预测页岩气井产量和可采储量泛指数递减模型的建立及应用

陈元千，徐佳倩，2，傅礼兵

（1.中国石油勘探开发研究院，北京 100083；2.中国石油大学（北京）石油工程学院，北京 102249）

非常规页岩气藏由超致密的基质和次生裂缝组成。页岩气分别以吸附状态和自由状态储存于这两种介质中。页岩气的产量及其递减的快慢除与基质的吸附气含量和次生裂缝发育程度有关外，还与水平井的钻井、完井和压裂效果有关。页岩气井的开采表现为定容、封闭、消耗式和投产即进入递减的特点。因此，利用线性递减模型［1-2］、广义递减模型［3］和幂函数递减模型［4］预测页岩气井产量和可采储量均取得了较好效果。为此，基于广义单峰周期预测模型［5］，建立预测页岩气井产量和可采储量的泛指数递减模型，并介绍该模型的派生、无因次产量曲线和模型的求解方法。

1 泛指数递减模型的建立

在广义翁氏模型［6］、威布尔模型［7］、陈-郝模型［5］和瑞利模型［8］的基础上，陈元千等建立了广义单峰周期预测模型［5］，其中产量、峰值产量、峰值出现时间和可采储量计算式分别为：

由（1）式—（4）式可以看出，广义单峰周期预测模型有a，b，c和m四个常数。其中常数a控制峰值的高低，a值愈大峰值产量愈高，反之愈低。常数b控制峰位，b值愈大，峰位距纵轴愈远，反之愈近。常数c控制峰值后产量递减的快慢，c值愈大产量递减愈慢，反之愈快。时间指数m用于判别模型的类别：当m=1 时可得广义翁氏模型；当m=2 时可得陈-郝模型；当m=b+1 时可得威布尔模型；当m=2 且b=1时可得瑞利模型。对于广义单峰周期预测模型，当b=0时即得投产进入递减的泛指数递减模型。

泛指数递减模型的产量和可采储量计算公式分别为：

由（6）式可见，GR与a和均成正比，与m成反比。

在（6）式中的Γ(1)值可查伽马函数表或由相关经验公式［9］求得，相关经验公式为：

将（9）式代入（10）式得泛指数递减模型的递减率为：

由（11）式可以看出，泛指数递减模型的递减率与m成正比，与c成反比。当t=0 时，初始递减率趋近于无穷大。

2 泛指数递减模型的派生

当m=0.5 时，Γ(1)=1.0，由（5）式、（6）式和（11）式可得具有实用价值的0.5 型泛指数递减模型，其产量、可采储量和递减率计算式分别为：

当m=1 时，Γ(1)=1.0，由（5）式、（6）式和（11）式可得著名的指数递减模型，其产量、可采储量和递减率计算式分别为：

3 泛指数递减模型的无因次关系

为了建立泛指数递减模型的无因次产量曲线，首先将（5）式改写为：

泛指数递减模型的无因次产量和无因次时间分别为：

将（19）式和（20）式代入（18）式，且由（15）式可以看出，当t=0 时，q=a=q0，由此得泛指数递减模型的无因次产量与无因次时间之间的关系式为：

由（21）式可以看出：当m=0时，qD为常数；当m=1 时，qD=etD，qD为指数递减。当取c=5 时，由（21）式求得不同m值时qD与tD的无因次关系（图1）；当m=0.5 时，由（21）式求得不同c值时qD与tD的无因次关系（图2）。由图1 和图2 可以看出，m值比c值对qD的影响明显。

图1 c=5时泛指数递减模型qD与tD的关系Fig.1 The qD-tD curves of PEDM，c=5

4 泛指数递减模型的求解方法

图2 m=0.5时泛指数递减模型qD与tD的关系Fig.2 The qD-tD curves of PEDM，m=0.5

由（5）式可以看出，泛指数递减模型是带有a和c及m三个常数的非线性递减模型，需根据实际生产数据，利用线性迭代试差法进行求解。为此，首先将（5）式等号两端同时取自然对数得：

再利用（25）式进行线性迭代试差法求解。当m值为0～1 时，可按步长为0.05 给定不同的m值，求得相关系数最高直线的m值，即为欲求的正确m值，并由（25）式进行线性回归，确定直线的截距α、斜率β和相关系数R2。最后，由（23）式和（24）式分别确定a和c值。

5 应用实例

图3 M1和M2井q与t的关系Fig.3 The q-t curves of M1 and M2 wells

图4 M1和M2井的lnq与tm最佳的直线关系Fig.4 The optimal linear lnq-tm relations of M1 and M2 wells

将美国宾州Marcellus 页岩气藏的M1和M2井投产后的产量递减数据［11］绘于图3，利用线性迭代试差法，由（25）式求得两口井的最佳直线关系并绘于图4。由图4 的线性回归求得：M1井的m值为0.5，α值为6.460 6，β值为0.280 5，相关系数为0.990 0；M2井的m值为0.5，α值为5.837 3，β值为0.277 9，相关系数为0.994 0。由（23）式和（24）式分别求得两口井的a和c值：M1井的a和c值分别为639.44和3.57；M2井的a和c值分别为342.85 和3.60。将两口井的a，c和m值分别代入（5）式，得M1和M2井的产量预测公式分别为：

由（26）式和（27）式分别预测两口井的理论产量并绘于图3。由图3可以看出，预测曲线与实际数据符合得很好。

将M1和M2井的m和c值分别代入（11）式，将预测得到的两口井的递减率绘于图5。由图5可见，两口井的递减率随时间的变化基本一致，这与两口井的m和c值均基本相同有关。

图5 M1和M2井的D与t的关系Fig.5 The D-t relations of M1 and M2 wells

将M1和M2井的m值代入（7）式，可得两口井的完全伽马函数，Γ（1/m）=Γ（2）=1.0。将2口井的完全伽马函数值以及a，c和m值分别代入（6）式，可得M1和M2井的可采储量分别为：

6 结论

通过对广义单峰周期预测模型的简化，得到预测页岩气井投产即进入递减的泛指数递减模型。该模型适用性较强，可对不同页岩气井的产量、可采储量和递减率进行预测。泛指数递减模型的递减指数为0～1。随着m值的增加，产量的递减率增加，随着c值的增加，产量的递减率减小。由m=0.5和m=1 可分别得到0.5 型的泛指数递减模型和著名的指数递减模型。由于M1和M2井的m和c值均基本相同，因而两口井的递减率几乎是重合的。实例应用结果表明，所建立的泛指数递减模型是实用有效的。

符号解释

a——广义单峰周期预测模型和泛指数递减模型的产量常数，104m3/mon；

b——广义单峰周期预测模型的峰位指数，dim；

c——广义单峰周期预测模型和泛指数递减模型的时间常数，mon；

D——递减率，mon-1；

GR——页岩气井可采储量，104m3；

m——泛指数递减模型的时间指数，dim；

q——页岩气井产量，104m3/mon；

q0——当t=0时的初始理论产量，104m3/mon；

qD——无因次产量，dim；

qpeak——广义单峰周期预测模型的峰值产量，104m3/mon；

R2——相关系数，dim；

t——生产时间，mon；

tD——无因次时间，dim；

tpeak——广义单峰周期预测模型峰值出现的时间，mon；

Z——完全伽马函数的变量；

α和β——泛指数递减模型最佳直线的截距和斜率；

Γ（Z+1）——完全伽马函数。