；武锐等[11]通过试验数据与有限元模型进行对比，修正有限元模型，并通过修正后的有限元模型，计算出了碟簧在不同组合形式下的静刚度曲线；徐道临等[12]通过有限元软件分析碟型橡胶垫的负刚度特性并通过并联正刚度特性弹性元件设计了一种准零刚度特性的低频隔振系统。

综合以上文献可知，目前对于单一碟簧的静力学性能、边界摩擦条件下的准静力学特性的研究以及应用仿真软件分析常规、异形碟簧加载过程已有丰富的理论基础和实际应用。而组合碟簧和碟簧类隔振装置的振动特性多数文献为简化计算模型，仍将碟簧系统进行刚度或阻尼线性化处理，而线性化很大程度上改变了系统的动力学行为。且鲜有文献针对对合碟簧隔振装置在考虑边界摩擦与承载条件下的非线性振动特性进行研究。因此，本文利用对合碟簧间的边界摩擦，根据实际工程需求，设计一种碟簧隔振单元，并建立该隔振单元的振动微分方程，对其振动特性进行分析研究。

1 碟簧隔振单元

根据实际工程需求，设计了一种碟簧隔振单元，该隔振单元的原理，如图1所示。

图1 碟簧隔振单元Fig.1 Disc spring vibration isolator

从图1可知，该隔振单元的结构特点为：多组对合碟簧串联放置，充当弹性元件；且每对碟簧的对合面处布置有平垫圈，以保证拉压过程中受力均匀以及每对对合碟簧都可以提供足够的摩擦力；初始状态时,碟簧内部存在预压缩量，以保证高静态低动态刚度特性；根据不同的承载条件，隔振单元的初始预紧力可以通过增减上下压板厚度进行调节；上下压板间充入适当硅油进行润滑；不论外界传递给隔振单元的是轴向压力还是拉力，都将被其转化为对组合碟簧的压力，这样在保证结构紧凑的同时，也充分保证对合碟簧组不会出现分离现象。

图2为上述隔振单元中的一对对合碟簧组的剖面图，对合碟簧组包括两个对合的碟簧，为提升系统稳定性并防止对合碟簧出现卡死现象，在对合碟簧中间，加入同材质的垫圈。碟簧为A系列无支撑碟型弹簧，其材料为60Si2Mn。

图2 对合碟簧组Fig.2 Disc spring unit

图2中：D和d分别为碟簧的外径和内径；t为碟簧的厚度；h0为碟片的最大压缩量；H0为碟片的自由高度。

2 摩擦条件下碟簧隔振单元的刚度模型

根据Almen等的理论，碟簧的承载载荷与变形的推导需满足以下三个假设：①碟簧在受到载荷作用后，其轴向截面不发生形变，仍为矩形，且此截面仅绕固定中性点回转，因此径向应力可忽略；②外部载荷和支撑面上的反作用力均沿内、外圆周分布，且碟簧材料本身为完全弹性；③忽略接触表面上的摩擦力影响。由此可知，A系列无支撑面碟簧，其承载载荷与变形的理论计算公式为

(1)

通常，为简化计算求解难度，式(1)可化简为GB/T 1972—2005《蝶形弹簧》规范中的式(2)进行计算

(2)

根据对合碟簧组可知，碟簧间为串联方式，因此对合碟簧组在受到相同在荷条件下，其位移量为单个碟簧的n倍，其刚度变为单片碟簧的1/n倍。其中，n为对合碟簧组中碟簧的个数。

2.1 考虑边界摩擦影响的对合碟簧刚度模型

由于每对对合碟簧都有4个结合面，而每个结合面间都会产生摩擦，因此当碟簧个数n足够大时，其结合面间所产生的摩擦力不应被忽略，应给予充分考虑。根据Ozaki等对碟簧加载过程中摩擦耗散的分析，单片碟簧轴向加载过程中的受力原理图，如图3所示。

图3 单片碟簧轴向加载过程受力原理图Fig.3 Principle diagram of axial loading process of single disc spring

图3中:l为碟簧截面的对角线长；θ为约束面的法线与碟簧截面对角线的夹角；α为碟簧截面绕中性点O的旋转角；Ff为受载压缩后接触面产生的摩擦力；μe为系统摩擦因数；ue为碟簧水平滑动距离。

根据几何关系，其水平滑行距离与碟簧变形量间的关系可近似由式(3)计算

(3)

由此可知，摩擦损耗的能量增量ΔE与其水平滑行距离增量的关系为

ΔE=2Ff·Δue=2Fμe·Δue

(4)

根据式(4)可求得边界摩擦条件下，摩擦力所提供的附加支持力ΔF为

(5)

因此，在不同摩擦因数条件下，单片碟簧加载过程中轴向压缩距离f与附加支持力ΔF的关系曲线，如图4所示。

图4中，碟簧的几何参数为：厚度t=0.5 mm；外径D=28 mm；小径d=10 mm；自由高度H0=1.15 mm；最大压缩量h0=0.7 mm。

考虑边界摩擦条件后，系统总承载如式(6)所示

Fz=F+n·ΔF

(6)

