时间反演系统中基于Barzilai-Borwein的共轭梯度检测算法

梁静雯, 朱 江

(重庆邮电大学通信与信息工程学院, 重庆 400065)

0 引 言

近年来,连接到现有通信网络的设备数量大大增加。随着移动通信和物联网的快速发展,对频谱效率和系统容量的需求快速增长,传统的多址技术已经不能满足用户需求。为了满足对移动服务的大量需求,研究者们开始研究新的多址技术。时间反演多址(time reversal division multiple access, TRDMA)因其良好的时空聚焦特性而被认为是一种有利于构建低复杂度、高利用率的绿色通信的空分多址技术[1]。TRDMA将与每个用户位置相关联的多径信道信息作为用户特定位置的签名。本质上,多路径信道的每个路径都被视为TRDMA中的虚拟天线,这使其具有精确的高分辨率空间聚焦[2]。时间聚焦效果有效抑制了码间干扰,大大简化了终端的复杂性,并带来更高速度的数据传输。

然而,当信道存在相关性时,时间反演会出现伪聚焦现象。这就会导致接收端存在干扰,使接收端接收的信号质量下降。因此,降低用户间干扰是必要的。

TRDMA系统降低干扰的算法可以引用码分多址(code division multiple access, CDMA)系统里的检测算法[3]。最小均方误差(minimum mean square error, MMSE)算法已被证明能够实现接近最佳的性能[4],但算法过程含有复杂度高为O(N3)的大矩阵求逆计算,难以在实际中运用。

近年来,国内外学者陆续提出了基于MMSE的低复杂度检测算法,大多数为迭代求解线性方程的方法,如雅克比算法[5-6],共轭梯度(conjugate gradient, CG)算法[7-8],对称逐次超松弛(symmetric successive overrelaxation， SSOR)迭代算法[9-10],Richardson[11-12];或者近似求逆算法,如Neumann级数展开[13]。在大规模多输入多输出(multiple input multiple output， MIMO)系统里随着用户数量的增加,与MMSE检测器相比,CG算法和雅克比算法等都会遭受明显的性能损失,只能获得次优的性能[14]。而Neumann级数在取3项及以上时复杂度会上升到O(N3),复杂度与MMSE处于同一维度。这些算法在系统复杂时无法在检测性能和复杂度之间取得折中,Barzilai-Borwein(B-B)算法是一种迭代求解线性系统方程的方法,由于其简单并且收敛速度快,受到了学者们的关注。

基于此,以B-B迭代的思想为基础,本文提出了一种在TRDMA系统中基于B-B的CG加速迭代(简称为CGB-B)算法,改进了传统的B-B迭代算法,加快了收敛速度。首先通过CG算法迭代两次,找到最速下降方向,B-B算法再沿着这个搜索方向继续迭代。仿真验证了所提CGB-B算法误码率(bit error rate, BER)更低,且复杂度保持在O(N2)。

1 系统模型

系统为TRDMA上行链路,由一个配备W根天线的基站和N个单天线用户组成,W≫N。时间反演镜(time reversal mirror, TRM)是一种对信道进行反转操作的预滤波器。图1为加入CGB-B算法的系统框图。

图1 系统框图Fig.1 System diagram

假设N个用户同时发送信号,s=[s1,s2,…,sN]T为所有用户同时发送的信号组成的N×1维向量,用户n={1,2,…,N}和基站端第i={1,2,…,W}根接收天线之间的信道增益为

(1)

TRDMA的通信过程分为3步。

步骤 1信号探测阶段，基站发射探测信号;

(2)

(3)

式中,∀l,p∈{0,1,…,2L-2};l=L-1时对应自相关函数的最大功率中心峰值,有

(4)

(5)

2 基于B-B的CG加速迭代算法

2.1 算法描述

B-B算法思想是对于W维线性方程,通过迭代求出x。

Ax=b

(6)

式中,A为N×N维对称正定矩阵；x为N×1维解向量；b为N×1维测量向量。在上行系统中,当W≫N,MMSE检测矩阵G=HHH+σ2IN已被证明是Hermitian正定的(正定矩阵在实数域上是对称矩阵,在复数域上是Hermitian矩阵)[15]。

在本文系统中,检测公式为MMSE检测公式，即

(7)

