由数列递推关系探究通项公式———2020年全国卷Ⅲ数列题的解答

◇ 云南 周必辉

数列因规律性强、题型多样、方法灵活等特点,成为高考命题的重点,其中给出递推关系求通项公式问题是有效考查考生化归转化能力、推理论证能力的重要题型．本文以2020年全国卷Ⅲ数列解答题为例,探究根据递推关系求通项公式的方法．

1 考题说明

例(2020年全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＝3,an＋1＝3an－4n．

(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明；

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．

数列的递推关系在人教版教材中虽然是以选学内容出现,但在高考中以递推关系为背景的命题却屡见不鲜．本题第(1)问考查考生根据递推关系求通项公式,所给的递推关系类型是an＝Aan－1＋f(n)．下面对这类问题的求解方法进行总结,并应用这些方法解答此题．

2 解法综述

根据不同的递推关系类型,常用的解题方法主要有如下4种．

1)叠加法

对于an－an－1＝f(n)的形式,可利用叠加法求通项公式,即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n)＋f(n－1)＋…＋f(2)＋a1．

2)叠乘法

3)构造法

此方法适用的类型较多,构造的原理是将所给的递推关系进行变形,将其构造为等差数列或等比数列的形式．

4)归纳法

通过观察数列前几项,猜想出其通项公式,再进行证明．

3 问题解答

在某些问题的求解中,往往需要综合应用多种方法．本题第(1)问旨在考查利用归纳法求通项公式,下面从多种视角进行解法探究．

解析

方法1由a1＝3,an＋1＝3an－4n,可得a2＝3a1－4＝5,a3＝3a2－4×2＝7,a4＝3a3－4×3＝9,猜想an＝2n＋1．

证明：当n＝1时,a1＝2×1＋1＝3．设当n＝k时,ak＝2k＋1,则当n＝k＋1时,ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2(k＋1)＋1,所以{an}的通项公式为an＝2n＋1．

点评

应用此方法求数列的通项公式时,要准确识别条件中隐含的关系,平时学习中要注意积累一些特殊的关系,如奇数、偶数、正整数的平方与立方等．

方法2将an＋1＝3an－4n两边同时除以3n＋1,得,即进而由叠加法可得

两式相减得

点评

本解法通过对所给递推关系进行变形,将其转化为可利用叠加法求解的形式,再利用错位相减法及等比数列的求和公式求得结论．

方法3设bn＝an＋λ n＋μ,则an＝bn－λ n－μ,代入an＋1＝3an－4n中,得bn＋1－λ(n＋1)－μ＝3(bn－λ n－μ)－4n,即bn＋1＝3bn－ (2λ＋4)n＋λ－2μ．

点评

本解法是通过待定系数法构造等比数列bn,而由已知可求得b1＝0,所以{bn}为常数列,各项均为0,进而求得数列{an}的通项公式．

方法4由an＋1＝3an－4n,得an＋2＝3an＋1－4(n＋1),两式相减得an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)－4．

令bn＝an＋1－an,则bn＋1＝3bn－4．

设bn＋1＋λ＝3(bn＋λ),即bn＋1＝3bn＋2λ,由2λ＝－4得λ＝－2,所以数列{bn－2}的首项为b1－2＝a2－a1－2＝5－3－2＝0,且知b2＝2,所以{bn}为常数列,bn＝an＋1－an＝2,即数列{an}是公差为2的等差数列,所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1．

点评

在得出an＋1＝pan＋q(p≠0,q≠1)的递推关系后,可利用待定系数法,即引入参数λ,令an＋1＋λ＝p(an＋λ),将其展开后与原递推关系对照,求得λ值,从而构造{an＋λ}为等比数列．

由第(1)问知an＝2n＋1,则2nan＝(2n＋1)2n,进而可利用“错位相减法”求其前n项和．第(2)问较为简单,在此不再赘述．

综上所述,给出递推关系求数列通项公式的过程其实就是转化的过程,即将一般化特殊、将陌生化熟悉．教学中我们只学了两类特殊的数列,即等差数列和等比数列,因此所求问题最终都要转化为与等差或等比数列相关的问题来求解．