论“无穷事物”的定量认知（IX）——新开发的“无穷载体理论”中“无穷载体基因”与“无穷载体尺度”

欧阳耿

（闽南师范大学 数学系，福建 漳州 363000）

集合论和数学分析开拓者们的伟大之处在于他们以“实无穷”的思路开辟了一个对“无穷数学事物”进行定量认知的数学领域.但是，经典无穷理论体系基础理论的缺陷，使人们（包括康托） 几千年来根本就不可能知道“实无穷”与“潜无穷”究竟是什么、它们之间究竟有什么区别与联系，根本就不可能知道“实无穷”在数学领域具体内容的理论、操作与各种实践中究竟是如何“实”的’——“实无穷”只是一个理论上与实践上都很空洞的概念.这种致命缺陷深深影响着与“无穷”概念相关领域的数学工作者各种认知与操作行为的科学性，必然导致不良的认知结果’——几千年来数学上空悬而未决的“无穷悖论综合症”乌云就是最好的证明[1-43].

1 现有经典集合论与数学分析中所面临的难题与新的工作思路

在对数学事物进行科学的定量认知过程中，人们需要根据所掌握的知识分析、了解被认知数学事物的性质、存在条件与表现形式，知道它们是什么，才可能通过相关的理论与操作技术达到认知目的.科学史的研究使我们了解到，在对“有穷事物”定量认知过程中的“分析、了解、操作”方面，人们做得很成功.但是，现有经典无穷理论体系基础理论中的致命缺陷（特别是“实无穷理论缺失”），决定了自古以来，人们在对各种“无穷事物”开展定量认知工作的一些基础部分中做得很不成功，根本就没办法（不可能）对它们实施科学、充分、必要的“分析与认知”，不可能清楚地从本体与形式上了解所要认知的“无穷数学事物”是什么、应该有什么样科学的认知理论与操作技术[1-43]！

1.1 所面临的难题

文[1-43]的研究使我们了解到，以经典无穷理论体系为基础的现有经典数学分析和集合论是专门对“与无穷相关的数学事物”进行定量认知的数学领域.然而，其基础理论中根本就不可能得到科学定义的，既互相矛盾、互相混淆又空洞的“潜无穷—实无穷”概念，导致这两个数学领域都无法逃避性质上完全相同的两种基础理论缺陷：（1） 理论上，“潜无穷概念、实无穷概念”混淆；（2） 操作上，“潜无穷数学事物、实无穷数学事物”混淆.所以，一方面，人们不得不将各种各样“与无穷相关的数学事物”，都当作由“潜无穷、实无穷”这两个概念混在一起的“数学事物”，想尽各种办法编造能与错误的基础理论相配合的某些“形式语言、形式逻辑”和某些“便于混淆的‘是自己—非自己’的数学事物”；另一方面，人们根本就无法真正科学的认知现有经典数学分析和集合论中的那些“可以随意混淆的‘是自己—非自己’的数学事物”是什么、该如何对它们实施具体的定量认知操作.完全相同的基础理论缺陷决定了现有经典数学分析和集合论中必然存在完全相同的定量认知理论和操作理论缺陷、无法制止各种各样“无穷数学事物定量认知悖论”的产生.并且，这些悖论必然以“悖论家族、悖论综合症”的形式生存.不断涌现的“无穷悖论”家族成员在不同的历史时期中，从不同角度反复揭示经典无穷理论体系中与“潜无穷—实无穷”概念相关的各种基础理论缺陷、呼吁人们解决这些缺陷.正是经典无穷理论体系中基础理论的这种致命缺陷所构筑的一道无法逾越的认知屏障，才是悬而未决的第二次与第三次数学危机的真正根源，直接导致2500 多年来无法摆脱的“无穷数学事物认知疾病”：数学分析中由各种各样“既是‘潜无穷’又是‘实无穷’（‘既是数又不是数’、‘既是自己又不是自己’、‘既是无穷又不是无穷’——无穷小、变量、单子……）的数学事物”所导致的所有芝诺悖论与贝克莱悖论家族成员[1-14]；集合论中由各种各样“既是‘潜无穷’又是‘实无穷’的数学事物（具有T={x|x∉x}性质的‘既属于某集合又不属于某集合’的集合中的元素’——‘变元素—变集合’）”所导致的所有罗素悖论家族成员……[13-20].