(8)

对式(8)进行变换可得

(9)

式(9)对应到Ax=b的求最优解的线性方程问题。式(9)可以通过B-B算法转换为最小化问题：

(10)

(11)

(12)

式中,m表示迭代次数；αm表示常量,并且有

(13)

(14)

(15)

qm-1=gm-gm-1

(16)

由此,把MIMO系统中的矩阵求逆的问题转化为求解线性方程的问题。算法初始值的选取不设为0,初始值的选取会影响迭代的速度,更贴近精确解的初始值会更快收敛,且检测性能更好。对于大规模MIMO上行链路系统,基站端天线数W远大于用户数N,当N一定时,随着W增加,受信道硬化的影响,HHH矩阵的非对角线项与对角线项相比变得越来越弱,主对角占优性愈加明显[16],HHH/W趋近于单位矩阵[17-19],即

HHH/W≈I

(17)

进一步推出:

G-1≈D-1≈(WIN+σ2IN)-1≈W-1IN

(18)

D为G的主对角线矩阵,于是将初始值[20]设为

(19)

CG算法的思想是对于N阶对称正定矩阵G,若N维向量组p1,p2,…,pn(n≤N)满足

(20)

则称p1,p2,…,pn为关于G共轭的。由此可得,每一次迭代优化后,当前的误差和刚才的优化方向共轭正交。当G=I时,式(20)变为

(21)

2.2 算法步骤

下面给出本文算法的详细步骤。

算法 1 CGB-B算法初始化1: ^s(0)=1WINY2: g0=Y-G^s(0)3: p0=g0CG算法先迭代for i=1∶24: vm-1=Gpm-15:αm-1=gHm-1gm-1pHm-1vm-16: gm=gm-1-αm-1vm-17: βm-1=gHmgmgHm-1gm-18: pm=gm+βm-1pm-19: m=m+1end10:^s(1)=^s(0)+α0p0+α1p1B-B算法开始迭代11: ^s(2)=^s(1)+α1p112: m1=^s(2)-^s(1)13: n1=g2-g114: α2=‖m1‖2mT1n115: for k=3∶K 16: ^s(k)=^s(k-1)-αk-1gk-117: gk=G^s(k)-Y18: mk-1=^s(k)-^s(k-1)19: nk-1=gk-gk-120: αk=mTk-1mk-1mTk-1nk-121: k=k+122: end结果 最终解^s=^s(k+1)

算法1中,gm表示梯度,αm、αq表示优化步长,pm、pq表示优化方向,vm为中间变量,表示新的维度,当前搜索方向和之前所有梯度张成的空间关于矩阵正交。βm为修正系数,是确保p1,p2,…,pQ之间满足关于G的共轭关系的。

2.3 收敛性分析

定理 1若CGB-B算法收敛,则随着迭代次数的增加,CGB-B算法得到的解与精确解之间差为0。

(22)

式中,

M=IN-D-1G

(23)

Q=IN+D-1G

(24)

式中,G是Hermitian正定矩阵,且对角占优,因此M的范数小于1,有limk→∞Mk-2=0。G和D都为常数矩阵,因此存在一个常数矩阵R,满足

‖Q‖≤‖R‖≠∞

(25)

(26)

可推出

(27)

即

(28)

因此,CGB-B算法在MMSE信号检测中是收敛的。

证毕

2.4 算法复杂度分析

算法复杂度根据复数乘法的次数计算得到。由于CGB-B算法是由CG算法和B-B算法组合而成,因此计算复杂度的情况如表1所示,具体分析如下。

表1 计算复杂度的对比

综上,CGB-B算法迭代k次需要(N2+N)+2(N2+6N+2)+k(N2+3N+1)次乘法,即(k+3)N2+(3k+13)N+k+4次乘法。与MMSE检测算法中仅G-1的计算就为O(N3)的复杂度相比,CGB-B算法的计算复杂度大大降低了。标准CG算法迭代k次的复杂度为k(2N2+8N+2)。当迭代次数k>3时,CG算法的复杂度会超过CGB-B算法的复杂度。B-B算法迭代k次的复杂度为k(N2+3N)。

