基于数学抽象素养的初中数学教学改进策略

郑 松

(福州市第十四中学，福建福州，350004)

随着基础教育教学改革的进一步推进，教师应当在初中阶段就着手培养学生的核心素养，尤其是数学这门学科，其数学抽象素养尤为重要。数学抽象简单来说，可分成形成数学概念、形成数学命题和模型、形成数学方法和思想、形成数学结构和体系这四部分。对此，教师应当立足实际，改进以往传统教学方式，帮助学生更好地认识数学知识的本质，内化知识。这样既能强化学生抽象能力，又能提升学生数学抽象素养，让学生在数学这条路上走得更远。

一、数学抽象素养的概念

抽象是将研究的事物从某种角度看待的本质属性抽出来考察的思维方法，是人们从感性认识中了解事物本质特征的一种必要能力。科学抽象要客观、可检验、实在，不能虚浮空洞。科学抽象借助概念、模型来开展思维活动，科学、物理、化学、生物等都有符合自己学科领域特点的抽象。而数学作为一门科学，除了抽象这个一般共性之外，还有自己的特征属性。也就是《义务教育数学课程标准(2011年版)》中提到的，需要通过抽象的方式，从数量与数量的关系、图形与图形的关系中获得数学概念与概念间的关系，基于事物背景抽象得到一般规律与结构，并以数学语言来进行表达描述[1]。史宁中教授对数学抽象有自己的一番见解，他提出了数学的三大基本思想，也就是抽象、图例与模型。他认为抽象分两层，一层是直观描述，另一层是符号表达。他还指出第一层抽象为物理背景，以自然语言表达，更加直观容易创造，也容易出现反例；第二层抽象为符号化的，符号化就是数学中的符号语言，符号化是严谨且难以挑出毛病的。教师在教学中必须先认知第一层抽象，也就是物理背景和具体背景，而不能沉浮在抽象符号的海洋中，要先带领学生形成感性认知，在直观了解后，再作出判断。第二层抽象则要帮助学生形成具体的符号语言，让学生学会用符号语言来进行描述。数学三大基本思想中数学抽象占据一席，数学表达应当为符号的，而数学教学应是物理的；数学证明是形式的，但数学教学应当是直观的。对此，教师就需要思考：怎样以物理实例来导入课程，设计哪些有探究性的问题来引导学生理解数学概念，以哪些题目来让学生对所获数学概念、规则进行符号化应用？这些都无法一蹴而就，而需要一步步的努力和改进才能达成。

二、初中数学抽象素养特征表现

数学的本质注定了其知识是抽象严谨的，容易带给学生枯燥之感，使其学习起来提不起兴趣，也容易产生一种天然的抗拒感。分析初中数学抽象这一核心素养特征，有助于教师更好地认知数学抽象，积极探索多种途径来强化学生数学抽象能力，实现数学抽象素养的养成。

(一)特殊性

数学抽象要以确定条件为出发点，在明确相关概念后，经过一系列的推理，来获得科学合理的结论，进而保证结果的准确性。数学抽象的客观对象属性被抛去，单单留下量的关系和空间形式。这一抽象便形成了特殊的数学内容和对客观世界的独特认知形式，从对象形式结构和数量特征入手来达成问题解决这一目的，该抽象性体现了数学与别的学科之间的差别，这也是其特殊性特征的表现。[2]

(二)构造性

我们通常将数学抽象认知为一种构造性的活动，需要通过确实的定义来勾画出数学独享，这被称作数学对象逻辑建构。数学中有很多概念的抽象是现实原型得来的，如点、线、三角形等。当然，并非所有的概念都是从现实原型抽象获得的，一些概念是基于原本数学对象，通过逻辑建构来得到的数学新知识。数学的构造性主要通过弱抽象、强抽象来表现。弱抽象是原型某特征抽象得来的，原型内涵减少，结构削弱，外延外扩，最后得到相比原结构更大的结构。比如，初中所教的全等三角形，形状一样、大小一样的特征内涵改为形状一样，其就成为相似三角形的概念。因而，弱抽象可以说是特殊——一般的一个过程。强抽象则不同，其是原型将新特征引入，来增加原型内涵，强化结构，缩小外延，从而得到比原本更加丰富的结构。如初中所教的，先是四边形，然后是平行四边形，再是矩形，依流程推出。由此可见，强抽象和弱抽象相反，其为一般—特殊的过程。

(三)层次性

数学抽象有很多层次，其可由现实世界客观事物抽象得到，也能基于数学知识基础来抽象获得。从数学抽象深度层面而论，可大概分成三阶段：第一阶段，明确事物本质，将复杂问题简单化、条理化，清晰地将事物表达出来，这被称作简约阶段；第二阶段，去掉具体内容，用概念、图形等来表述涵盖简化事物在内的一些事物，这被称为符号阶段；第三阶段，借由假设和推理来构建法则、模型，并基于一般意义来解释具体事物，这被称作普适阶段。徐利治教授曾说过，数学抽象层次性特征，应当以认识论的视角来观察分析，所以他提出了“数学抽象的度”，以此以数量方式来刻画数学抽象层次性。[3]比如，教师教授学生“三角形”相关概念的时候，可以先将木棍想象为线段，通过三支细棒将本质属性分离出来，根据并非同一直线的三线段的首尾依次相连组成得到的图形来进行定义；接着再用△来表示；最后总结三角形的一些概念，如中线、高线等。