与“无穷”概念相关的现有科学、数学领域中存在如下几个难题：

（1） 现有经典无穷理论体系基础理论中存在“‘潜无穷、实无穷’混淆”与不可避免的“载体理论缺失”致命缺陷.

（2） 现有经典集合论和数学分析都只能以现有经典无穷理论体系为基础，它们的基础理论中必然存在完全相同的“‘潜无穷—实无穷’混淆”与不可避免的“载体理论缺失”致命缺陷.

（3） 完全相同的基础理论致命缺陷决定了现有经典数学分析和集合论中存在性质完全相同的、根本就不可解的各种各样“无穷悖论”——“无穷悖论综合症”.

1.2 新的工作思路

在文[1-43]中，我们已经从知识背景、原因、现状等方面对与“无穷”概念相关的数学基础理论中所存在的各种主要缺陷及其所导致的问题进行了系统性研究与讨论.结果证明，必须抛弃既无法科学定义又互相矛盾的“潜无穷—实无穷”概念，构建、开发以“抽象事物—抽象事物的载体”概念为基础的新无穷理论体系及其相关的无穷载体理论，研究、开发、奠定“无穷数学事物定量认知基础理论”，开辟一条新的“无穷数学事物定量认知”思路.

2 现有经典无穷理论体系基础理论中所存在的缺陷必然导致与“无穷”概念相关的数学领域中不科学的定量认知理论与结果

自从人类科学中产生“无穷”概念以来，人类数学中必然出现了“与‘无穷’概念相关的数学事物（比如与‘无穷大、无穷小’相关的数量形式、与‘无穷多’相关的无穷集合中的元素……）”，人们就开始了对“无穷数学事物”进行定量认知与研究（比如研究它们各种各样的存在形式，比较它们之间的‘大、小、多、少’，如何与‘有穷数量形式’发生关系，如何参与运算……）.所以，我们就有了专门研究“无穷数学事物”的数学领域（比如数学分析和集合论）[1-43].

2.1 现有数学分析中无法避免的“无穷数学事物定量认知基础理论缺陷”所导致的不良定量认知理论、操作与结果

究竟该如何认知“无穷”、“无穷小”、“无穷大”、“X→0”的数量形式等这类与“无穷”概念相关的数学内容及之间的关系，特别是该如何认知数学分析中各种各样被认知的“既是‘潜无穷’又是‘实无穷’的数学事物’——‘变量、潜无穷数量形式、实无穷数量形式’”？繁荣昌盛的“无穷悖论家族”证明，这是现有数学分析中一直悬而未决的问题.

2.1.1 与“无穷”概念相关的数量形式、数量体系中的缺陷与新的研究成果

我们已经在文[25-43]中对与“无穷”概念相关的数量形式和数量体系进行了系统性研究与讨论，揭示旧数量形式、数量体系中的缺陷，开发、构建与“无穷”概念相关的新的数量形式与新数量体系.文[43]中介绍了新的“半阿基米德性”概念.数学史证明，人们需要对那些具有“阿基米德性”或“半阿基米德性”的数量形式开展各种各样必要的定性、定量认知与研究[20-43].

2.1.2 与“无穷”概念相关的数量形式处理理论、操作的缺陷与新的研究成果

我们已经在文 [7-12]中对数学分析中与“无穷”概念相关的数量形式处理理论与操作的缺陷（比如极限论及其操作等等）进行了系统性研究与讨论，开发了以新无穷理论体系及其相关的载体理论为基础的新极限论.

2.1.3 现有数学分析中与“无穷”概念相关的悖论家族：芝诺悖论家族和贝克莱悖论家族

2500 多年来，人类一直沿用芝诺时代的经典“潜无穷—实无穷”观并以此作为现有经典无穷理论体系的基础理论，导致了自古以来，人们在以经典无穷理论体系为基础的极限思想、极限理论对“无穷事物”开展定量认知过程中无法科学地认知“X→0 的数量形式”——理论上无懈可击、完美无缺，但实际上完全无法自圆其说（反之亦然），决定了“芝诺悖论家族”和“贝克莱悖论家族”的产生和悬而未决.

