有界区域内相互作用的Forchheimer-Darcy流体方程组解的结构稳定性

石金诚，李远飞

（广州华商学院数据科学学院，广东广州511300）

0 引 言

近年来，偏微分方程解的结构稳定性引起广泛关注。传统稳定性主要研究解对初始数据的稳定性，而结构稳定性主要研究模型本身的稳定性。有关结构稳定性的本质，可参考文献［1-2］中介绍的连续流体力学模型的结构稳定性。在模型建立过程中，误差时刻存在，因此，探究方程本身结构系数的细微变化是否会导致解的急剧变化意义重大。

关于结构稳定性的研究主要集中在多孔介质中的 Brinkman，Darcy，Forchheimer方程组，文献［3-13］考虑了区域中只有以上3个方程组中一个方程组的情况。文献［14-16］研究了其他方程的结构稳定性。

文献［17］给出了Brinkman方程组和Darcy方程组在同一界面相互作用的结构稳定性结果，研究了方程组的解对界面边界系数α1的连续依赖性。在此基础上，LIU等［18-19］获得一些新结果。如果将文献［17］中的Brinkman方程组改为Forchheimer方程组，由于Forchheimer方程组中不包含Δu项，所以获得梯度的界的难度将增加，因此，如何处理非线性项|u|ui是本研究的难点。

本文的目的是研究在多孔介质流中相互作用的Forchheimer-Darcy方程组的解对Forchheimer系数的收敛性。平面Z=x3=0的适当部分L是Ω1和Ω2中的共同边界，其中，Ω1是x3＞ 0的区域，而Ω2是x3＜0的区域，即边界 L 是 ∂Ω1和 ∂Ω2的共同接触面。一方面，假设黏性流体在Ω1中是缓慢流动的，所以对应Forchheimer方程组。另一方面，假设黏性流体在Ω2中在多孔介质中满足Darcy方程组。Ω1和Ω2的共同边界用L表示，其余边界部分用Γ1和Γ2表示，因此，∂Ω1=Γ1∪L和∂Ω2=Γ2∪L。

首先，在 Ω1×[0，τ]中，讨论 Forchheimer流体方程组：

其中，ui，p，T分别为速度、压强和温度，gi(x)为重力向量函数，假设 gi满足|g|≤ G1，|∇g|≤ G2，Δ 为拉普拉斯算子，k为热扩散系数，Ω1为R3中有界单连通的星形区域，τ为给定的且0≤τ＜∞的数。“，”表示求偏导，“，i” 表示对 xi求偏导，如，重复指标表示求和，如

在 Ω2×[0，τ]中，讨论 Darcy流体方程组：

其中，vi，q，S分别为速度、压强和温度，kS为热扩散系数，Ω2为R3中有界单连通的星形区域，边界条件为

最后，在界面上假设L×{t＞0}满足

1 先验界

首先，估计关于T和S的界。方程组(1)第3式两边同乘 2rT2r-1(r＞ 1)，且在 Ω1×[0，t]上积分，可得

2 收敛性