基于集中浓度矩阵和精细积分法的氯离子时变扩散模型

2021-01-27凌干展范志宏杨绿峰

工程力学 2021年1期

余波，凌干展，范志宏，杨绿峰

(1. 广西大学土木建筑工程学院，广西，南宁 530004；2. 中交四航工程研究院有限公司，广东，广州 510230；3. 广西大学工程防灾与结构安全教育部重点实验室，广西，南宁 530004；4. 广西防灾减灾与工程安全重点实验室，广西，南宁 530004)

受氯离子浓度梯度的作用，海洋环境中的氯离子不断地向混凝土内部扩散。当钢筋表面的氯离子浓度达到临界氯离子浓度时，钢筋表面的钝化膜就会发生破坏，从而引起钢筋锈蚀、混凝土开裂等耐久性劣化问题[1−4]。因此，准确分析混凝土中氯离子的扩散过程和浓度分布规律，对于混凝土结构的耐久性分析与设计具有重要意义。

为了合理描述混凝土中氯离子的浓度分布规律，国内外学者建立了氯离子扩散分析的各种解析模型[5−10]。解析模型基于Fick 第二定律，通过理论推导建立氯离子浓度分布与暴露时间、氯离子扩散系数和表面氯离子浓度等参数之间的函数关系，但是解析模型只适用于规则的边界条件和几何外形情况，而且当表面氯离子浓度和氯离子扩散系数具有时变性时处理比较复杂[8]，实际工程应用受到限制。为了克服上述缺陷，国内外学者建立了氯离子扩散分析的多种数值模型。其中，文献[11 − 13]利用中心差分法来求解微分方程组，建立了混凝土中氯离子常扩散有限元模型，由于中心差分法对于氯离子扩散过程是有条件稳定的，导致该模型的计算精度和数值稳定性较差；针对该问题，文献[14]基于Taylor 级数展开技术，利用精细积分法来求解微分方程组，在一定程度上解决了中心差分法所存在的缺陷，但是上述模型均忽略了氯离子扩散系数的时变特性[15−17]，导致无法准确分析混凝土中氯离子的浓度分布规律。对此，文献[18 − 19]考虑氯离子扩散系数的时变性，建立了基于有限差分法的氯离子时变扩散有限元模型；文献[20]在有限差分法的基础上引入威尔逊常数，提出了基于直接积分法的氯离子时变扩散有限元模型。通过分析发现，现有的氯离子扩散分析数值模型存在以下缺陷：首先，采用一致协调浓度矩阵来计算有限元方程，导致计算结果往往出现振荡和负值等问题，数值稳定性难以保证；其次，采用Taylor 级数展开技术来求解有限元微分方程组，导致对尺度因子的依赖程度较大，难以兼顾计算精度和效率。因此，有必要研究建立一种能够有效兼顾计算精度、效率和数值稳定性的氯离子时变扩散有限元模型。

鉴于此，本文首先将氯离子的时变扩散控制方程变换为等效常扩散控制方程，然后建立了基于集中浓度矩阵的氯离子时变扩散有限元模型，进而结合Padé级数展开技术，提出了基于集中浓度矩阵和精细积分法的氯离子时变扩散有限元模型，并通过与传统有限元模型、解析模型和自然暴露试验数据的对比分析，验证了该模型的有效性。

1 氯离子时变扩散的控制方程

考虑氯离子扩散系数的时变特性，混凝土中氯离子一维扩散的控制方程可以描述为[5,21]：

图 1 氯离子扩散的边界条件Fig. 1 Boundary conditions of chloride diffusion

图 2 氯离子扩散系数的时变特性Fig. 2 Time-varying behavior of chloride diffusion coefficient

2 基于 LCM 和 PTIM 的氯离子时变扩散有限元模型

3 对比验证分析

3.1 基于现场试验数据的验证分析

利用文献[27 − 31]中海洋潮汐区的自然暴露试验数据，对比验证本文提出的基于集中浓度矩阵和精细积分法的氯离子时变扩散模型的有效性。混凝土试件的尺寸为200 mm×200 mm×200 mm，混凝土试块在浇筑后24 h 进行脱模处理并进行养护，在海洋潮汐环境自然暴露2 a～10 a 后对混凝土试件进行钻芯取样，得到直径分别为50 mm[27,30−31]和100 mm[28−29]的芯样，通过分层取样(每层10 mm厚)，测试得到混凝土中的氯离子浓度分布数据。

首先利用暴露时间为2 a～4 a 的混凝土中氯离子浓度分布数据，通过非线性回归分析拟合确定3 个模型参数，包括初始氯离子扩散系数、龄期衰减系数和混凝土表面氯离子浓度，见表1。然后基于所拟合的模型参数，利用本文提出的基于集中浓度矩阵和精细积分法的氯离子时变扩散有限元模型(简记为LCM)和基于一致协调浓度矩阵的氯离子时变扩散有限元模型(简记为CCM)，分别预测暴露时间为4 a、5 a、7 a 和10 a 时混凝土内部的氯离子浓度分布情况，并与自然暴露试验数据(简记为TD)进行对比分析，见表2 和表3。由表2和表3 可知，在不同的暴露时间、扩散深度、水胶比和粉煤灰掺量条件下，LCM 的计算结果与自然暴露试验数据吻合较好，二者的相对误差大部分控制在5%以内，而CCM 的计算结果与自然暴露试验数据的相对误差大部分超过15%，甚至达到48%。由此可见，与CCM 相比，本文提出的LCM 的计算精度较高，具有较好的适用性。