由此可知，当系统处于加载状态时，系统由摩擦引起的附加支持力方向与碟簧弹性力方向一致，此时承载能力增大，系统刚度提高。当系统处于卸载状态时，摩擦力提供的附加支持力与碟簧弹性力方向相反，系统刚度下降。从而使隔振系统产生迟滞特性。

图4 碟簧加载过程轴向压缩距离与附加载荷关系曲线Fig.4 Relationship between additional load and displacement

2.2 准静载加载试验

根据实际工程需求，选用图4中碟簧的几何参数作为隔振单元的碟簧参数，其中碟簧个数n=48。为保证碟簧隔振单元具有较高的承载能力，初始条件下设置预紧力为45 N。为验证上述理论求解载荷过程的正确性，对该设计的隔振单元进行准静态加载试验，并与理论计算结果进行对比。

图5为实测隔振单元的准静态加载试验的力与位移曲线与理论计算曲线的对比。

图5 准静态试验实测曲线与理论计算曲线对比Fig.5 Comparison between measured curve of quasi-static test and theoretical calculation curve

由图5可知，加载过程中，随着摩擦因数的增大，系统的刚度受摩擦力的影响就越大，系统的刚度随着摩擦因数的增大而增大。同时，考虑边界摩擦条件后，根据该隔振单元的准静态实测数据，系统摩擦因数μe约为0.15～0.2的理论计算值可以很好的预测出准静态加载环境下该隔振抗冲单元的力与位移变化情况，该摩擦因数取值范围与文献[13]中吻合。当μe=0时，即系统内不存在摩擦，此时的力与位移曲线应为碟簧单元本身弹性力提供的刚度曲线。

对μe=0时的力与位移曲线进行拟合时发现：曲线可表达为位移的三次函数，即其刚度特性可表为

K1·x+K2·x2+K3·x3+α=F

(7)

式中：K1,K2,K3分别为非线性刚度的一次、二次与三次系数；α为碟簧隔振器初始预紧力；x为隔振单元的位移。碟簧隔振抗冲击单元力与位移特性曲线拟合图,如图6所示。

图6 碟簧隔振抗冲单元力与位移曲线拟合图Fig.6 Fitting diagram of force and displacement curve

显然，当对合碟簧充当弹性元件时，系统刚度无法再应用线性模型进行准确的表达[14]。

3 碟簧隔振单元的动力学模型

通过边界摩擦对系统附加支持力可知，该附加支持力的方向与系统的速度方向相反，因此可以应用符号函数对其进行描述，建立变刚度的碟簧-质量系统模型，其原理如图7所示。

图7 变刚度碟簧-质量系统原理图Fig.7 Schematic diagram of nonlinear disc spring system

图7中：M为系统质量;c为系统黏性阻尼系数;Kt为系统非线性刚度，其刚度变化规律符合式(7)；ΔFn为碟簧边界摩擦引起的附加支持力总和，其值为n·ΔF。

3.1 碟簧隔振单元的自由振动

系统施加载荷后，其平衡位置x0处满足静刚度曲线式(7)，见图7。为研究平衡位置x0附近的自由振动过程，令位移u=x+x0，则该碟簧-质量隔振系统自由振动条件下的微分方程为

(K1·u+K2·u2+K3·u3+α)=F

(8)

(9)

式中：(·)为时间的导数；由于x0为常数项，把位移u=x+x0代入式(8)中，整理可得式(10)

(10)

利用平均法思想，对式(11)进行求解，设方程解的形式为：x=a·cos(ψ)，ψ=t+θ；则可知

(12)

解式(12)的一阶微分方程，并代回到方程解的形式中，可得非线性对合碟簧系统在自由振动条件下的近似振动方程

(13)

式中，a0和θ0的值由系统的初始条件确立。通过式(13)可知，该非线性系统的振动频率不仅与刚度的一次方和承载质量有关，还与刚度的三次系数和初始运动状态、系统黏性阻尼、附加支撑力均相关。为全面探求该碟簧系统的隔振性能，下面对该碟簧系统的受迫振动进行分析。

3.2 碟簧隔振单元的受迫振动

由于该隔振单元主要应用于基础激励下的隔振与抗冲击防护，因此在考虑边界摩擦条件以及承载质量为M条件下，建立其基础激励下的运动微分方程

(14)

(15)

f(σ)=σ+α1·σ2+α2·σ3

设非线性方程在Ω=1的主共振区域附近，其响应为

σ(τ)=A(τ)·cos(Ωτ-θ(τ))

(16)

式中，振幅A(τ)与相位θ(τ)为时间的慢变函数。根据Klotter[15]提出的对上述微分方程的求解方法，可应用式(17)计算其幅频特性方程

(17)

式中：A0为函数A(τ)的最大值；λ为虚拟积分变量；整理式(17)可得系统的幅频特性方程为

(18)

同时，该系统的绝对位移传递率为系统质量M的最大位移x0与基础的最大位移y0之比，即

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(19)

