基于APOS理论的小学数学概念教学设计

李芳

摘 要：数学概念具有对象和过程的两重性，它既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的數学过程[1]。因而，数学概念的教学既要让学生发现概念的本质，也应该让学生体验到概念的形成过程。本节课以APOS理论为载体进行教学设计，符合当前的教学趋势，能够为概念教学提供一些借鉴。

关键词：概念; APOS理论; 教学设计

中图分类号：G623.5             文献标识码：A     文章编号：1006-3315（2021）1-100-002

一、APOS理论概述

APOS理论是美国数学教育家杜宾斯基基于皮亚杰的建构主义而提出的数学学习理论，指出学生在学习数学概念时会主动地进行心理建构。这里的心理建构过程包含操作阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）、图式阶段（Schema）四个阶段，APOS则是由这四个阶段的英文单词首字母组成。该理论认为，在数学学习中，如果引导学习者经过活动操作、思维过程和形成对象三个阶段后，个体一般就能经过建构、反思把它们组成综合的图式从而厘清问题情境、顺利解决问题[2]。这四阶段对于数学概念的学习来说缺一不可，忽略任何一个阶段都会影响学生对概念的掌握，所以在具体教学活动中要遵循概念学习过程的整体性以实现概念的完整建构。

APOS理论主要是针对数学概念的学习而提出的。理论强调数学概念的学习，首先要有一定的现实背景，并在此基础上进行活动，从而获得一定的知识和经验，在自我反思的基础上对概念的现实背景和形式定义进行综合，建构起数学概念[3]。这四个阶段都有着各自的内容和含义，也可以说每一阶段的概念教学，教师都有相对应的教学任务。在活动阶段，教学活动可以从实际的动手操作或者内在的思维操作两个方面入手，让学生建立初步的认知;在过程阶段，教师可以适当延长对此部分的教学，耗时多一点，可以有助于学生掌握住这个概念的核心内涵;在对象阶段，可以通过设置练习，让学生形成完整的知识链，进行更高层次的操作;最后的图式阶段，教师则应及时引导学生自主建立图式，完成对数学概念的学习。

二、APOS理论指导下《比的认识》概念教学的前期分析

（一）运用APOS理论进行比的认识的可行性

1.学生学习“比”的困难分析。比的知识可以帮助学生解决生活中广泛应用的按比分配的实际问题，比例又有助于人们更好地认识现实世界、预测未来。小学六年级是学生首次接触比的概念，虽然有的学生在生活中已经接触或使用过比，并且有与之相关的活动经验，但是学生对比的理解仅仅停留在形式上，学生理解起比的意义比较困难。

在“比的认识”的初步认识教学中，学生感到困难的地方在于要经历从具体的情境中抽象出比的意义的过程。例如，学生已有的学习经验中“长方形的长和宽之间的比”“正方形周长与边长的比”“斜坡的比”等是不够丰富抽象出概念的，可以结合现实背景运用“路程、时间、速度”和“总量、单价、数量”这两个非常重要的模型，引导学生结合数量关系的理解，丰富对比的认识。

2.APOS理论的自身优越性。APOS理论的活动阶段让学生在反复的操作中形成对数学概念的感性认识，这有助于培养学生的形象思维能力;程序阶段注重学生自身的心理建构，在不断反思抽象过程中有利于提升学生的数学发现能力与反思意识;对象阶段需要将数学概念压缩成具体的对象去实施运算，培养六年级学生对数学概念的应用意识、应用能力;图式阶段学生通过对数学概念的整理、归纳，刺激学生数学思维能力的发展，并且在不断建构数学概念体系过程能够提升六年级学生运用数学知识的能力。在比的概念学习中，学生首先通过现实情境或者操作感知比的概念，在头脑中建立起对“比”的初步的表象，接着用语言去归纳总结出比的概念，并进一步理解比的意义，在此基础上进行应用。由此可以看出，APOS理论适用于比的认识的概念教学。

（二）教学内容分析

《比的认识》是北师大版数学六年级下册的学习内容，这部分是在学生已经学过分数的意义以及分数的除法的基础上学习的。由于刚一接触“比”，学生真正理解并记住比的概念会非常的困难，因而教材中密切联系了学生已有的生活经验和学习经验，设置了相关系列情境，引发了学生的讨论与思考，并在此基础上抽象出比的概念，使学生体会引入比的重要性以及在现实生活之中比的广泛存在。这一系列情境的设置由浅入深地引导学生在独立思考、实际操作以及合作交流中，体会生活中存在两个数量之间“比”的关系，并且逐步理解“比”产生的背景，理解“比”的意义。掌握比的概念和意义，为以后进一步学习圆周率、百分数、统计以及比例奠定基础。掌握比的概念需要进一步发展学生对分数和除法的认识，沟通起来知识之间的内在联系，有利于学生把相关知识发展梳理成连贯的脉络。

（三）教学目标分析

在进行教学设计之前，首先要明确一个问题：学习者能够通过本节课的学习学会什么？教学目标的设置能够很好地回答这一问题。教学目标既是教学设计的目的，也是前提条件。因此我们需要对研究对象的教学目标有一个清晰的把握。

知识与技能目标：经历从具体情境中抽象出“比”的过程，理解比的意义，能正确读写比，会求比值;过程与方法目标：学生经历探索比与分数、除法关系的过程，理解比与除法、分数的关系;情感态度与价值观目标：学生在活动中培养分析、综合、抽象、概括的能力，在解决实际问题中体会比在生活中的广泛应用，感受比的价值。