表 1 不同类型混凝土的模型参数Table 1 Model parameters for different types of concrete

3.2 集中浓度矩阵的有效性分析

当暴露时间 t=10 a 、 D0=10×10−12m2/s ，n分别取 0.2、0.4 和 0.6 时，CCM 和 LCM 计算得到的氯离子浓度及其与AM 的相对误差见表5。由表5 可知，随着扩散深度x 和龄期衰减系数 n的增加，CCM 与AM 的相对误差逐渐增大，当n=0.6和x=50 mm 时，二者的相对误差超过55%；对于不同的扩散深度x 和龄期衰减系数 n，LCM 与AM 的相对误差均小于0.5%，说明LCM 具有较高的计算精度。由此可见，与传统的一致协调浓度矩阵相比，本文提出的集中浓度矩阵具有更高的计算精度。

表 2 模型计算值与试验数据(I45)的对比分析Table 2 Comparison between calculated results and experimental data (I45)

表 3 模型计算值与试验数据(I65)的对比分析Table 3 Comparison between calculated results and experimental data (I65)

表 4 初始氯离子扩散系数对CCM 和LCM 的计算精度的影响Table 4 Influence of initial chloride diffusion coefficient on computational accuracy of the CCM and the LCM

3.2.2 暴露时间和扩散深度的影响

下面分析暴露时间 t和扩散深度 x的不同取值对CCM 和LCM 计算精度的影响。当D0=4×10−12m2/s 和 n=0.6时，CCM、LCM 和 AM 计算的氯离子浓度分布如图3 所示。

表 5 龄期衰减系数对CCM 和LCM 的计算精度的影响Table 5 Influence of aging factor on computational accuracy of the CCM and the LCM

图 3 暴露时间和扩散深度对氯离子浓度分布的影响Fig. 3 Influences of exposure time and diffusion depth on distribution of chloride concentration

由图3 可知，CCM 的计算结果会出现不同程度的振荡，甚至出现负值，与氯离子浓度分布的实际情况不符；LCM 与AM 的计算结果吻合较好，且不存在振荡和负值等数值不稳定现象。由此可见，本文提出的集中浓度矩阵可以克服传统一致协调浓度矩阵所存在的振荡和负值等数值不稳定性问题。

3.2.3 空间离散网格和时间步长的影响

下面分析空间离散网格 ∆x 和时间步长 ∆t 对CCM 和LCM 的计算精度的影响。当暴露时间t=10a 、D0=10×10−12m2/s 、 n=0.2、时间步长∆t=0.1a ，空间离散网格 ∆x分别取5 mm、10 mm和20 mm 时(图中分别用X1、X2 和X3 表示)，CCM和LCM 与AM 的计算相对误差如图4(a)所示。由图4(a)可知，随着扩散深度 x 和空间离散网格∆x的增加，CCM 与AM 之间的相对误差逐渐增大，当∆x=20 mm和x=60 mm 时，二者的相对误差达到23%左右；随着空间离散网格 ∆x的减小，LCM与AM 之间的相对误差逐渐减小；当x=60 mm，∆x分别取 5 mm、10 mm 和 20 mm 时，CCM 与 AM 之间的相对误差分别为5.54%、11.82%和23.50%，而LCM 与AM 之间的相对误差分别为0.11%、0.30%和0.52%，说明当空间离散网格 ∆x不大于20 mm时，LCM 的计算精度对空间离散网格 ∆x的取值相对不敏感，且计算精度较高。

图 4 空间离散网格和时间步长对计算精度的影响Fig. 4 Influences of meshed sizes of spatial grids and time steps on computational accuracy

当空间离散网格 ∆x=10 mm 、时间步长 ∆t分别取0.05 a、0.1 a 和0.5 a 时(图中分别用A1、A2和 A3 表示)，CCM 和 LCM 与 AM 之间的计算相对误差如图4(b)所示。由图4(b)所示，随着扩散深度 x 和时间步长 ∆t的增加，CCM 与AM 之间的相对误差逐渐增大，当 ∆t=0.5 a和x=60 mm 时，二者的相对误差达到18%左右；随着时间步长∆t的减小，LCM 与解析模型之间的相对误差逐渐减小；当x=60 mm，时间步长 ∆t分别取0.05 a、0.1 a 和 0.5 a 时，CCM 与 AM 之间的相对误差分别为7.02%、11.82%和18.21%，而LCM 与AM 之间的相对误差分别为0.07%、0.25%和0.43%，说明当时间步长 ∆t不大于0.5 a 时，LCM 的计算精度对时间步长 ∆t的取值相对不敏感，且计算精度较高。

结合表4 和表5 以及图3 和图4 可知，本文提出的基于集中浓度矩阵的氯离子时变扩散有限元模型的计算结果与解析模型的计算结果较为吻合，具有较高的计算精度，且不存在振荡和负值等数值不稳定性问题，对空间离散网格和时间步长的依赖性相对较小，从而克服了传统基于一致协调浓度矩阵的有限元模型所存在的缺陷。

3.3 Padé级数展开的有效性分析

表 6 尺度因子对Taylor 级数展开和Padé级数展开的计算精度的影响Table 6 Influences of scale factors on computational accuracy of Taylor series expansion and Padé series expansion