（1） 2500 多年来悬而未决的芝诺悖论家族成员——新发现的调和级数悖论.

新发现的“调和级数悖论”是指，以经典无穷理论体系为基础的极限思想、极限理论所决定的Oresme 于1360 年前后给出的那个“加括号操作法”会产生的悖论.它是数学分析中“无穷数学事物定量认知基础理论缺陷”的一个典型案例，我们可以在现有的许多数学课本和专著中看到被奉为经典和级数基础理论的那个证明[1-14].

人们允许、肯定、赞美该证明中那种以现有经典极限论为基础的“对调和级数中的数项加括号求和，得到无穷多个大于任意常数项的操作法”！必然要承认如下各种加括号求和操作法的科学性：

采用可以产生1 个1/2 的加括号法则操作

采用可以产生2 个1/2 的加括号法则操作

我们目睹了一个活生生的芝诺悖论现代翻版的典型案例：成功应用极限思想、极限论对“阿基里斯追不上乌龟定理”进行严格的数学证明.阿基里斯就是这个证明中的多项式加括号操作法，而乌龟就是调和级数.尽管善跑的阿基里斯步伐可以越大越快（甚至可以是喷气式飞机的速度），但是在理论上乌龟将永远在他的前面——尽管多项式加括号操作法可以越大越快处理掉调和级数中的许许多多数项，但理论上却永远有无穷无尽可用多项式加括号操作法去处理的数项.自古以来，与“无穷”相关的数学基础理论的缺陷，使许多人错误的认为“可能存在的无穷过程就是可能存在的无穷计算”.所以那里的阿基里斯永远追不上乌龟，而这里的多项式加括号操作法可以永远进行下去，而得到无穷多个大于10100000的量.在几十年来的“调和级数悖论”问题讨论中，人们囿于“调和级数发散”这种固定思路，拒绝思考笔者研究中反复指出的“循环论证怪圈（逻辑循环怪圈）”问题：（1） 先用“加括号操作法”证明可以从Un→0 的调和级数中得到无穷多个大于1/2或10100或10100000或……数项，而将Un→0的无穷常减调和级数变成一个Un→10100000的无穷常增级数，得到调和级数发散的结论（在与“无穷”相关的现有数学理论体系中，至少有20种方法可以证明调和级数发散，但是万变不离其宗）；（2） 说因为调和级数是发散的，所以必然可以用“加括号操作法”从Un→0 的调和级数中得到无穷多个大于10100000的数项[1-14].

2500 多年来，悬而未决的芝诺悖论家族成员一直在不同场合、不同时间中要求人们回答：为什么那些“X→0 数量形式”在整个定量认知过程中可以永远具备与“有穷”相关的数量形式相同的数量意义（没人敢对芝诺悖论家族成员正在运算中的“X→0 数量形式”喊声“令其为零”或“取其极限”或“取其标准数”，所以它们就永远不会变成太小而失去运算资格、不会被赶出相关算式），而得到“正确”结果？与“无穷”相关的基础理论的缺陷使人们必然不可能逃避“有限个X→0 数量形式相加”与“无限个X→0数量形式相加”之间本质性区别的混淆.600 多年来，人们一直没办法了解、认识这样一个事实：调和级数中的加括号法所进行的定量认知操作是无穷多次“从某项到某项（有限个X→0数量形式）相加，求出无穷多个10100000的数项中的某个10100000操作”，而不是无穷多次“无限个X →0 数量形式相加的操作，求出无穷多个10100000的数项中的某个10100000操作”.

（2） 悬而未决的贝克莱悖论家族——现有数学体系中不可解的第二次数学危机.

作为另一个典型案例，贝克莱悖论家族成员直到现在还一直在不同场合、不同时间中要求人们回答：为什么“X→0 数量形式”可以在定量认知过程中突然间失去与“有穷”相关的数量形式相同的数量意义（突然间有人对贝克莱悖论家族成员正在运算中的“X→0 数量形式”喊了声“令其为零”或“取其极限”或“取其标准数”，所以它们就突然间变成太小而失去运算资格、必须被赶出相关算式），而得到“正确”结果[1-14]？

“X→0 数量形式”定量认知过程中这种“蛮横无理、随心所欲进出算式”的情况自古以来一直就存在于与“无穷”概念相关的数学领域中，只不过是到了芝诺时代和贝克莱时代才由他们编了个芝诺悖论和贝克莱悖论，暴露了现有数学分析中仍然随处可见的庞大的芝诺悖论家族和贝克莱悖论家族中的所有成员，尖锐、勇敢地指出这种无法自圆其说的“X→0 数量形式”定量认知操作所揭示的人类在“有穷、无穷、潜无穷、实无穷、极限思想、极限论……”认知领域中一直悬而未决的基础理论缺陷[1-14].

