巴拿赫空间中演化过程非一致指数二分性的Datko-Pazy型定理

岳田 ，宋晓秋

（1.湖北汽车工业学院理学院，湖北十堰442002；2.汽车动力传动与电子控制湖北省重点实验室(湖北汽车工业学院)，湖北十堰442002；3.中国矿业大学数学学院，江苏徐州221116）

近年来，关于微分系统定性理论的研究取得了突破性进展，尤其是在指数渐近性方面，大量公开问题的解决，推进了相关理论的拓展和完善［1-13］。1930 年，PERRON［1］在有限维空间中利用输入-输出方法（又称Perron方法或测试函数方法）建立了齐次微分方程x˙(t)=A(t)x(t)解的指数渐近性（指数二分性）与对应的非齐次微分方程x˙(t)=A(t)x(t)+f(t)之间的关系。随后，MASSERA等［2］在此基础上，将结果扩展到无限维空间，并首次研究相应微分系统的非一致指数渐近性。2010年，BARREIRA 等［3］通 过 定 义 合 适 的 范 数（又 称Lyapunov范数），讨论了演化过程非一致指数稳定性与容许性之间的关系。此后，基于Lyapunov范数获取非一致指数渐近性（指数稳定性、指数膨胀性、指数二分性、指数三分性）成为一种重要的技术手段，文献［4］基于具有非一致指数增长的演化族（演化过程），研究了非一致指数二分性与函数空间对(Lp(X)，Lq(X))的容许性之间的关系，获得了刻画非一致指数二分性的Perron型结论；文献［5］给出了非一致指数增长的半流上的强连续上闭链的非一致指数二分性存在的容许条件。值得一提的是，文献［6］基于 Lyapunov 范数将 DATKO［7-8］和 PAZY［9］的相关经典结论扩展到非一致指数增长的演化过程，得到了非一致指数稳定性与非一致指数二分性的Datko-Pazy型定理的连续形式。

定理1［6］设Φ为非一致指数增长的演化过程，且满足 Φ(t，t0)P(t0)=P(t)Φ (t，t0)，t≥ t0≥ 0，则 Φ呈非一致指数二分性，当且仅当存在常数p，K，m＞0，使得

由定理1知，非一致指数二分性意味着Φ在子空间X1(t0)上呈非一致指数稳定性，在补子空间X2(t0)上呈非一致指数膨胀性，即条件（i）刻画了Φ的非一致指数稳定性；而对Φ的非一致指数膨胀性的刻画需要同时满足条件（ii）和（iii）。

受文献［6］的启发，基于Lyapunov范数建立了Banach空间中刻画演化过程非一致指数二分性的其他连续与离散形式的Datko-Pazy型定理，所得结果推广并完善了指数稳定性与指数二分性理论中部分 已 有 结 果（如 DATKO［7-8］、PAZY［9］、PREDA等［4，6］等）。需要说明的是，本文简化了定理 1中关于刻画非一致指数膨胀性的条件，结论更为简洁。

1 预备知识

设X是Banach空间，Θ是度量空间，将空间X上的范数及作用其上的有界线性算子的全体B(X)的范数记作||·||。记I为恒等算子，[a]表示不超过实数a的最大整数，M(R+，X)表示所有从R+到X的Lebesgue可测函数构成的集合。

定义1［6］如果满足：

（i）Φ (t，t)=I， ∀t≥ 0；

（ii）Φ(t，s)Φ(s，t0)= Φ (t，t0)，∀t≥ s≥ t0≥ 0；

（iii）Δ × X ∍(t，s，x)↦ Φ(t，s)x ∈ X连续；

（iv）∃ω∈R 及 M：R+↦ (0，∞)使 得 对 ∀t≥t0≥ 0，x∈ X，有

则 称双变 量 算 子 函 数 Φ：Δ={(t，t0)∈R：t≥ t0≥0}→ B(X)，(t，t0)↦ Φ(t，t0)为非一致指数增长的演化过程。

注 1［6］则称 Φ为一致指数增长的演化过程。

记

为与文献［6］保持一致，令

假定X1(t0)是闭的且容许一个闭补子空间X2(t0)，P(t0)为 X1(t0)上的投影算子，即 Im P(t0)=X1(t0)，同时令Q(t0)=I-P(t0)。

注 2［6］对 ∀t≥ t0≥ 0，有

（i）P(t)Φ (t，t0)P(t0)= Φ (t，t0)P(t0)；

（ii）若 x∈ X2(t0)，x ≠ 0，则 Φ(t，t0)x≠ 0。

设Φ为非一致指数增长的演化过程，记

定义2［6］设Φ为非一致指数增长的演化过程，若 存 在 常 数 N1，N2，v＞ 0，使 得 对 ∀t≥ t0≥ 0，x∈X，有

则Φ呈非一致指数二分性。

注 4［6］在定义 2中，若Q(t0)=0，则 Φ呈非一致指数稳定性；若P(t0)=0，则Φ呈非一致指数膨胀性。

引理 1［10］设 f，g：R+→ R+，其中 g为连续函数且 g(t)＞ 0(∀t＞ 0)。若满足：

（i）f(t)≥ g(t-t0)f(t0)，∀t≥ t0≥ 0；

（ii）存在λ＞ 0满足g(λ)＞ 1，

则存在常数 N，v＞ 0，使得对 ∀t≥ t0≥ 0，有 f(t)≥Nev(t-t0)f(t0)。

2 主要结论

定理2 设Φ为非一致指数增长的演化过程，且满足 Φ(t，t0)P(t0)=P(t)Φ (t，t0)，t≥ t0≥ 0，则 Φ呈非一致指数二分性当且仅当存在常数p，K＞0，使得

证明 必要性。由定义2立即可得。

充分性。由定理1的证明（详见文献［6］第578页）可知，条件（i）意味着定义 2（i）成立，因此，仅需借助条件（ii）来证明定义 2（ii）。

设t≥t0≥0，x∈X，且Q(t0)x≠0，

由式（3）和式（4），结合定理2可得结论成立。

定理3得证。

注5［6］设Φ为非一致指数增长的演化过程，定理2与定理3分别给出了刻画其非一致指数二分性存在的连续与离散形式。在这2个定理中，若Q(t)=0，则可得到Φ满足非一致指数稳定性的充要条件，即文献［6］中的定理 3.1；若P(t)=0，则可得到Φ满足非一致指数膨胀性的充要条件。故得到的刻画其非一致指数膨胀性条件较文献［6］更简洁。

文献［6-7］分别给出了演化过程Φ的非一致指数稳定性和C0半群的一致指数稳定性与Lyapunov算子方程之间的关系，本文利用Lyapunov算子方程刻画了Φ的非一致指数膨胀性。

推论1 若Φ为非一致指数增长的演化过程，则Φ呈非一致指数膨胀性，当且仅当存在W：R+×X → R+以及常数p，K"＞ 0，使得

若演化过程Φ呈非一致指数膨胀性，则由定义2可得条件（i）成立。

另一方面，

故条件（ii）亦成立。

充分性。由已知条件知，对 ∀t≥t0≥0，x∈ X{0}，有

从而有

由定理2可得，Φ呈非一致指数膨胀性。

最后，给出定理1的离散形式。

定理4 若Φ为非一致指数增长的演化过程，且满足 Φ(t，t0)P(t0)=P(t)Φ (t，t0)，t≥ t0≥ 0，则 Φ呈非一致指数二分性当且仅当存在常数p，K"＞0，使得

由式（5）～式（7），取 K=K"e2ω，m=1 K"，可得定理 1中的条件（i）～（iii）成立，故 Φ呈非一致指数二分性。