热传导方程在3种无界区域上的二择一结果

陈雪姣，郭连红，曾 鹏

(广东财经大学华商学院，广东 广州 511300)

1970年，Gurtin和De La Penha[1]提出了二元混合物中热传导方程模型

b1ut+b2υt=k1Δu-γ(u-υ)，

(1)

b2ut+b3υt=k2Δυ+γ(u-υ)，

(2)

尤其注意到Horgan[5]等研究了具有非标准初始条件的模型(1)和(2)在一个半无穷柱体上的空间衰减性．定义的半无穷的柱体区域为

其中，D是坐标平面x1Ox2上一个有界充分光滑的区域，且需要假设方程组(1)和(2)的解在无穷远处趋近于零．显然柱体R的母线平行于x3坐标轴．研究方程组(1)和(2)的Phragmén-Lindelöf型二择一结果．此类型研究不再假设方程组的解在无穷远处趋近于零，而是证明“能量”随距柱体有限端的距离呈指数式(多项式)增长或衰减．自从二十世纪90年代以来，Phragmén-Lindelöf型二择一研究逐渐取得空间衰减性研究逐步成为了研究的热点，由于在物理、力学和生物学等学科上的巨大应用前景，出现了大量的成果(参考文献[6]-[10])以及最新成果(参考文献[11]-[14])．

假设模型(1)和(2)定义在一个新的柱体区域Ωa上，Ωa的定义为

其中，Dx3是与坐标平面x1Ox2平行的一个光滑有界凸区域．例如

令∂Dx3表示Dx3的边界，z是x3轴上的一个动点，Ωz记为

受到了文献[8]启发，Payne和Schaefer考虑了3种不同的无界区域，得到了双调和方程在一个二维半无穷管道上的二择一结果．另外，文献[13]研究了调和方程在Ωa上的Phragmén-Lindelöf型二择一结果．由于本文模型要比文献[8]和[13]中的模型要复杂，所以文献[8]和[13]中的方法不能直接推广到本文模型．参考文献[8]和[13]的方法，建立方程组(1)和(2)的Phragmén-Lindelöf型二择一结果．

除了方程组(1)和(2)，还需要初始边值条件．在柱体的侧面∂Dx3×(a,∞)×(0,T)上，有

u=υ=0，

(3)

在柱体的有限端D×{a}×(0,T)，有

u=ɡ1(x1,x2,t),υ=ɡ2(x1,x2,t)，

(4)

其中，ɡ1(x1,x2,t)和ɡ2(x1,x2,t)是大于零的可微函数．

初始条件

(5)

ɡ1(x1,x2,t)和ɡ2(x1,x2,t)满足约束条件

且ɡ1(x1,x2,0)=ɡ2(x1,x2,0)=0．

1 基本不等式

为了证明主要结果，给出一个接下来常用的微分不等式．

引理1[13]若ω∂Dz=0，则

其中，r(z)=Dz表示区域Dz的面积．

为了推导二择一结果，首先定义一个“能量”表达式

(6)

设z0是x3轴上的某个点满足0≤z0≤z，则

(7)

(8)

将式(8)代入到式(7)，可得

(9)

对式(9)微分，可得

(10)

(11)

另一方面，如果E(z,t)随z→∞无限增加，则必存在一个关于z的无界函数χ(z,t)使得

(12)

利用Hölder不等式、Young不等式和引理1，由式(6)可得

(13)

再结合式(10)和式(13)，可得

(14)

2 二择一定理

考虑2种不同类型的柱体区域，当柱体的截面分别满足一定的约束条件时，可以得到问题(1)～(5)的空间二择性．

2.1 扩展区域所谓区域Ωa是一个扩展区域是指Ωa随z→∞截面的面积越来越大．给出定理1．

定理1设u,υ为问题(1)～(5)在一个半无穷柱体Ωa上的解，Ωa的截面的面积满足

00．

若存在一个z0≥a，使得E(z0,t)>0，则有

成立；

如果对任意的z>a，都有E(z,t)<0，则有

此时，由式(14)可得

(15)

对式(15)从z0到z积分，可得

即

所以

(16)

如果对任意的z>a，都有E(z,t)<0．

此时，由式(14)可得

(17)

对式(17)从a到z积分，可得

(18)

结合式(12)、(16)、(11)和(18)即可完成定理1的证明．

证毕.

