2020年上海春考反函数压轴题引发的思考

华东师范大学数学科学学院 (200241) 李 洋 武汉大学数学与统计学院 (430072) 周照杰

反函数是上海高中教材中比较重要的一个知识点，也经常出现在上海高考的压轴题位置．本文对2020年上海春考数学试题第12题进行展开，分析y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象交点个数与交点位置问题，并在此基础上讨论高中阶段比较重要的两类函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与其反函数对数函数y=logax的图象交点问题．

1 试题呈现

评析：纵观近几年上海高考数学试题，小题的压轴题经常涉及对学生分析与转化问题能力的考查．第12题和第16题一般以动静结合的题目为多，常考查基本图形的平移、旋转、翻折等基本运动形式，这就需要学生把握好运动过程中的临界情况(即静止状态)．本题作为压轴题呈现，考察原函数与反函数所组成方程的解的问题，要是直接代数求解，无疑增加了问题的运算且难以处理．这就需要我们熟悉原函数与反函数的一些基本性质．

2 基本性质

引理1y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称．

引理2 若y=f(x+a)存在反函数，则其反函数为y=f-1(x)-a(有兴趣的读者可以查阅2009年上海高考数学试题(理科)第22题)．

性质1 若y=f(x)在其定义域上为连续函数，则y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象存在交点的充要条件是y=f(x)的图象与直线y=x有交点．

证明：(充分性)充分性是显然的，下面我们证明必要性．

(必要性)设点P(a,b)是y=f(x)与y=f-1(x)的图象的交点．①若a=b，则命题显然成立．②若a≠b，则由点P(a,b)在y=f-1(x)的图象上知点P′(b,a)在y=f(x)的图象上，所以f(a)=b、f(b)=a．令g(x)=f(x)-x，则为连续函数，不妨设a0，g(b)=f(b)-b=a-b<0．由零点定理得∃ε∈(a,b)，使得g(ε)=0，即f(ε)=ε，命题成立．

性质2 若y=f(x)为单调递增函数，且与其反函数y=f-1(x)图象相交，则其交点一定在直线y=x上．

证明：(反证法)假设y=f(x)与y=f-1(x)的图象的交点P(a,b)不在直线y=x上，则a≠b，不妨设a

利用上面性质，我们回到例1的解答．

性质3 若y=f(x)为单调递减函数，且与其反函数y=f-1(x)图象相交，则交点不一定在直线y=x上．具体地说，在y=x上的交点至多只有一个，若在y=x外有交点，则成对出现且关于直线y=x对称．

推论若y=f(x)为单调递减的连续函数，且与其反函数y=f-1(x)图象相交，则在直线y=x上的交点有且只有一个．

证明：结合性质1和性质3可以直接证明．

3 简单应用

指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax是互为反函数的一对函数，在我们常见的图象中，它们一般如图1所示．当01时，没有交点．那么，它们的图象有没有其他情况，我们先看一道例题．

(1)01

A.PB.QC.MD.N

3.1 0

当0

我们先求函数y=ax与其反函数y=logax相切时a的值．

3.2 a>1时的交点问题

当a>1时，指数函数y=ax在定义域R上是单调递增的．由性质2知，其交点一定在y=x上，这里只须考虑y=ax与y=x的交点问题．

3.3 小结

综上，指数函数y=ax(a>0且a≠1)与反函数y=logax图象交点情况如表1．

表1

4 类题训练

针对例1，笔者找到了两道类似的题目供大家思考．

A．0 B．2 C．4 D．前三个答案都不对