由此可知，该隔振单元的幅频特性、绝对位移传递率与非线性刚度二次项系数α1无关，而主要由非线性刚度三次项系数α2、黏性阻尼系数μ1、以及附加支持力系数μ2决定。

4 隔振参数对系统传递率的影响分析

为研究系统参数对该对合碟簧隔振单元隔振性能的影响，选用绝对位移传递率系数T′d(其值为20·logTd)描述系统隔振性能，并变换式(15)中相关系数。其具体过程如下。

4.1 小位移条件下的受迫振动

当系统的相对轴向位移z很小时，通过图4可以看出系统内摩擦力提供的附加支持力ΔFn也很小，此时，附加支持力ΔFn对系统的影响也很较小。因此，小位移条件下，为研究该对合碟簧系统与非线性刚度的黏性阻尼系统间的差异，以及刚度非线性系数α2对隔振系统传递率的影响，进行如下比较。

应用matlab对式(17)的六次多项式求解，并计算不同参数下的位移传递率系数，如图8所示。为小位移条件下，不同附加支持力系数μ2对系统位移传递率系数的影响：其中非线性刚度三次项系数α2=0.2、黏性阻尼系数μ1=0.2。

图8 不同附加支持力系数μ2 对系统传递率的影响Fig.8 Influence of different additional supporting force coefficient μ2 on system transfer rate

从图8可知，在位移较小且系统中附加支持力ΔFn不大的情况下，对合碟簧隔振单元的传递率曲线近似等于同等非线性刚度的黏性阻尼系统，附加支持力系数μ2仅改变了系统的脱离频率Ωb，即随着μ2的增大，系统脱离频率随之增大，但增大速率随着μ2的增大而逐渐减小。

图9为小位移条件下，非线性刚度三次项系数α2对系统位移传递率系数的影响。其中附加支持力系数μ2=0.05、黏性阻尼系数μ1=0.2。

图9 不同非线性刚度三次项系数α2对系统传递率的影响Fig.9 Influence of different nonlinear term coefficients α2 on system transfer rate

4.2 大位移条件下的受迫振动

当系统的相对轴向位移z较大，系统中的摩擦力所引起的附加支持力ΔFn足够大且不可忽略时，为研究μ1与μ2对该对合碟簧隔振系统的隔振特性的影响，分别对不同系数条件下碟簧隔振单元进行求解计算，并绘制传递率曲线，如图10所示。

图10为刚度三次项系数α2=0.2、黏性阻尼系数μ1=0，以及附加支持力系数μ2分别等于0.1，0.5，1.3以及1.5的传递率曲线。从图10可知，大位移情况下，系统的脱离频率变化规律与小位移条件下的变化规律相似，即增大μ2的值，会使脱离频率变大，但当μ2的值持续增大，使得脱离频率接近隔振区临界隔振频率时，系统的左侧传递率分支出现异常跳跃现象(见图10(a))。当μ2的值继续增大，系统传递率呈现的形式(见图10(b))。此时，系统不会发生向共振分支的跳跃现象[16]，且在全频域内，系统的传递率系数T′d≤0。

图10 大位移条件下μ2对系统传递率的影响Fig.10 Influence of μ2 on system transfer rate under large displacement

同时，分别计算表1中的参数，以验证大位移条件下，不同μ1值对对合碟簧隔振系统隔振效率的影响。

表1 计算相关参数Tab.1 Related parameters

将表1中的参数代入至幅频特性方程式(18)，进行求解，并绘制传递系数曲线图，仅当μ1较小时，观察到如图10中的异常跳跃现象，但当μ2足够大时，均观察到系统出现全频域传递率系数T′d≤0的情况。不同μ1值中系统出现全频域传递率系数T′d≤0时的传递率曲线，如图11所示。由此可以发现随着μ1值的增大，系统到达全频域传递率系数T′d≤0状态时所需的μ2值变小，较大的μ1值会改善共振状态，使共振峰降低，但会影响高频区的隔振效率。

图11 大位移条件下μ1对系统传递率的影响Fig.11 Influence of μ1 on system transfer rate under large displacement

5 结 论

(1)考虑边界摩擦条件下的对合碟簧隔振单元，其内部摩擦会提供给系统一个额外的支持力，该支持力的方向与系统运动速度方向相反，且大小在一定范围内与系统的相对位移成正相关。

(2)自由振动条件下，含有预紧的对合碟簧隔振单元的振动频率不但与刚度的一次方系数和承载质量有关，与刚度的三次系数和初始运动状态、系统黏性阻尼、附加支撑力均相关。

(3)小位移受迫振动条件下，该对合碟簧隔振系统可以简化为非线性刚度的黏性阻尼系统，其附加支持力系数μ2仅影响系的统脱离频率，且刚度三次项系数α2的值选取过大，不利于隔振。

(4)大位移受迫振动条件下，当系数μ1较小时，μ2的持续增大会使系统进入异常跳跃状态和全频域内的传递率系数T′d≤0状态，且μ1值越大，到达两种状态所需的μ2值就越小。而当系数μ1的值较大时，μ1值会改善共振状态，使共振峰降低，适当增大μ2值可使系统在全频域内的传递率系数T′d≤0，但过大的μ1值会影响高频隔振效果。