定理1表明“能量”随z→∞呈指数式增加或衰减于零．在定理1中如果r(z)=r0>0，说明柱体的截面在任意的z≥a处都是相等的，定理1仍然成立．本文结果要比文献[5]更具一般性．

如果τ=1，显然定理1不再成立．采取与式(15)～(18)类似的方法，可以得到“能量”随z→∞呈多项式增加或衰减于零．具体地，此时的二则一结果可以表述为定理2．

定理2设u,υ为问题(1)～(5)在一个半无穷柱体Ωa上的解，Ωa的截面的面积满足

00．

若存在一个z0≥a，使得E(z0,t)>0，则有

成立；如果对任意的z>a，都有E(z,t)<0，则有

如果τ>1，此时说明柱体随z→∞扩展的速度过快，式(18)右端的函数并不随z→∞趋近于零，因此得不到衰减性结果．

2.2 特殊区域假设柱体Ωa的截面面积r(z)满足

00．

(19)

对式(14)进行2种分析．

(20)

对式(19)从z0到z积分，可得

即

(21)

2)如果对任意的z>a，都有E(z,t)<0．此时，由式(14)可得

(22)

对式(22)从e到z积分，可得

(23)

注意到-E(e,t)≤-E(a,t)，再结合式(12)、(21)、(11)和(23)，可得定理3．

定理3设u，υ为问题(1)～(5)在一个半无穷柱体Ωa上的解，Ωa的截面的面积满足式(19)．若存在一个z0≥e，使得E(z0,t)>0，则有

成立；如果对任意的z>a，都有E(z,t)<0，则有

当σ=1时，显然定理3不再成立.利用与式(20)～(23)类似的方法，可以证明“能量”随z→∞呈对数式无限增加或无限衰减于零．

定理4设u,υ为问题(1)～(5)在一个半无穷柱体Ωa上的解，Ωa的截面的面积满足式(19)(σ=1)．若存在一个z0≥e，使得E(z0,t)>0，则有

成立；如果对任意的z>a，都有E(z,t)<0，则有

2.3 收缩区域假设柱体Ωa的截面面积r(z)满足

r′(z)≤0r(z)≥r0>0,

(24)

此时Ωa随z→∞逐渐收缩，最后截面的面积趋近于一个常数.对式(14)分2种情况进行分析，可以得到定理5．

定理5设u,υ为问题(1)～(5)在一个半无穷柱体Ωa上的解，Ωa的截面的面积满足式(24)．若存在一个z0≥a，使得E(z0,t)，则有

成立；如果对任意的z>a，都有E(z,t)<0，则有

在定理1～5中，在“能量”的衰减估计中，Qi(i=1,2,…,5)中都包含-E(a,t)．为了使得衰减估计有意义，必须推导-E(a,t)的显式上界.

3 全能量估计

在式(6)和(11)中，取z=a可得

(25)

以及

(26)

定义

S1=ɡ1(x1,x2,t)exp[w1(x3-a)]，S2=ɡ2(x1,x2,t)exp[w2(x3-a)]，

(27)

由式(4)可知S1,S2分别和u,υ在Da处具有相同的边界条件．因此，式(25)可以写为

(28)

利用散度定理和方程(1)，可得

(29)

利用Hölder不等式和算术几何平均不等式，可得

其中，εi(i=1,2,…,5)是大于零的任意常数．把不等式代入到式(29)，可得

(30)

其中，

类似地，

(31)

其中，

把式(30)和(31)代入到式(28)，可得

F1(t)+F2(t)．

(32)

选取适当的ε1,ε2,ε3′，ε4′使得

然后选取适当的ε1′，ε2′，ε3，ε4使得

最后选取适当的ε5,ε5′使得

结合式(26)，由式(32)可得

即

-E(a,t)≤2[F1(t)+F2(t)]．

4 结束语

考虑了3种不同的无界区域，分别得到了解的空间二择性．在衰减的情形下，推导了全能量的显式上界,此上界可用于证明方程组(1)和(2)对自身系数的连续依赖性，此连续依赖性也是当前研究的热点(参考文献[15-17]．如果方程组(1)和(2)的解在柱体的侧面上满足非齐次Neumann边界条件或局部非齐次Neumann边界条件，方程组(1)和(2)的解空间性质将如何演化．受文献[18]的启发，下一步以二元热量方程在空间上的爆破问题为研究重点．