三、基于数学抽象素养的初中数学教学改进方法

(一)情境创设，带领学生抽象问题共性以形成数学概念

数学概念，简单地说是人的大脑对现实对象数量关系和空间形式的本质特征进行反映的一种形式。它是数学逻辑起点，也为认知建立的基础，更是数学思维形成的核心。要有效形成数学概念，就要借由实际问题来实现数学抽象、概括。比如，初中所教的函数，其概念便是实际问题两变量之间对应关系抽象结构；分式，其概念为分数符号化所得，为一般性描述的分数特殊属性，通过类比方法抽象方才获得的。[4]

(二)培养学生主动运用数学符号意识，强化数学抽象素养

“以字母表示数”是数学的基础和核心，代数中列方程解应用题、几何中量的表示都无法离开它。它是代数学科的精华，也是学生数学抽象素养发展强化的重要内容。[5]

例如，教师在教学生“月历表中的数学规律”的时候，展示一个案例：表1、表2为某月的月历。

表1 某月的月历1

表2 某月的月历2

提问：(1)有阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？(2)假如把带阴影的方框移到图2的位置，(1)中的关系是否仍成立？(3)不变化阴影方框大小，将方框进行不同位置的移动，能获得何结论？能否证明该结论？(4)这个结论对任意一个月的月历都成立么？

粗略来看，前面的3个问题要求学生对特殊位置上9个数的和进行计算，但其实质上是要找出9个数排列的规律，月历中任意位置数字以整式来进行表示。教师可引导学生分3种思路来深入思考，首先是分析月历数字排列为何规律，再由排列规律来探寻得到运算规律，化简应用整式加减，表现一般规律，最后思考怎样以字母简化表示方法与运算。

这个过程充分体现出“数式通性”和由数到式、由特殊到一般弱抽象的数学思想。找出月历中数字的排列规律并不困难，但要分不同角度、采用不同方法来探索抽象出月历中隐含的数量关系及其规律，对于学生而言比较困难。所以，教师需要充分激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，让学生愿意主动投入学习中。教师先让学生独立思考，亲身实践操作选择用字母表示数，自主探究后再小组谈论交流，设那个数为字母a的情况不同，学生评价不同方法的差异，最后获得最优方案：以字母表示最中间的数(表3)。学生在交流合作的探究过程中，能够体会到问题解决的多种途径策略，获得更多的活动经验，激发创新意识，增强实际问题解决能力，熟练数学符号应用方法，强化数学抽象素养。数学符号意识能让学生由具体情境来抽象出数量关系与变化规律，并用符号表示，直观来看，实为问题一般化过程，学生的符号意识培养能带动学生数学抽象素养走向更高层次水平。

表3 设中间的数为a

(三)立足“运用”的结构式抽象，把牢数学概念关系

“运用是学习的最终目的。”在数学学习的漫漫长路上，“运用”毋庸置疑是最终的境界，其为数学抽象的转化，也能帮助学生牢牢把握概念关系。要深刻认识概念本质关系，数学强抽象这一行为的支持十分重要。强抽象与弱抽象类同，其都为事物认知的基本方式。站在思维行为的角度来说，弱抽象、强抽象其实都具有特殊与一般性的关系特征。[6]

比如，“四边形—梯形—平行四边形—矩形或菱形—正方形”和“映射—函数—初等函数—一次函数—正比例函数”这一概念流程。通过强抽象，学生能对“子概念”特征有更深入的认识，如矩形对角线互相相等且平分、菱形对角线相互平分且垂直，等等。这一些局部特征，能辅助学生对基本图形性质、类型有更明确的了解，凸显出数学抽象作用及事物认知价值。

前面提到，根据抽象程度不一，可分为约简阶段、符号阶段和普适阶段。依托强抽象的作用，数学实验需要担起三维度抽象的任务。第一，“约简概念”，需切实把握概念本质特征，明确强抽象具体化功能；第二，“符号概念”，需把握概念关系特征，实现更优强抽象素养；第三，“普适概念”，开拓解法体系结构，让问题解决能力与抽象思维更进一步，如此，学生在课堂上便能够学有所获。

例如，教师在上“圆的基本概念”这一课时，可以根据强抽象原则，由三条主线来引导学生进行分析探索。主线一，让学生随意剪下一张圆卡纸，并互相交流自己的剪裁方法，然后将卡纸旋转进行观察，再根据自己观察所得来以语言描述圆和动态圆所具有的特征。学生积极举手说说自己平常生活中见过哪些圆形，着重形态本质。主线二，学生在圆卡纸上将圆心标记出，然后于同一平面任意取一点，将其和圆心连起来，度量思考半径与圆心距大小的关系。学生在互相交流后，可抽象出点与圆的位置关系。主线三，教师启发牵引着学生在探索处理问题的过程中，着重感受点与圆的位置关系、基本属性，以圆卡纸折叠后抽象得到垂径定理，画图的时候能更好地认识集合概念的一般意义。以上子概念内涵特征的有效把握基于强抽象的反复作用。

数学抽象素养占据着初中数学学科核心素养的第一位置，也始终贯穿学生数学学习的始终。教师要立足实际，基于数学抽象素养来积极改进数学教学模式，循序渐进地在教学活动中引导学生积累由具体到抽象的活动经验。