函数极限求值的教学方法探究

慕 嘉 董积发

西北民族大学数学与计算机科学学院 甘肃 兰州 730000

引言

极限思想已有非常悠久的历史,例如,我国著名数学家刘徽的割圆术就利用了极限思想。由于极限的重要性,一直以来都备受学者的关注[1－6]。本文在这些基础上,继续系统总结计算函数极限的十种主要方法。这些方法的多样性及灵活性容易导致学生不会求极限或张冠李戴地使用错误。因此本文分析及总结各种方法的使用范围和注意事项,并且在分析归纳中给出说明和易错点总结。

1 函数极限求值的十二种教学方法

2．1 利用函数极限的定义求极限的教学方法 函数极限的ε－δ定义[1]是比较经典的函数极限定义方式,相比其他的定义形式,这种方法量化的尺度更为精确,直接刻画了函数与其极限之间的逼近程度。

在这种方法的使用方面,要给学生强调主要用于证明函数的极限。并且在证明过程中,首先要让函数和极限值之间的距离小于任给的正数ε,然后根据自变量的变化趋势求出相应的δ或M等关键参数值。

2．2 利用夹逼原理求极限的教学方法 需要给学生说明这种方法适合于最初只能估计范围,而不能直接用函数极限运算法则来计算的题目。而且在使用这种方法时,需要一定的经验,保证放大或缩小得适当,而不能出现放大和缩小的式子极限不存在、不容易计算或不相等而无法使用本方法的情况。

2．3 利用两个重要极限求极限的教学方法 关于这个方法,需要给学生强调适合于能转化为两个重要极限的题型。关于第一个重要极限,需要注意x的位置可替换为其他形式的变量,但变化趋势一定是趋于0;关于第二个重要极限的位置也可替换为其他形式的变量,但变化趋势一定是趋于无穷。这些方法看似简单,学生却非常容易只看函数形式不管自变量变化趋势而使用错误,所以需要强化训练以熟练正确地运用。

2．4 利用变量替换求极限的教学方法 为了将极限式中未知的函数极限变量删繁化简,或者将所求极限转化为已知的函数极限,有时可以使用变量替换方法。但给学生要强调的是利用变量替换后必须由难化易,否则没有意义。

2．5 利用等价无穷小代换求极限的教学方法 等价无穷小代换求极限是极限计算题中常用又比较特殊的方式。在计算极限时,首先第一步都应该判断下可否用这个方法将原题简化。因为它不是一类可以完全解决问题的方法,它的作用是“化简”。因此利用等价无限小代换常常与其它求极限的方式搭配使用。但熟悉地掌握运用等价无穷小进行化简求极限是必备的技能,为此首先要求学生熟记常用的等价无穷小,另外要正确使用:无穷小作为乘除形式出现时才可替换,以加减形式出现时不能替换,以免使用不当引起错误。

2．6 利用连续定义求极限的教学方法 这里需要给学生强调,这种方法适用于函数在自变量的极限点处连续的情形,如果是无穷,则指的是自变量在变化过程中连续。有些很复杂的函数利用别的极限求值方法会非常麻烦,但如果满足本方法的要求,则处理起来会简单很多。

2．7 利用导数定义求极限的教学方法 这种方法适合于可转化为一点处函数值增量与自变量增量之比的极限值的有限次四则运算或复合运算的题型,增量的形式并不拘泥于课本中导数定义中的形式,只要大小相当就可以。所以深刻理解导数定义,并能灵活地应用是该方法的关键。

2．8 利用洛必达法则求极限的教学方法 这种方法可适用于及∞－∞、0．∞、00、1∞、∞0型等可以转化为前两种情形的题型。在考虑利用洛必达法之前先要检测下题目是否可用等价无穷小代换或其他方法的方法来简化,并且如果分子导数与分母导数之比的极限不存在,这时不能得出原式极限不存在的结论,而应该使用其他方法解决。

2．9 利用麦克劳林公式求极限的教学方法 在求函数极限的问题中,洛必达法则是比较有效的一种方法,但当式子很繁杂的时候,使用洛必达法则可能会直接导致计算量增大,这时可以直接利用第一麦克劳林展开式加以解决。另外需要在计算无穷小过程中特别注意对高阶无穷小的函数进行运算和处理[7]。

2．10 利用含参变量积分求极限的教学方法 这里的方法主要有:可以运用含参变量积分的连续性计算积分的极限,或者利用夹逼原理计算积分的极限,或者利用含参变量积分的中值定理求积分的极限,或者利用洛必达积分法则求积分的极限,或者利用欧拉积分定律求极限,或者利用极限的定义求极限等。

在此以利用含参变量积分的连续性定理求极限来说明其应用技巧。如果被积函数连续,那么可以通过使用含参变量积分的函数连续性定律求得函数的极限。如果被积的函数不连续,但是极限仍然存在,则我们可以通过补充或者连续改变被积函数的极限值使得被积的函数连续后,最后再使用含参变量积分的连续性定理计算函数极限的值。在求含参变量的积分过程当中,已学的各种含参变量方法原则上都可以适用,但不同的地方就是这里我们需要充分运用含参变量积分的各种基本性质及变量积分定理来灵活处理题目。