人类科学中，由于相关基础理论的缺陷所导致的认知工作中的逻辑矛盾现象就是悖论（比如所有芝诺悖论家族成员与贝克莱悖论家族成员的“自我反驳共性”——理论上无懈可击但实际上无法自圆其说，反之亦然）.所以，只有解决相关基础理论的缺陷，才有可能根除相应的悖论.在文[1-14]中，我们将现有数学分析中各种各样与“无穷”概念相关的悖论联系起来分析、研究，发现他们之间的一个共同的“无穷数学事物定量认知基础理论缺失”缺陷：人们根本就不可能自圆其说的解释为什么、应该在定量认知运算过程中的何时何处对被认知的“X→0 数量形式”实施那些“令它们为0、对它们取极限、对它们取标准数”的操作.所以，在现有经典数学分析中，许许多多与“无穷数量形式”相关的运算过程及其结果就必然成为悖论——不是芝诺悖论家族成员就是贝克莱悖论家族成员.这就是为什么我们很肯定的说，芝诺悖论家族和“第二次数学危机”在以经典无穷理论体系为基础的现有科学理论体系中是不可解的[1-14，25-39].

2.2 现有集合论中无法避免的“无穷数学事物定量认知基础理论缺陷”所导致的不良定量认知理论、操作与结果

集合论中繁荣昌盛的“无穷悖论家族”史研究使我们清楚地了解到，人们一直没办法科学的认知“无穷”“无穷大”“无穷多”“集合”与“集合中的元素”这些概念及之间的关系，特别是没办法认知集合论中各种各样“既是‘潜无穷’又是‘实无穷’的数学事物’——变元素—变集合—潜无穷集合—实无穷集合”[13-19]？

2.2.1 “元素—集合”理论缺陷与新的研究成果

我们在文[25-43]中的研究证明，现有经典集合论中主要的“无穷数学事物定量认知基础理论缺陷”之一，就是整个“元素”理论缺失，因为它完全忽视了无穷集合中“具有特殊性质、特殊存在条件、特殊表现形式和特殊之间关系的无穷元素”的重要性.所以，现有集合论中必然导致对如下内容的认知缺陷：“集合”的定义、构成集合的“元素”的定义、“元素”与“集合”之间的必然与独一无二关系、“集合谱系”…….我们在文[43]中介绍了新的“元素”理论、新的无穷集合定义和新的“集合谱系”.

2.2.2 “无穷数学载体”处理理论与操作的缺陷与新的研究成果

在文[36-43]中，我们已经从不同角度研究和讨论了现有经典无穷集合论中对“无穷数学载体”处理理论与操作（比如基数理论、超穷数理论、一 一对应理论与操作等等）中的缺陷，介绍了以新无穷理论体系、新载体理论、新“元素—集合”理论为基础的集合论中的新“无穷数学载体”处理理论与操作.

2.2.3 现有集合论中的罗素悖论家族成员

将现有经典集合论中与“无穷”概念相关的各种各样悖论联系起来分析、研究，会发现他们之间的一个共同特症：它们必然都含有“既是‘潜无穷’又是‘实无穷’（既是自己又不是自己、既是无穷又不是无穷、既属于某集合又不属于某集合）”这类具有T={x|x∉x}}性质的数学事物——“变元素、变集合”.悬而未决的罗素悖论家族成员是现有集合论中所存在的“无穷数学事物定量认知基础理论缺陷”的一个典型案例.