3 仿真分析

传输信道为多径瑞利衰落信道,信道增益服从均值为0、方差为e-lTS/σT的循环对称复高斯(circular symmetric complex Gaussian, CSCG)随机变量,l为时间反演多径数,0≤l≤L。时间反演多径总数设为L=16[22-23]。采用16进制正交幅度调制(16-quadrature amplitude modulation, 16-QAM)调制方式。信道带宽B=500 MHz,采样周期为TS=1/B=200 ns,均方根延迟扩展为σT=100/B。以下仿真都是在时间反演系统中完成。仿真W×N=64×8和W×N=128×16两组配置的系统对比分析。图2给出了CGB-B算法与CG算法、B-B算法以及直接求逆MMSE算法的复杂度对比。

图2 算法复杂度对比Fig.2 Algorithm complexity comparison

由图2可见,CGB-B算法在k=5的复杂度也小于MMSE算法很多。CGB-B算法在k=5时的复杂度与CG算法在k=4时的复杂度相同,且小于CG算法迭代5次的复杂度。CGB-B算法在k=4时的复杂度小于CG算法k=4的复杂度。总体来说,随着迭代次数的增加,CGB-B算法复杂度的增大没有CG算法增大得快,CGB-B算法复杂度介于CG算法和B-B算法之间。

图3给出了天线配置为W×N=64×8时的CGB-B算法与B-B算法的BER对比图。

图3 CGB-B算法与B-B算法的BER对比(W×N=64×8)Fig.3 BER comparison of CGB-B algorithm and B-B algorithm (W×N=64×8)

以MMSE直接求逆算法为标准,可以得出CGB-B与MMSE性能较接近,迭代次数k=5时与MMSE算法性能很接近。B-B算法在k=5时才能达到CGB-Bk=3时的性能,可知CGB-B相比B-B算法加速了收敛,BER下降得更快。

图4为天线配置为W×N=64×8时的CGB-B算法与CG算法的BER对比。以MMSE算法直接求逆作为参考,CGB-B算法性能与MMSE算法较接近,k=5时CGB-B算法的BER下降趋势很接近MMSE算法。CG算法k=5时的性能不及k=3的CGB-B,可知CGB-B算法的收敛速度快于CG算法。

图4 CGB-B算法与CG算法的BER对比(W×N=64×8)Fig.4 BER comparison of CGB-B algorithm and CG algorithm (W×N=64×8)

图5比较了天线配置为W×N=128×16时的CGB-B算法与B-B算法BER对比。扩大了天线规模后,CGB-B算法和B-B算法的性能都有提升,收敛都加快了,但CGB-B算法收敛要快于B-B算法。以MMSE算法作为参考标准,CGB-B算法的BER较接近于MMSE算法,k=5时最接近。随着k增加,算法BER越低。B-B算法k=5时的BER高于k=3时的CGB-B算法很多,可知在大规模系统中,CGB-B算法的收敛速度更快。

图5 CGB-B算法与B-B算法的BER对比(W×N=128×16)Fig.5 BER comparison of CGB-B algorithm and B-B algorithm (W×N=128×16)

图6为在天线规模是W×N=128×16时的CGB-B算法与CG算法的BER对比图。以MMSE算法直接求逆算法性能作为参考可得,CGB-B算法与MMSE算法性能最接近,迭代5次时性能最好。CG算法迭代5次时的性能差于CGB-B算法迭代3次的性能,CGB-B算法收敛速度要快于CG算法,比W×N=64×8时收敛速度更快。图6还给出了不加算法时的系统BER作为参考,可以看出,加入算法后BER降低了。

图6 CGB-B算法与CG算法的BER对比(W×N=128×16)Fig.6 BER comparison of CGB-B algorithm and CG algorithm (W×N=128×16)

4 结 论

针对TRDMA上行链路系统中用户间干扰导致BER高的问题,提出一种基于B-B算法的CG加速迭代的信号检测算法。在B-B算法迭代前先用CG算法迭代两次以加快收敛速度,找到最速下降方向,B-B算法沿着这个方向进行迭代。通过迭代求解线性方程的方法避免了复杂矩阵求逆运算。仿真分析表明,相同迭代次数下,CGB-B算法复杂度要低于CG算法,且BER性能要优于CG算法和B-B算法。该算法可以有效解决TRDMA系统上行链路中多用户间干扰的问题。