（四）教学重点与难点

教学重点：比的概念理解

教学难点：理解比的意义以及比与分数、除法的关系

三、APOS理论下《比的认识》的教学设计

（一）活动阶段

1.创设情境，激发兴趣。师：一天，笑笑到王阿姨家做客，王阿姨用蜂蜜和水调了一杯蜂蜜水给她喝，甜味适中，非常美味。几天后，笑笑家来了几位好朋友，她也想调制蜂蜜水用来招待客人。可是，蜂蜜水应该怎么泡呢？她打电话给王阿姨，王阿姨说：“我是把10毫升蜂蜜倒入90毫升的水里，上下摇晃均匀，就可以了。”

2.联系旧知，引入概念。师：这一杯甜度适中的蜂蜜水是怎样调制的呢？最重要的是什么呢？

师：大家找到调制蜂蜜水的方法这么多，蜂蜜的量在变，水量也在变，为什么调制出的蜂蜜水依旧“甜味适中刚刚好”呢？

【设计意图】活动阶段，个体通过一步一步的外显性指令去改变一个客观的数学对象。教师通过具体的生活情境引发学生思考，使学生真实的感受到“比”在生活中的真实存在。本环节一方面使学生认识到数学与实际生活的联系，达到更好的教学效果;另一方面又能联系以前学过的知识表示两个量之间的关系，同时也为新知“比”也可以表示两个量之间的关系做了铺垫。

（二）过程阶段

1.动手操作，加深理解。师：用图示表示“1[∶]9”深化理解。分一分，涂一涂表示出这个比。从这幅图中你还能想到谁和谁的比是1[∶]9？

2.类比联结，内化概念。师：从刚才的探究中，我们确实可以看出，比就是表示倍数关系。同时呀，只要是两个数是相除的关系都可以用比来表示。回顾我们之前所学过的知识，你能想到那些可以用比来表示的例子呢？

师：总价÷数量=单价，路程÷速度=时间等这些都可以用比来表示。具体来说，例如总价÷数量=单价，总价是18元，数量是4个，这时我们说总价和数量的比是9[∶]2。

师：每一个比值又分别表示什么？比有时表示倍数关系，有时又可以表示一种具体的量。

【设计意图】过程阶段，当活动经过多次的反复训练，进而被学习者所熟知，可以内化为一种称为“程序”或“过程”的心理操作。在这个阶段，我们要设置由浅到深的问题，不断的引导学生进行思考，通过对比联结，使学生进一步完善对比的认识。在概括比的意义时，重点强调了比与除法、分数的关系，使学生对比的意义的本质有所理解。一方面引导学生自己的语言来概括自己对“比”的理解，另一方面类比联结使学生对“比”的本质进一步内化。

（三）对象阶段

1.概念总结，巩固练习。师：刚刚我们一起研究了“比”的相关知识，你能用自己的话来说一说你是怎么理解“比”的吗？同学们说了这么多自己的想法，有很多相同点。老师已经呈现在黑板上了，谁能结合板书的内容，用数学语言来描述你认识的“比”？生活中也有丰富的“比”，你发现了吗？可以尝试举例吗？

师：找生活中的比，例如，人民币与美元的汇率是6.7150，国旗的长与宽的比是3[∶]2，婴儿的头长与身高的比大约是1[∶]4。生活中的比是广泛存在的。

【设计意图】对象阶段，将基础概念或概念组按严谨的关系连接词，组成目标概念出现在学习者头脑中，并对其实施各种心理操作的过程。设置突出概念本质的变式训练以及解决实际问题的综合练习，有助于帮助学生巩固本节课的所学，将孤立的知识点串接起来形成知识链。

（四）图式阶段

师：同学们，一节课就要结束了，通过本节课的学习你们都收获了什么呢？生活中有丰富的数学，希望同学们都能够用心地去发现去探索。

【设计意图】图式阶段，是概念教学的最后一个环节，也是学生对所学内容进行总结和提升的环节。此时学生对概念进行高级的加工和心理表征，形成了对“比”的知识图式，建构起完整的知识链。通过总结，帮助学生从多种角度理解“比”，巩固所学的知识，建立知识间的联系。

四、教学设计反思

本次选取的《比的认识》第一课时的教学设计安排遵循了APOS理论从活动到过程、到对象，最后到图式的概念建构步骤。首先创设具体的情境，通过情境激发学生的兴趣，初步引入概念，使学生形成初步的感性认识。接着教师引导学生将操作活动转化了内隐的心理活动，提炼成数学语言。通过对操作活动的反思，学生可以尝试着将头脑中内隐的活动过程表达出来，理解“比”的本质及意义。再通过概念总结，设置解决实际的问题，巩固所学。最后由教师带领学生进行知识梳理，帮助同学由感性认识逐步上升到理性认识，形成自我对比的认识的心理图式。

APOS理論适用于小学概念的教学，应用范围是有限制的，教师在教学过程中应该仔细研读教材，选择合适的内容进行APOS理论下的教学设计。其具体的应用不仅要体现在教学设计的教学环节，还要深入到各阶段教学目标和教学方法上，不应该死板的按照四个阶段;同时，APOS理论不能割裂开来，应利用教学目标指导教学步骤的设计，内在也要体现APOS的内涵。

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S]北京：北京师范大学出版社，2012

[2]乔连全.APOS：一种建构主义的数学学习理论[J]全球教育展望，2001，（03）：16-18

[3]张熠.APOS理论指导下的小学数学概念教学设计研究——以倍的设计为例[D]宁波：宁波大学，2018