与“无穷”相关的数学基础理论的缺陷，决定了人们可以随意给许多无穷集合中的某些元素赋予“既属于某集合又不属于某集合”的性质，而构造出各种各样表现形式不同的罗素悖论家族成员（比如实数集合不可数证明中那些事先藏起来、然后再“变”出来的具有T={x|x∉x}性质的元素，“康托定理”证明中突然间出现的那些具有T={x|x∉x}性质的元素，“既是A村子里的人却又不属于A 村人”的理发师，“既永远满客却又永远有空房间”的希尔伯特旅馆……）[13-19].

罗素悖论家族成员直到现在还一直从不同角度、在不同场合、不同时间揭示“无穷数学事物定量认知基础理论缺失”缺陷：为什么在以现有经典无穷理论体系为基础的集合论中，人们根本就无法避免“既是‘潜无穷’又是‘实无穷’性质的数学事物”（随时可以产生、出现的T={x|x∉x}数学事物）？这就是为什么我们很肯定的说，第三次“数学危机”在以经典无穷理论体系为基础的现有科学理论体系中是不可解的[13-19，36-43].

3 寻求解决问题的答案

3.1 构建“新无穷理论体系”、开发新的“无穷数学载体理论体系”

在文[1-43]中，我们从不同角度对现有经典无穷观中几千年来一直悬而未决的致命缺陷进行了深入细致的研究，找到解决问题的答案：抛弃现有经典无穷理论体系中不科学的（错误的）“潜无穷—实无穷”概念，开发以科学的“抽象无穷概念—抽象无穷概念的载体”为基础的新无穷理论体系，用科学的、新的无穷理论体系中的“抽象无穷概念的载体”概念取代现有经典无穷理论体系中不科学的（错误的）“实无穷”概念，开发新的“无穷数学载体及其相关的定量认知操作理论”.

3.2 无穷数学载体理论中的几个新研究成果

3.2.1 无穷数学载体（抽象概念的载体）

科学史的研究使我们清楚地了解到，人们只能对“抽象概念的载体”进行定量认知，而不可能对“抽象概念”进行定量认知——人们只能对具体的“抽象水果概念的载体（比如香蕉、苹果、桃子葡萄……）”进行定量认知，而不可能对“抽象水果概念”进行定量认知；在数学中，人们只能对具体的“抽象无穷概念的数学载体”进行定量认知，而不可能对“抽象无穷概念”进行定量认知.

在以“抽象概念—抽象概念的载体”为基础的新无穷理论体系中，我们抛弃了“潜无穷—实无穷”概念，用“抽象无穷”概念取代“潜无穷”概念、用“无穷载体”概念取代“实无穷”概念.从此，人类不再纠缠于“潜无穷—实无穷”，而是可以全力以赴开发“无穷载体理论”，对与“抽象无穷概念的数学载体”相关的各种各样内容开展全面、系统、科学的研究与认知[20-43].

3.2.2 无穷数学载体基因（抽象概念的载体基因）

循“无穷载体”的研究思路，我们清楚地了解到，在与“无穷”相关的现有人类数学领域中存在各种各样的无穷数学载体，每一种无穷数学载体必然存在各自独特的性质、独特的存在条件和独特的表现形式.研究证明，在经典无穷理论体系中，基础理论的缺陷使人们根本就不可能对各种具体的“无穷数学载体（比如数学分析和集合论中各种各样与‘无穷’相关的具体数学事物）”开展科学的定性与定量认知，根本就不可能知道应该去研究、去了解人类所要认知的各种各样“无穷数学载体”为什么会具有各自独特的性质、独特的存在条件和独特的表现形式？

在以“抽象概念—抽象概念的载体”为基础的新无穷理论体系中，我们引进“抽象概念的载体基因（无穷数学载体的基因）”概念，说明无穷数学载体的基本构造和性能——正是与生具有的“载体基因”决定了不同的“无穷数学载体”具有各自独特的性质、独特的生存条件和独特的表现形式，保证了人类有可能对各种各样不同的无穷数学载体进行“实实在在”的、具体的定性与定量研究、认知[25-43].

3.2.3 无穷数学载体尺度（抽象概念的载体尺度）

与“无穷”相关的数学史的研究使我们清楚地了解到，在以经典无穷理论体系为基础的现有人类数学领域中，人们根本就不可能知道各种各样的“无穷数学载体”居然具有由自己的基因所决定的独特的性质、独特的生存条件和独特的表现形式.所以，人们深深陷入一个无法自拔的“无穷数学载体”定量认知误区的泥潭.在大多数具体的“无穷数学载体”定量认知过程中，只能是将各种各样与“无穷”相关的数学载体混在一起，编造某些形式语言和形式逻辑将它们当作毫无区别的“数学载体”进行统一的定量认知操作，而有时又感觉到它们之间似乎应该有所区别，只好就再编造另一些形式语言和形式逻辑将某些“无穷数学载体”当作确实有区别的“数学载体”进行定量认知操作（比如X→0 的各种数量形式、基数理论、实数不可数理论、超穷数理论……）.所以，各个“无穷悖论家族”的产生根本就无法避免、无法得到解决.因为不管多么努力，人们根本就不可能知道不同的“无穷数学载体”之间在本体与形式上是否有区别、具体的区别是什么、应该如何对不同的“无穷数学载体”开展科学、有效的定性、定量认知工作[1-43]？

我们引进由“抽象概念的载体基因（无穷数学载体的基因）”为基础的“无穷数学载体尺度（抽象概念的载体尺度）”新概念.这个新概念专门用来表示那些由“载体基因”所决定的、保留“无穷数学载体”性质的最小或最大定量认知单位，使我们可以从不同角度对各种各样不同的“无穷数学载体”开展科学、有效的定性、定量认知工作——表示最小或最大某种面积的数学载体尺度、表示最小或最大某种速度的数学载体尺度、表示最小或最大有理数的数学载体尺度……；自然数集合中所含元素的“无穷载体尺度”必然小于有理数集合或实数集合中所含元素的“无穷载体尺度”，因为自然数集合中所含元素的“自然数载体基因”决定了自然数集合中不可能会含有“非自然数载体基因”的元素（比如有理数或实数），即“有理数载体基因或实数载体基因”决定了有理数集合或实数集合中所含元素数量必然比自然数集合中所含元素数量多——有理数集合或实数集合中所含元素的载体尺度必然比自然数集合中所含元素的载体尺度大；任何母集中所含元素的“无穷载体尺度”必然大于其子集中所含元素的“无穷载体尺度”，即“母集中所含元素的无穷载体基因”决定了任何母集中所含元素数量必然比其子集中所含元素数量多——任何母集中所含元素的载体尺度必然比其子集中所含元素的载体尺度大；…….与“无穷”概念相关的数学领域中必然存在由“数学载体基因、数学载体尺度”所决定的大大小小的、具体的、不同的“无穷数学载体”，人们是在“无穷数学载体（而非‘无穷层次、更无穷、更更无穷……’这类抽象概念）”之间比较大、小，对它们进行定量认知！

3.2.4 量子数学

“抽象概念—抽象概念的载体”理论、新的无穷理论体系、载体理论、无穷数学载体基因、无穷数学载体尺度……等基础理论的研究，决定了以新的无穷理论体系为基础的“量子数学”的构建.这些新的工作思路将使人类比以往更科学、有效、系统地开展对无穷数学事物定量认知工作.

4 结论

我们的研究证明，人们凭感觉、无法自圆其说地谈论和使用了千百年的“实实在在的、看得到、摸得着的实无穷”，本来就应该是一套包括如下与“无穷”概念密切相关的“无穷载体理论体系”中的新内容（迟到的“实无穷理论”）：新数量形式、新数谱、新集合定义、新集合的元素定义、新‘集合—元素’关系、新集合谱系、半阿基米德性、新数性、新集合性、新无穷数学载体、新无穷数学载体基因、新欧阳耿尺度（无穷数学载体尺度）、新极限论及其操作、新一 一对应理论及其操作…….新开发的“无穷数学载体理论体系”弥补了与“无穷”概念密切相关的集合论、数学分析、一 一对应理论和极限论的基础理论缺失[8-12，36-41]，使我们有能力在以新的无穷理论体系为基础的各个数学领域中对各种各样“无穷数学载体”开展科学、系统、有效的定量认知工作.我们要珍惜、继承前辈已经取得的许许多多与“无穷”概念密切相关的知识财富，但我们也要纠正由不科学的经典无穷理论体系中基础理论缺陷所产生的许多错误，消除悖论，更要开辟新的科学认知领域[1-43].